關(guān)于廣義二項指數(shù)和的四次均值

陳 慧，張?zhí)炱?/p>

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

關(guān)于廣義二項指數(shù)和的四次均值

陳 慧，張?zhí)炱剑?/p>

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

利用解析方法研究了一類廣義二項指數(shù)和的四次均值問題，并且給出了一個精確的計算公式。所得結(jié)果表明相似廣義二項指數(shù)和的四次均值之間具有密切聯(lián)系。

二項指數(shù)和；特征；四次均值

設(shè)q、m、n、k為給定正整數(shù)，且q≥3。χ是模q的Dirichlet特征，定義帶有Dirichlet特征的二項指數(shù)和如下：

明顯地，如果χ是主特征，上述和式就為二項指數(shù)和

關(guān)于C（m，n，k，χ；q）的各種性質(zhì)，許多學(xué)者都進行了研究。雖然二項指數(shù)和以及Dirichlet特征和的取值都是不規(guī)則的，但是帶有Dirichlet特征的二項指數(shù)和卻具有奇特的性質(zhì)。例如，當(dāng)q為素數(shù)p且pm時，文獻［1］得到對所有模p的特征χ，有

受上述文獻的啟發(fā)，定義一類廣義的二項指數(shù)和如下：

易知，上述S（m，n，k，χ；q）與經(jīng)典的二項指數(shù)和C（m，n，k，χ；q）形式非常類似。本文將利用解析方法研究S（m，n，k，χ；q）的四次均值問題，會發(fā)現(xiàn)S（m，n，k，χ；q）的四次均值與文獻［3－4］所研究的均值之間具有密切的聯(lián)系。為了證明本文的結(jié)論，首先引入下面幾個引理。

1 預(yù)備知識

引理1 設(shè)q、k為正整數(shù)，對滿足條件（n0，q）＝1的任意整數(shù)n0，有等式

證明 利用簡化剩余系的性質(zhì)，可得

引理2 設(shè)p為素數(shù)，k、α為正整數(shù)，對于滿足條件（n0，p）＝1的任意整數(shù)n0，則有

證明 利用簡化剩余系的性質(zhì)，容易得到

由引理1以及特征的正交性可得

其中Cq（n）＝是Ramanujan和。結(jié)合文獻［3］的引理2.6以及文獻［4］的定理1，可得

引理3［5］設(shè)n、k、q1、q2為正整數(shù)，且（n，q1q2）＝（q1，q2）＝1。則對于任意模q1q2的特征χ，存在滿足（n1，q1）＝ （n2，q2）＝1的整數(shù)n1、n2，使得。并且有

其中χ＝χ1χ2，χ1、χ2分別為模q1、q2的特征。

證明 如果取χ＝χ0，上述引理結(jié)果類似于文獻［5］中第176頁練習(xí)15的內(nèi)容。下面給出它的證明。

由于（q1，q2）＝1，則有。因此存在整數(shù)n1、n2，使得n1q≡n mod q以及n2q≡n mod q成立。由此可得q｜n1q+n2q－n，q｜n1q+ n2q－n，即有

易知（n1，q1）＝（n1q，q1）＝（n，q1）＝1，并且（n2，q2）＝1。

設(shè)χ＝χ1χ2，χ1、χ2分別為模q1、q2的特征，對于整數(shù)q1、q2、n1和n2，可得

由于｜χ1（q2）χ2（q1）｜＝1，則該引理得證。

2 主要結(jié)果

定理 設(shè)n、k、q為正整數(shù)，且q≥3，（n，q）＝1，則有等式

定理得證。

當(dāng)k＝1時，上述S（m，n，k，χ；q）就為廣義Kloosterman和：

由上述定理，可得

推論［3］設(shè)n、q為正整數(shù)，且q≥3，（n，q）＝1，則有等式

3 結(jié)語

［1］Weil André.On some exponential sums［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences，1948，34：204－207.

［2］Xu Zhefeng，Zhang Tianping，Zhang Wenpeng.On the mean value of the two－term exponential sums with Dirichlet characters［J］.Journal of Number Theory，2007，123：352－362.

［3］Liu Huaning.Mean value of mixed exponential sums［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2008，136（4）：1193－1203.

［4］Chen Hua，Ai Xiaochuan，Cai Guangxing.A note on mean value of mixed exponential sums［J］.Journal of Number Theory，2014，144：234－243.

［5］Apostol T M.Introduction to analytic number theory［M］.New York：Springer－Verlag，1976：176－177.

〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

On the fourth power mean of the general two－term exponential sums

CHEN Hui，ZHANG Tianping＊
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

With the aids of the analytic methods，the fourth power mean value of the general twoterm exponential sum is studied，and one explicit formula is obtained.It is shown that the fourth power means of the analogous general two－term exponential sums have close connection.

the two－term exponential sums；character；fourth power mean

11L05

O156.4

：A

1672－4291（2015）05－0018－04

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.155

2014－12－27

國家自然科學(xué)基金（11201275）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（GK201503014）

陳慧，女，碩士研究生，主要研究方向為數(shù)論及其應(yīng)用。E－mail：chenhui＠snnu.edu.cn

＊通信作者：張?zhí)炱剑?，副教授。E－mail：tpzhang＠snnu.edu.cn