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    波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

    2015-06-05 09:37:06曹孫林
    山西建筑 2015年13期
    關(guān)鍵詞:雙筒外壁邊界條件

    于 過 曹孫林 趙 蓉

    (大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116024)

    波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

    于 過 曹孫林 趙 蓉

    (大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116024)

    簡述了開孔結(jié)構(gòu)所具有的良好特性,并采用比例邊界有限元法進(jìn)行了短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用分析,為非均勻透空外壁雙筒柱的水動(dòng)力分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了有價(jià)值的參考。

    比例邊界有限元,短峰波,波浪繞射,圓柱,非均勻開孔結(jié)構(gòu)

    0 引言

    開孔結(jié)構(gòu)作為一種新型海岸及港口工程結(jié)構(gòu)物,具有以下良好特性:1)從水力學(xué)特性來講,它既能降低波浪反射率,又可減少其所承受的波浪力;2)具有良好的受力特性;3)有可能降低造價(jià),具有良好的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)[1]。然而,迄今為止,有關(guān)短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱相互作用的研究還很少。而且,一般的有限元方法也很難對(duì)波浪運(yùn)動(dòng)形式作出準(zhǔn)確描述,但比例邊界有限元方法能很好的描述該問題。

    1 問題的提出

    Φ(x,y,z,t)=φ(x,y)Z(z)e-iωt

    (1)

    滿足邊界條件的解為(k為波數(shù)):

    (2)

    ω2=ghtanhkh

    (3)

    (4)

    有限域Ω1和無限域Ω2界面處的邊界條件可由式(5)表達(dá):

    (5)

    其中,對(duì)于均勻開孔段的孔隙影響系數(shù)為G。當(dāng)透空外壁為開口段時(shí),開口段的孔隙影響系數(shù)為無窮大;而透空外壁為不透水壁時(shí),G=0。

    (6)

    入射速度勢φI可由式(7)表達(dá)[2]:

    (7)

    φ求出之后,波速度、波面高度和波動(dòng)壓力等可通過下列公式求得:

    v=φ

    (8)

    (9)

    p=-ρφ,t

    (10)

    2 推求比例邊界有限元方程

    SBFEM計(jì)算示意圖見圖2。

    (11)

    式(12)表示式(4)與式(11)的等效泛函變分:

    (12)

    空間直角坐標(biāo)系與比例邊界有限元坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為:

    (13)

    (14)

    對(duì)兩坐標(biāo)系統(tǒng)分別求導(dǎo),并用雅克比矩陣聯(lián)系起來:

    (15)

    其中:

    (16)

    在比例邊界坐標(biāo)下,梯度算子可以表示為:

    (17)

    其中:

    (18)

    根據(jù)等參變換概念,速度勢函數(shù)可采用同樣的插值函數(shù)N(s)進(jìn)行離散:

    φ(ξ,s)=N(s)φ(ξ)

    (19)

    將式(17)和式(19)代入式(12),經(jīng)整理后可得:

    (20)

    其中:

    B1(s)=b1(s)N(s),B2(s)=b2(s)N(s),s

    (21)

    引入下列系數(shù)矩陣E0,E1,E2,M0和Fs(ξ)[2]:

    (22)

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    對(duì)式(20)中含δφ(ξ),ξ的項(xiàng)進(jìn)行分部積分,并使ζ=kbξ,從而得到如下方程[2]:

    (27)

    (28)

    (29)

    3 求解比例邊界有限元方程

    3.1 求解無限域Ω2

    式(27)是Bessel方程組,用Hri(ζ)Ti作為基函數(shù)表示其解:

    (30)

    其中,Hrj(ζ)被稱為第一類漢克爾(Hankel)函數(shù)。

    T=[T1,T2,…,Tn]

    (31)

    C=[c1,c2,…,cn]

    (32)

    (33)

    將式(30)代入式(27)中,考慮到Hankel函數(shù)具有導(dǎo)數(shù)性質(zhì),經(jīng)整理可得[2]:

    (34)

    因?yàn)镠ankel函數(shù)已經(jīng)滿足無窮遠(yuǎn)處的邊界條件,故只用對(duì)比例邊界有限元在ξ=1上的邊界條件進(jìn)行考慮式(28):

    (35)

    (36)

    3.2 求解有限域Ω1并耦合Ω1和Ω2

    同理,有限域Ω1中的φ1可用式(37)作為其解的基函數(shù):

    (37)

    其中:

    (38)

    (39)

    J(ζ)=diag[Jr1(kbξ),Jr2(kbξ),…,Jrn(kbξ)]

    (40)

    Y(ζ)=diag[Yr1(kbξ),Yr2(kbξ),…,Yrn(kbξ)]

    (41)

    考慮內(nèi)邊界條件式(28)、外邊界條件式(29)分別可得Ω1中的SBFEM內(nèi)外邊界條件:

    (42)

    (43)

    其中:

    (44)

    (45)

    (46)

    (47)

    考慮方程(42),方程(43)以方程(5),得出:

    (48)

    可以解出兩個(gè)域的解:

    (49)

    (50)

    (51)

    (52)

    (53)

    (54)

    在式(53)中,i為虛實(shí)單位;G0為多孔介質(zhì)的孔隙影響系數(shù)對(duì)角矩陣。

    單位長度上力的大小可按式(55)計(jì)算[2](為方便起見,s代表x和y;r代表內(nèi)外半徑a和b;并且φx=cos(θ),φy=sin(θ)):

    (55)

    總力的計(jì)算值可按式(56)求得:

    (56)

    由式(56)可以得出,歸一化的Ps(kx,ky,k,r)在使用過程中會(huì)使問題更加簡單。

    4 結(jié)語

    本文首次開展了應(yīng)用比例邊界有限元法對(duì)兩種典型非均勻透空外壁(開口或不透水)雙筒柱相互作用的研究,基于比例邊界坐標(biāo)變換和變分原理詳細(xì)推導(dǎo)出一有限域和一無限域的SBFEM基本方程??傮w來說,非均勻透空外壁中存在不透水段時(shí),內(nèi)外柱要承受更大的波浪力;平面波的作用力相對(duì)其他波來說也是最大的。本研究為工程上設(shè)計(jì)非均勻透空外壁雙筒柱提供了理論參考。

    [1] Huang Zhenhua, Li Yucheng, Liu Yong. Hydraulic performance and wave loadings of perforated/slotted coastal structures:A review[J].Ocean Engineering,2011,doi:10.1016/j.oceaneng,2011(3):3-4.

    [2] Tao Longbin, Song Hao, Chakrabarti Subrata. Scaled boundary FEM model for interaction of short-crested waves with a concentric porous cylindrical structure[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering,2009,135(5):200-212.

    The interaction of waves and non-uniform open outer wall double cylinders

    Yu Guo Cao Sunlin Zhao Rong

    (FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

    This paper simply introduced the good properties of open structure, and using proportion boundary finite element method made interaction analysis of short crested waves and non-uniform open outer wall double cylinders, provided valuable reference for hydrodynamic analysis and structure design of non-uniform open outer wall double cylinders.

    proportion boundary finite element method, short crested waves, wave diffraction, cylindrical, non-uniform opening structure

    2015-02-11

    于 過(1994- ),男,在讀本科生; 曹孫林(1994- ),男,在讀本科生; 趙 蓉(1996- ),女,在讀本科生

    1009-6825(2015)13-0050-03

    TU318

    A

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