三階常微分方程組三點邊值問題正解的存在性

何希萍（甘肅廣播電視大學(xué) 理工學(xué)院, 甘肅 蘭州 730030）

三階常微分方程組三點邊值問題正解的存在性

何希萍
（甘肅廣播電視大學(xué) 理工學(xué)院, 甘肅 蘭州 730030）

研究一類非線性三階常微分方程組三點邊值問題,運用Krasnosel ’skii不動點定理討論了該問題多重正解的存在性，并舉例說明.

三階方程組；三點邊值問題；正解；存在性；不動點

1 引言及預(yù)備知識

近來，常微分方程組邊值問題解的存在性在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用工程科學(xué)領(lǐng)域引起人們極大關(guān)注[1-5]。本文考慮下列三階常微分方程組三點邊值問題。

（1.1）

這里f,g∈C（t1,t3）×R+,R+）,f（t,0）≡0,g（t,0）≡0,y≥0,δ≥0. 通過相應(yīng)Green函數(shù)的性質(zhì)，并定義合適的錐，借助于Krasnoselskii不動點定理證明邊值問題（1.1）解的存在性。運用另一個多重的不動點定理得到邊值問題（1.1）的多個正解的存在性。

設(shè)G（t,s）表示邊值問題（1.1）相應(yīng)的Green函數(shù)，則由文[6]知,

（1.2）

并且對Green函數(shù)G（t,s），有下列結(jié)果：

k（t）G（t2,s）≤G（t,s）≤G（t2,s）,對（t,s）∈[t1,t3]×[t1,t3〗

（1.3）

t1t3-t2。

顯然（u1,u2）∈C2[t2,t3]×C2[t1,t3]為邊值問題（1.1）的解，當(dāng)且僅當(dāng)（u1,u2）∈C[t1,t3]×C[t1,t3]是下列積分方程組的解，

（1.4）

非線性積分方程組（1.5）可化為下列非線性積分方程：

（1.5）

為了證明我們的主要結(jié)果，以下不動點定理是必要的。

（i）‖Su‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1,‖Su‖≥‖u‖,?u∈p∩?Ω2,或

（ii）‖Su‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω1,‖Su‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω2。

‖Su‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω1,或

‖Su‖≤‖u‖,Su≠u,?u∈P∩?Ω2,‖Su‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω3。

這里h∈[0,t3-t2],且

（1.6）

顯然P上B中的錐，定義算子A:P→B為

（1.7）

引理1.3[9]若算子A由 （1.8） 定義，則A是全連續(xù)算子，且A（P）?P。

證明 由引理1.1和f,g的連續(xù)性知，對u∈P，有Au∈B，且t∈[t1,t3]，

則有，

因此，A（P）?P。由于G（t,s），f（t,u），g（t,u）是連續(xù)的，可知算子A是全連續(xù)的。證畢。

2 主要結(jié)果

為了方便起見，我們列出如下假設(shè)

定理 2.1 設(shè)條件（H1）和（H2） 成立，則邊值問題（1.1）至少有一個正解

（u1,u2）∈C2（[t1,t3],R+）×C2[t1,t3],R+）,且u1（t）>0,u2（t）>0。

證明：由條件（H1）可知，存在實數(shù)N1∈（t1,t3）,使得對（t,u）∈[t1,t3]×（0,N1）,有

對使得

（2.1）

另一方面，由條件（H2）可知，存在四個正數(shù)q1,q2,C1和C2，使得

f（t,u）≥q1u-C1,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

g（t,u）≥q2u-C2,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

從而‖Au‖≥Au（t2-ε）≥‖u‖,‖u‖→∞.

令Ω2={u∈B,‖u‖0足夠大，有

‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2.

（2.2）

定理 2.2 設(shè)條件（H3）和（H4） 成立，則邊值問題（1.1）至少有 一個正解

（u1,u2）∈C2（[t1,t3],R+×C2（[t1,t3],R+）,且u2（t）>0,u2（t）>0.

令Ω3={u∈B,‖u‖

‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω3.

（2.3）

另一方面，由條件（H4）可知，存在三個常數(shù)p，D1和D2,使得

f（t,u）≤pu+D1,（t,u）∈[t1.t3]×R+,

g（t,u）≤pu+D2,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

從而Au（t）≤‖u‖,‖u‖→∞。

令Ω4={u∈B,‖u‖0足夠大，有

‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω4.

（2.4）

定理2.3 若條件（H2）和（H3）和（2.5） 成立，假設(shè)f（t,u）,g（t,u）關(guān)于u是單增的函數(shù)，且存在常數(shù)M>0,使得

（2.5）

則邊值問題（1.1）至少有兩個正解

（u1,u2）,（v1,v2）∈C2（[t1,t3],R+）×C2（[t1,t3],R+），且u1（t）>0,u2（t）>0,v1（t）>0,v2（t）>0.

由（2.5），則對u∈P∩?PM,t∈[t1,t3],有

從而，‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?PM.

（2.6）

由條件（H2）、（H3）有

‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2.

（2.7）

‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω3.

（2.8）

3 例子

滿足定理2.1的條件，由定理2.1 可知，該邊值問題至少有一個正解。

滿足定理2.2 的條件，由定理2.2 可知，該邊值問題至少有一個正解。

例3：設(shè)t1=0,t1=1/3,t3=1,

[1]Hu.Wang.Multiplepositivesolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofnonlinearsecond-orderdifferentialequations[J].J.Math.Anal.Appl,2007,335:1052-1060.

[2]鐘成奎，范先令，陳文源，非線性泛函引論[M].蘭州：蘭州大學(xué)出版社，1998.

[3]何希萍,孫紅蕊.三階非線性系統(tǒng)三點邊值問題的正解[J].蘭州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010（4）：84-88.

[4]M.A.Krasnosel’skii,PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen:Noordhoff, 1964.

[5]馬如云.非線性常微分方程非局部問題[M].北京:科學(xué)出版社, 2004: 194-200.

[6]AndersonD.,DavisJ.M.Multiplesolutionsandeigenvaluesforthird-orderrightfocalboundaryvalueproblems[J].JMathAnalAppl, 2002, 267: 135-157.

[7]M.Krasnoselskii.PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen:Noordhoff, 1964.

[8]K.Deimling.NonlinearFunctionalAnalysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1985.

[9]Z.T.Zhang.Existenceofnon-trivialsolutionforsuperlinearsystemofintegralequationsanditsapplications[J].ActaMath.Sinica（inChinese）,1999（15）:153-162.

[責(zé)任編輯 龔 勛]

《甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報》2015年1～6期總目次

（總第107～112期）

【絲綢之路文化】

大漠回歸的靈魂書寫

——對話雪漠

朱衛(wèi)國，雪 漠，陳彥瑾，等（1.01）

論《野狐嶺》“尋找”主題的意蘊(yùn)表達(dá)

劉雪娥（1.07）

敘事的高度

——評雪漠新作《野狐嶺》

瞿 萍（1.12）

從《野狐嶺》看雪漠的探索精神

吳 浪（1.16）

《霓裳羽衣曲》新考

伏俊璉,李慧琳（2.01）

甘肅戲劇發(fā)展現(xiàn)狀及其產(chǎn)業(yè)化路徑的思考

朱衛(wèi)國，劉鎮(zhèn)偉（2.06）

從苦難中覺悟

——雪漠小說中女性形象的一次超越

劉 楠（2.13）

“開拓與守護(hù)：古絲綢之路交通要道上的白銀”學(xué)術(shù)研討會綜述

史志林,沈渭顯（3.01）

慶陽地區(qū)佛教古塔考述

趙世金（3.07）

氈帳-蒙古包

——游牧民居文化的標(biāo)志性符號

洪思慧（3.14）

淺談民國時期康藏研究期刊

何芳芳（3.18）

散說體和韻說體

——白馬藏族文學(xué)在隴南川北毗鄰區(qū)的并存態(tài)

蒲向明（4.01）

從蘆塘到蘆陽

——蘆陽的歷史演變尋跡

喬仲良（4.08）

寧夏參與“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”國家戰(zhàn)略的文化作用論析

劉 挺（4.11）

河西四郡及其戰(zhàn)略地位論要

雍際春（5.01）

元帝國時期（13-14世紀(jì)）唐古特民族與宗教變更

葉甫蓋尼·克恰諾夫；李梅景，史志林（5.06）

延安地區(qū)北宋石窟涅槃造像中的樂舞圖像考察

石建剛，賈延財，楊 軍（5.10）

油擔(dān)（油梁）考

——兼議白銀地區(qū)食用植物油的古法提取技術(shù)

李保軍,李守禮（5.17）

說“翁仲”

王 莉（5.22）

論粟特人何妥及其家族與儒學(xué)的關(guān)系

劉全波（6.01）

澄明的本心：隴東南童謠的民間哲學(xué)智慧

郭昭第（6.08）

楊立程、楊景修父子對隴東地方文獻(xiàn)的傳承保護(hù)

吳 娛（6.18）

【文史哲】

北魏元淵墓志釋考

李 淼（1.20）

川邊鄰藏地區(qū)近代社會變遷研究典范

——《邊疆政制建置與國家整合：以西康建省為考察中心（1906-1949）》之書評

張慶祎（1.25）

王棟養(yǎng)心說及其節(jié)欲思想

張樹?。?.29）

論李清照詞的玉性特質(zhì)

王莎莎（1.33）

楊萬里詩歌創(chuàng)作論探析

馬海音 ，陸雙祖（1.36）

達(dá)觀崇高 順乎自然

——蘇軾《前赤壁賦》試析

梁九義（1.39）

論魯迅與莫言小說創(chuàng)作中的民間資源

吳世奇（1.42）

地方性審美經(jīng)驗的性別差異

——以影片《賽德克·巴萊》的審美人類學(xué)解讀為例

劉 潔（1.48）

影響形容詞釋義的抽象意義參數(shù)研究

李樹正（1.52）

從命名理據(jù)反思天水城區(qū)街巷名稱

張惠強(qiáng)（1.56）

榆中方言V+卡[khA]與普通話動詞重疊式對比分析

李敬國，馬婷婷（1.59）

中國古代散文研究的新進(jìn)展

——“中國古代散文國際學(xué)術(shù)研討會（北京）暨中國古代散文學(xué)會第十屆年會”綜述

楊德春（2.16）

論《長生殿》中次要人物的敘事功用

董偉巖（2.21）

賈寶玉之為“情不情”新探

田佳潓（2.25）

論王禹偁的田園詩

何艷霞（2.28）

論明季小說中節(jié)烈婦女形象的社會影響

汪垠濤（2.32）

論格里高利·柯里的理論中敘事與虛構(gòu)的關(guān)系

黨霄羽（2.35）

同城異質(zhì)空間下的敘述時間探析

——以潔塵的小說《錦瑟無端》為例

段虹宇（2.39）

從《城堡》看卡夫卡的主體性建構(gòu)

康 曉（2.42）

生態(tài)視野下狼的敘事解讀

——以小說《狼圖騰》和《狼孩》為例

付冬玲（2.45）

《馬氏文通》“名字狀動字”初探

賈雅婷（2.48）

淺談納蘭性德詞中的孤獨感

陳 佳（3.21）

論《竹取物語》的奔月情節(jié)

曹儀婕（3.27）

《羊哭了，豬笑了，螞蟻病了》中的“梨花”意象探析

黃金龍,閆春慧（3.30）

淺論林海音《城南舊事》的敘事藝術(shù)

張存根（3.33）

愛的異曲同工

——萊辛和沃克作品中的母女關(guān)系探微

王欣欣（3.36）

電視訪談節(jié)目的語境順應(yīng)研究

——以《魯豫有約》為例

肖 婷（3.40）

《紅樓夢》知識問卷調(diào)查及分析

王人恩 ,李榮華（4.16）

論蘇軾的主導(dǎo)詞風(fēng)及其成因

關(guān) 茂（4.23）

周姜氏：天使還是魔鬼？

——《活動變?nèi)诵巍分薪o珍形象新論

張波濤，溫奉橋（4.26）

試析納博科夫?qū)Α栋ɡ蛉恕返脑u論

白薇臻（4.30）

淺析毛姆長篇小說“三部曲”中東方形象的變化

王國婧（4.35）

敘事學(xué)研究中“敘述”與“敘事”的困惑

韓一睿（4.40）

馬江之戰(zhàn)張成有無臨陣脫逃考辯

彭 程（4.43）

淺議京杭大運河京津冀段的開鑿

郭 平（4.46）

儀式 族群 政治

——地方行政建制的文化學(xué)考察

張宏偉（4.49）

邏輯經(jīng)驗主義科學(xué)分界標(biāo)準(zhǔn)與困境

李靜輝（4.52）

景觀社會：權(quán)力的另類表述

葉蔚春（5.25）

論黃仲則詩歌的藝術(shù)風(fēng)格及其深層意蘊(yùn)

李欣池（5.28）

元結(jié)的文質(zhì)思想淺論

陸雙祖（5.32）

《史記·伯夷列傳》新解

張曉琳（5.35）

中國古代檔案載體之演變與記錄意識之自覺

劉家書（5.39）

《說文解字》羽文化意蘊(yùn)的研究

張翠偉（5.42）

淺析“且行體”的句法象似性

魯小龍（5.45）

電視手段對少數(shù)民族文化舞臺化表達(dá)的作用及影響

張輝剛（5.48）

《隴西行》主題思想的演進(jìn)

尹占華（6.22）

漢代四言詩的《詩》學(xué)背景

張 侃（6.25）

略論趙壹及其思想

王德軍（6.29）

蔡伸詞研究現(xiàn)狀及其成因

白秀珍（6.33）

現(xiàn)實題材把握的無力

——淺析嚴(yán)歌苓《補(bǔ)玉山居》

沈昕苒（6.36）

簡媜散文中的中華文化認(rèn)同

戴志杰（6.42）

簡約而不簡單

——以威廉斯詩歌《槐花盛開》和《窗邊少婦》為例

袁淵泉（6.46）

研究語言和分析語言

——漢語國際教育專業(yè)漢語語言類專業(yè)課教學(xué)探究

楊同軍,萬慧君（6.49）

【政治·法律·經(jīng)濟(jì)·傳播】

夢想照進(jìn)現(xiàn)實

——論新世紀(jì)以來中國農(nóng)民工題材電影中的“中國夢”

余 瓊（1.61）

女性靈魂的覺醒

——解讀電影《鋼琴課》

孫 瑋（1.64）

新媒體語境下紀(jì)錄片研究理論綜述

王旭智（1.68）

我國公民意識的演進(jìn)邏輯與中國夢內(nèi)涵演變的關(guān)系分析

曹永盛（1.71）

依法治國視角下公民參與行政決策問題研究

許海龍（1.75）

淺析煙草商業(yè)企業(yè)卷煙物流配送中心流程優(yōu)化

田潤嫻（1.79）

恩格斯《自然辯證法》的科學(xué)思想探析

黃傳根（2.51）

供應(yīng)鏈視角下的我國制造業(yè)零庫存反思

董 鵬，孔令夷（2.55）

破解“網(wǎng)絡(luò)水軍”行政監(jiān)管的四個難題

馮淵源，鄧小兵（2.60）

互聯(lián)網(wǎng)視閾下眾籌融資的法律規(guī)制

張 閩（2.64）

網(wǎng)絡(luò)知識產(chǎn)權(quán)侵權(quán)的司法管轄權(quán)確定

于 靜（2.70）

終結(jié)性檢察文書上網(wǎng)公開的“后工程制度”構(gòu)建

許秀姿（2.74）

關(guān)于逃稅、避稅與稅收籌劃的比較分析

胡紹雨（3.44）

基于供應(yīng)鏈管理的武威葡萄酒產(chǎn)業(yè)運營模式研究

金玉清（3.49）

合作治理視野下非營利組織的發(fā)展路徑探索

任媛媛（3.53）

高?；üこ倘绾芜M(jìn)行質(zhì)量控制

孟慶玲（3.57）

“刑修九草案”中身份證件犯罪入刑探討

——以刑法謙抑性為視角

張軍方,王海銘（3.60）

公共利益界定何以可能

——兼評《公共利益：界定、實現(xiàn)及規(guī)制》

孔 航（3.64）

論依法治國與黨的領(lǐng)導(dǎo)的內(nèi)在契合

武佳明（4.56）

陳獨秀法學(xué)思想探微

于靖雅（4.60）

社會治理視閾下環(huán)保輿情傳播特征與危機(jī)應(yīng)對

——基于“巢湖水污染”的個案研究

劉 麗（4.64）

停播只是傳言？

——淺析《康熙來了》的現(xiàn)狀及成因

金 劍（4.69）

我國環(huán)境法律責(zé)任的立法突破與展望

王 赫（5.51）

論我國構(gòu)建環(huán)境人格權(quán)的必要性

鄒文娟（5.56）

基于企業(yè)公民視角的國企分類監(jiān)管研究

王雅麗（5.61）

勞務(wù)派遣連帶責(zé)任新分配對派遣工的影響探析

——兼評《勞動合同法》第九十二條第二款

陳 娟（6.52）

基于現(xiàn)金流量的高職院校財務(wù)困境判別研究

周躍進(jìn)（6.56）

“互聯(lián)網(wǎng)+”時代媒體融合的關(guān)鍵

王 佳，權(quán) 璽（6.61）

跨界導(dǎo)演的典型案例

——郭敬明與他的《小時代》

張慧倫（6.65）

【開放教育】

解構(gòu)與質(zhì)疑共同體

左連凱（1.82）

體驗文化教學(xué)法概說

——電大高職英語教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)研究

林天文，李麗娟（1.86）

英漢被動句的對比與翻譯方法

付曉燕（2.78）

人內(nèi)和人際傳播學(xué)在農(nóng)村學(xué)校學(xué)生英語口語習(xí)得中的運用

史建國 ,張雋彥 ,張倪俊（2.81）

淺議學(xué)校檔案管理創(chuàng)新

李 娜（2.86）

數(shù)字電視應(yīng)用于現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育的調(diào)查研究

俞建華（3.67）

互動管理型教學(xué)方式的核心要素探討

——基于教育云資源的特點

劉向宇,曹紅巖（3.74）

勝任力視角下的省級廣播電視大學(xué)教師人力資源管理探究

錢豐收（3.78）

《開放英語2》課程網(wǎng)上任務(wù)型教學(xué)模式的探索與應(yīng)用

王建春（3.82）

把握科技脈搏 融合人文精神

——2015年《申論》國考題（地市級）解析

李建軍（3.86）

陳賓茂贛南采茶舞蹈的教學(xué)藝術(shù)研究

賴 丹,?？∮拢?.74）

淺談信息技術(shù)與課程整合

葛俊艷（4.78）

淺析高職院校藝術(shù)教育傳承傳統(tǒng)文化的途徑

李海英（4.81）

淺談軟式排球在高校女生排球教學(xué)中的優(yōu)勢

柴 健，王 陽（4.84）

家庭環(huán)境對幼兒心理健康的影響及干預(yù)措施

曹新茹，李 梅（4.87）

Moodle學(xué)習(xí)平臺管理有關(guān)問題研究

張瑞英（5.65）

開放大學(xué)建設(shè)背景下基層電大科研文化重建的思考

劉維理（5.70）

網(wǎng)絡(luò)社區(qū)環(huán)境中的社會工作問題探析

董 潔（5.74）

基于博弈論思想的獎、助學(xué)金評定效率與公平的實證研究

何樹勛，魯綿茸，牛高煥（5.77）

營養(yǎng)健康教育對高職生膳食營養(yǎng)狀況的影響

楊 麗（5.82）

試論英文電影《音樂之聲》對中學(xué)生生命價值觀的影響

朱 玲, 姚桂招（5.86）

中國開放大學(xué)章程建設(shè)的價值及關(guān)系分析

魏 萍（6.69）

馬來西亞宏愿開放大學(xué)OER項目的特色與啟示

丁 霞（6.72）

電大學(xué)生有關(guān)地方文化資源認(rèn)識現(xiàn)狀的調(diào)查分析

陳秀錦，方中華（6.76）

基于優(yōu)質(zhì)網(wǎng)絡(luò)課程的引領(lǐng)式教學(xué)模式

——以《公司財務(wù)》課程為例

谷茂春（6.79）

現(xiàn)代遠(yuǎn)程開放教育實踐教學(xué)質(zhì)量問題探微

——以甘肅電大直屬學(xué)院為例

劉沙茸（6.83）

【理 工】

三階常微分方程組三點邊值問題正解的存在性

何希萍（6.86）

2015-07-16

甘肅廣播電視大學(xué)科研項目“高階微分方程的多點邊值問題”（2014-YB-01）。

何希萍（1970-），女，甘肅民勤人，教授，理學(xué)碩士，主要從事常微分方程研究。

O175.14

A

1008-4630（2015）06-0086-05