3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度建模方法

落海偉，張 俊，王 輝，黃 田

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243032)

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度建模方法

落海偉1，張 俊2，王 輝1，黃 田1

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243032)

以三自由度并聯(lián)動(dòng)力頭A3(3-RPS)為研究對(duì)象，提出了一種基于子結(jié)構(gòu)綜合和靜態(tài)凝聚技術(shù)的靜剛度建模和自重變形求解方法．建模過程中，將機(jī)構(gòu)劃分為動(dòng)平臺(tái)和RPS伸縮支鏈子結(jié)構(gòu)，并綜合考慮了鉸鏈和支鏈彈性對(duì)靜剛度的貢獻(xiàn)．其中，球鉸和轉(zhuǎn)動(dòng)副處理為具有等效剛度的集中質(zhì)量虛擬彈簧；伸縮支鏈借助有限元軟件和靜態(tài)凝聚技術(shù)，建立了支鏈子結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；動(dòng)平臺(tái)處理為剛性質(zhì)量塊．通過引入變形協(xié)調(diào)條件，建立系統(tǒng)的整體剛度矩陣．研究結(jié)果表明，整機(jī)主剛度隨機(jī)構(gòu)位姿的變化而變化；在動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系下，3個(gè)方向線剛度呈對(duì)稱分布且w向剛度最大；運(yùn)動(dòng)部件自重會(huì)導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)末端產(chǎn)生較大彈性變形．該方法所得靜剛度變化規(guī)律通過實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證．

靜剛度；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；子結(jié)構(gòu)綜合；靜態(tài)凝聚

并聯(lián)機(jī)床具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強(qiáng)和運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，正逐漸成為高速機(jī)床領(lǐng)域備受關(guān)注的熱點(diǎn)，如已成功應(yīng)用于航空領(lǐng)域高速切削的Tricept[1]系列和Z3頭[2]等即是該類型機(jī)床的典型范例．基于此，有學(xué)者基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)3-RPS(R為轉(zhuǎn)動(dòng)副，P,為移動(dòng)副，S為球鉸)，發(fā)明了一種具有1平2轉(zhuǎn)(1T2R)3個(gè)自由度的并聯(lián)動(dòng)力頭——A3頭[3-4]，配以x、y兩個(gè)平動(dòng)自由度，即可形成一種新型結(jié)構(gòu)的五坐標(biāo)高速加工中心．

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度是影響機(jī)床定位精度的重要因素．在靜剛度預(yù)估方法中，最常用的為有限元分析法．雖然有限元軟件預(yù)估精度高，但如果要預(yù)估整個(gè)工作空間中靜剛度隨位型的變化規(guī)律，需要反復(fù)修改有限元模型并重新劃分網(wǎng)格[5]，耗時(shí)多，工作量大，且需要占用大量計(jì)算機(jī)資源．為便于進(jìn)一步進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，一些學(xué)者提出了靜剛度解析或半解析方法．

Gosselin[6]基于雅可比矩陣，借助虛功原理建立了僅考慮支鏈驅(qū)動(dòng)剛度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度模型．Majou等[7]在此方法基礎(chǔ)上引入了鉸鏈剛度，建立了三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)Orthoglide剛度模型．Xu等[8]在進(jìn)一步引入螺旋理論的基礎(chǔ)上建立了3-P RC的靜剛度模型．Wang等[9]利用同樣方法建立了6-P SS的靜剛度模型，并通過特征值對(duì)末端靜剛度在整個(gè)工作空間下的分布特性進(jìn)行了分析．Li等[3]利用虛功原理和全雅可比矩陣建立了3-RPS并聯(lián)動(dòng)力頭的靜剛度半解析模型，并基于等剛度原則對(duì)結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化．上述方法的基本原理是建立機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間到機(jī)構(gòu)末端的剛度映射，進(jìn)而得到機(jī)構(gòu)末端剛度值，但該方法只能獲得機(jī)構(gòu)末端的六自由度剛度矩陣，無法建立可以反映系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)靜剛度特性的總體剛度矩陣．

通過建立系統(tǒng)總體剛度矩陣可以實(shí)現(xiàn)末端載荷與整機(jī)各節(jié)點(diǎn)變形的映射關(guān)系．Deblaise等[10]利用子結(jié)構(gòu)綜合法建立了Delta的總體剛度矩陣，并對(duì)負(fù)載作用下整機(jī)變形規(guī)律進(jìn)行了分析，但該模型將支鏈簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的空間梁?jiǎn)卧瓽oncalves等[11]利用同樣方法建立了6-RSS總體剛度矩陣．Wu等[12]在利用子結(jié)構(gòu)綜合并考慮鉸鏈剛度的基礎(chǔ)上，建立了帶冗余驅(qū)動(dòng)的混聯(lián)機(jī)床總體剛度矩陣，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，但在該模型中，支鏈同樣被簡(jiǎn)化為空間梁?jiǎn)卧纱丝梢?，已有文獻(xiàn)在總體剛度矩陣建模過程中，均對(duì)復(fù)雜支鏈體進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，將支鏈處理為簡(jiǎn)單截面(矩形、圓型、圓環(huán)和中空矩形等)的空間梁?jiǎn)卧猍5,12]，導(dǎo)致其建模精度不足．

本文以3自由度并聯(lián)動(dòng)力頭A3為對(duì)象，首先借助有限元軟件和靜態(tài)凝聚技術(shù)，建立支鏈子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；其次在引入鉸鏈變形協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上，利用子結(jié)構(gòu)綜合構(gòu)造系統(tǒng)總體剛度矩陣；然后對(duì)整機(jī)靜剛度在工作空間中隨位姿的變化規(guī)律和受重力影響的變形規(guī)律進(jìn)行了分析；最后通過實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)靜剛度的變化規(guī)律進(jìn)行了驗(yàn)證．本文研究的目的旨在為A3頭的進(jìn)一步設(shè)計(jì)、改進(jìn)以及實(shí)際應(yīng)用提供重要的理論基礎(chǔ)．

1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 3-RPS結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

圖1所示為A3頭CAD模型結(jié)構(gòu)．該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和3條結(jié)構(gòu)相同的RP S支鏈構(gòu)成，其中，每條支鏈采用伺服電機(jī)通過絲杠螺母進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)沿z向的平動(dòng)和繞x、y軸轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè)自由度(1T2R)．

圖2 A3頭結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Schematic diagram of the A3 head

1.2 3-RPS運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖2為A3頭的結(jié)構(gòu)示意．其中，Ai、Bi、Ci(i=1,2,3)分別為第i條支鏈中球鉸中心、轉(zhuǎn)動(dòng)副中心和支鏈電機(jī)．動(dòng)平臺(tái)△A1A2A3與靜平臺(tái)△B1B2B3為正三角形，點(diǎn)A與B分別為其幾何中心．在B點(diǎn)建立靜平臺(tái)連體坐標(biāo)系BxByBzB，各軸方向如圖2所示；在A點(diǎn)建立動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系A(chǔ)uvw，初始狀態(tài)下各軸方向與BxByBzB平行；At為刀尖點(diǎn)，相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)uvw為wt；在Bi(i=1,2,3)點(diǎn)建立支鏈參考坐標(biāo)系Bixiyizi，各軸方向如圖2所示；s2i(i=1,2,3)為A3頭第i支鏈中移動(dòng)副的單位方向矢量；qi(i=1,2,3)為第i條支鏈球鉸與轉(zhuǎn)動(dòng)副之間的長度．

動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系A(chǔ)uvw相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系BxByBzB的姿態(tài)矩陣?yán)脄- x- z歐拉角表示為

式中：ψ、θ、φ分別為進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自旋角；Rot為旋轉(zhuǎn)矩陣．

式中：rA為點(diǎn)A在坐標(biāo)系BxByBzB的位置矢量；ai為球鉸中心Ai相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)uvw的位置矢量；bi為轉(zhuǎn)動(dòng)副中心Bi相對(duì)于坐標(biāo)系BxByBzB的位置矢量，具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[3]．

2 3-RPS子結(jié)構(gòu)靜力學(xué)模型

2.1 RPS支鏈子結(jié)構(gòu)模型

因伸縮支鏈為復(fù)雜的幾何體，支鏈內(nèi)部為帶筋的中空結(jié)構(gòu)，為同時(shí)滿足計(jì)算效率和求解精度，采用靜態(tài)凝聚技術(shù)建立支鏈的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣．通過有限元軟件ANSYS對(duì)支鏈進(jìn)行前處理后，將質(zhì)量矩陣和剛度矩陣導(dǎo)入MATLAB環(huán)境中進(jìn)行自由度凝聚；節(jié)點(diǎn)iB(轉(zhuǎn)動(dòng)副中心)為虛擬凝聚點(diǎn)[13]，通過多點(diǎn)差值約束方程與支鏈在封閉框范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)自由度uE連接，如圖3所示．

圖3 支鏈子結(jié)構(gòu)自由度縮聚Fig.3 Limb substructural freedom reduction

根據(jù)有限元方法可寫出支鏈的n自由度動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m、k分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；u、f分別為支鏈的廣義坐標(biāo)列陣和外載荷列陣．將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)劃分為保留坐標(biāo)au和凝聚掉的坐標(biāo)bu，經(jīng)排序和分塊處理后得

式中：aam和aak分別為與保留坐標(biāo)au對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；bbm和bbk分別為與凝聚坐標(biāo)bu對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；abm、bam、abk和bak分別為分塊后的交叉質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；af和bf分別為保留外載荷列陣和凝聚掉的外載荷列陣．根據(jù)靜態(tài)凝聚技術(shù)基本思想，可得

根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)凝聚前后動(dòng)能與勢(shì)能相等的原則，可得凝聚后的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣分別為

式中rm和rk分別為經(jīng)靜態(tài)凝聚后獲得的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣．

因支鏈長度iq隨機(jī)構(gòu)位姿變化，在子結(jié)構(gòu)綜合時(shí)，隨iq變化的對(duì)接節(jié)點(diǎn)無法滿足相容條件[3,14]．為實(shí)現(xiàn)不相容條件下的子結(jié)構(gòu)綜合，在對(duì)接界面中心建立虛擬凝聚點(diǎn)iB，Eu為au中的界面對(duì)接自由度，則

式中：矩陣CT為界面節(jié)點(diǎn)自由度與凝聚節(jié)點(diǎn)自由度之間的傳遞矩陣，通過多點(diǎn)差值約束方程獲??；B=u為界面自由度相對(duì)于支鏈廣義坐標(biāo)列陣的變換矩陣．

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可建立多點(diǎn)差值約束方程，則

式中：Bε和Bξ分別為凝聚節(jié)點(diǎn)的3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；Eku為Eu中第k個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；kw為權(quán)重系數(shù)，與對(duì)應(yīng)界面節(jié)點(diǎn)所代表的接觸區(qū)域成正比，具體選取過程可參考文獻(xiàn)[14]；Ckr為虛擬節(jié)點(diǎn)到相應(yīng)第k個(gè)界面節(jié)點(diǎn)的位置矢量；傳遞矩陣CT通過式(7)和式(8)確定．

根據(jù)支鏈的受力情況，整條支鏈可以看成是由兩組彈簧支撐的空間梁結(jié)構(gòu)[15]，其節(jié)點(diǎn)受力如圖4所示，圖中下標(biāo)s和r分別代表球鉸和轉(zhuǎn)動(dòng)副．

圖4 支鏈?zhǔn)芰κ疽釬ig.4 Force diagram of limb

式中ik為經(jīng)自由度縮聚后第i條支鏈的剛度矩陣．

圖5 動(dòng)平臺(tái)受力示意Fig.5 Force diagram of moving-platform

2.2 動(dòng)平臺(tái)子結(jié)構(gòu)模型

動(dòng)平臺(tái)受力示意如圖5所示．結(jié)合圖5受力情況可寫出動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：FPLi為動(dòng)平臺(tái)與第i條支鏈間的作用力；rAi為動(dòng)平臺(tái)球鉸鏈中心向量；FP、τP分別為動(dòng)平臺(tái)所受到的外部力和力矩；Ri為支鏈坐標(biāo)系Bixiyizi到系統(tǒng)坐標(biāo)系BxByBzB的變換矩陣．

3 3-RPS子結(jié)構(gòu)綜合

3.1 變形協(xié)調(diào)條件

動(dòng)平臺(tái)和支鏈間的位移關(guān)系如圖6所示，圖中，AiM、AiL分別表示連接界面上動(dòng)平臺(tái)和支鏈上的點(diǎn)；?Ai、εAi分別為AiM、AiL在支鏈坐標(biāo)系Bixiyizi下的位移．

圖6 球鉸鏈連接示意Fig.6 Connection of the sphere joint

式中rAix、rAiy和rAiz分別為Ai點(diǎn)在坐標(biāo)系BxByBzB下向量iAr的坐標(biāo)．

于是，動(dòng)平臺(tái)和支鏈之間的作用力可表示成

式中ksi為球鉸鏈在支鏈坐標(biāo)系Bixiyizi下相應(yīng)方向上的剛度矩陣，ksi=diag(ksxi,ksyi,kszi)，詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[3]．將式(11)代入式(15)，并將ui轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)坐標(biāo)系BxByBzB下可得

同理，可推得第i條支鏈上轉(zhuǎn)動(dòng)副連接界面的作用力可表示為

式中r1k和r2k分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副的線剛度和角剛度．

轉(zhuǎn)動(dòng)副的各向剛度主要由轉(zhuǎn)動(dòng)副軸承組件、封閉框、導(dǎo)軌滑塊組件和絲杠組件組成，具體轉(zhuǎn)動(dòng)副組件受力分析可參考文獻(xiàn)[3]．

3.2 系統(tǒng)總體矩陣

將彈性變形協(xié)調(diào)方程式(16)、(17)代入各子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(13)，經(jīng)組裝并整理后可得系統(tǒng)靜力學(xué)方程

式中：K為系統(tǒng)的總體剛度矩陣；U和F分別為系統(tǒng)的廣義位移列陣和廣義力列陣，分別為

式中：4M為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量矩陣；1M、2M和3M分別為伸縮支鏈質(zhì)量矩陣，通過式(6)中rm獲得．

4 算例及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

A3頭結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，其中Pz=s+d為動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)中心距離，s=0～200 mm 為A3頭全姿態(tài)沿zB向行程，θmax為動(dòng)平臺(tái)最大擺角．提取式(18)剛度矩陣K，通過矢量wt將其轉(zhuǎn)換到動(dòng)平臺(tái)末端連體坐標(biāo)系A(chǔ)tuvw進(jìn)行度量．

表1 A3頭結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Geometrical parameters of the A3 head

圖7為Pz=550 mm、分別沿動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系u、v和w方向的線剛度變化趨勢(shì)．從圖7(a)和(b)可以看出：當(dāng)動(dòng)平臺(tái)沿Bx軸擺動(dòng)時(shí)，u方向剛度減小，v方向剛度增大；沿By軸擺動(dòng)時(shí)，u方向剛度增大，v方向剛度減小，而且沿By軸擺動(dòng)時(shí)，uv、兩個(gè)方向的剛度呈典型的面對(duì)稱分布．圖7(c)顯示，沿w方向的線剛度為三對(duì)稱分布，在擺角較小的情況下，沿w軸方向的線剛度遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向．

圖7 A3頭線剛度分布示意Fig.7 Line stiffness distribution of the A3 head

引入質(zhì)量矩陣M，在重力Fg(g=9.8 m/s2)的作用下，整機(jī)彈性變形Δ為

圖8為動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)中心距分別為550mm和750mm位型時(shí)，整機(jī)在運(yùn)動(dòng)副自重作用下產(chǎn)生的彈性變形示意(變形量放大1,200倍)．當(dāng)機(jī)構(gòu)從位型1P運(yùn)動(dòng)到位型2P時(shí)，在重力作用下，整機(jī)沿By軸負(fù)方向產(chǎn)生彈性變形，表2中yΔ為動(dòng)平臺(tái)受重力作用沿By軸的彈性變形量，xθΔ為變形過程中動(dòng)平臺(tái)沿Bx軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量．表2中數(shù)據(jù)顯示，動(dòng)平臺(tái)沿Bz軸伸長過程中，從Pz=550 mm 位型時(shí)的57μ m增加到Pz=750 mm位型時(shí)的133 mμ，在200 mm的行程范圍內(nèi)變形量增幅達(dá)76 mμ．在該行程范圍內(nèi)，繞自身的轉(zhuǎn)動(dòng)變化量為0.15°．從圖8可以看出，在重力作用下，支鏈自身的變形量相對(duì)較小，球鉸鏈和轉(zhuǎn)動(dòng)副的彈性變形量相對(duì)較大．因轉(zhuǎn)動(dòng)副的弱剛性，在負(fù)載作用下，支鏈繞轉(zhuǎn)動(dòng)副的約束軸產(chǎn)生彈性變形，使得機(jī)構(gòu)在BBx z平面內(nèi)產(chǎn)生平行四邊形效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)在伸縮過程中產(chǎn)生近似平行的下垂現(xiàn)象．因此，在進(jìn)一步設(shè)計(jì)和改進(jìn)過程中，應(yīng)該重點(diǎn)加強(qiáng)R副的剛度并降低動(dòng)平臺(tái)的自身質(zhì)量．

圖8 A3頭在重力作用下的變形Fig.8 Diagram of A3 head deformation from gravity

表2 A3頭受重力作用動(dòng)平臺(tái)變形量Tab.2 Moving platform deformation from gravity of the A3 head

圖9為樣機(jī)剛度實(shí)測(cè)圖．本次實(shí)驗(yàn)選用螺旋千斤頂給動(dòng)平臺(tái)末端施加固定載荷，加載力測(cè)量裝置為BK-2B壓力測(cè)力儀，用來顯示加載量，千分表①～⑤用來顯示各測(cè)量點(diǎn)的變形量(μm)，其中，千分表①用來測(cè)量機(jī)構(gòu)末端對(duì)應(yīng)加載方向上的變形量，千分表②～⑤用來測(cè)量因基座彈性變形所引入的測(cè)試誤差，在后續(xù)靜剛度分析時(shí)用以消除測(cè)量誤差，提高測(cè)試精度．每個(gè)位型下分別記錄u方向的加載力和各測(cè)試點(diǎn)靜態(tài)變形量，以0.5,kN為加載量，從0加載到4,kN，提取測(cè)量結(jié)果線性度較好的數(shù)據(jù)，通過直線擬合來求解整機(jī)靜剛度，為消除誤差，每組數(shù)據(jù)測(cè)試3次，最后取平均．

表3和表4分別為動(dòng)平臺(tái)沿zB軸伸出和繞yB軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，沿動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系u方向的理論與實(shí)測(cè)剛度值．?dāng)?shù)據(jù)顯示，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)中心距Pz增大時(shí)，沿u方向的線剛度逐漸降低．在Pz=550 mm 、θx=0°時(shí)，當(dāng)θy從0°增大到30°時(shí)，u向線剛度從初始狀態(tài)的7.88 N/μm增大到10.68 N/μm．其中，在擺角小于20°范圍之內(nèi)，仿真誤差較小，當(dāng)θy=30°時(shí)，誤差相對(duì)較大．

圖9 樣機(jī)剛度實(shí)驗(yàn)Fig.9 Stiffness measurement setups

表3 A3頭沿zB軸移動(dòng)時(shí)u向線剛度Tab.3The u-direction stiffness of the A3 head when moving along zBaxis

表4 A3頭沿yB軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)u向線剛度Tab.4The u-direction stiffness of the A3 head when rotating about yBaxis

可以看出，靜剛度理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)結(jié)果存在一定誤差，首先是由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度的變化是一個(gè)非線性過程，與機(jī)構(gòu)位型有極強(qiáng)的相關(guān)性，導(dǎo)致理論計(jì)算值在姿態(tài)角較大的情況下模擬值與實(shí)測(cè)值誤差較大；其次，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的鉸鏈剛度對(duì)整機(jī)靜剛度影響較大，在理論計(jì)算時(shí)，各關(guān)鍵鉸鏈剛度都是按理想狀態(tài)處理的，3條支鏈所對(duì)應(yīng)的鉸鏈裝配精度都一樣，每條支鏈對(duì)應(yīng)軸承和導(dǎo)軌的預(yù)緊力一致，所以3條RPS支鏈上對(duì)應(yīng)的3組鉸鏈等效剛度在理論仿真過程中均按照同樣的方式等效而來，但是在原型樣機(jī)中，由于制造和安裝原因，各關(guān)鍵零部件的預(yù)緊力和裝配誤差均存在一定差異，而且某些部件還存在預(yù)緊力不足、鉸鏈內(nèi)部存在間隙等現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值存在一定誤差．

但從總體來看，實(shí)測(cè)靜剛度變化規(guī)律與理論仿真的變化規(guī)律一致，且仿真誤差處于合理范圍之內(nèi)．其他方向剛度也可通過類似方法獲取，本文不再一一贅述．

5 結(jié) 論

(1) 整機(jī)的主剛度隨機(jī)構(gòu)位姿的變化而變化，且在動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系下u、v方向的線剛度呈面對(duì)稱分布，w方向的線剛度呈三對(duì)稱分布．

(2) 在工作空間下，沿w方向的線剛度較高，遠(yuǎn)大于u、v方向的線剛度，尤其是在擺角為零的位姿下，沿w方向線剛度達(dá)到最大．

(3) 該方法可以求出整機(jī)在重力作用下的變形規(guī)律，為整機(jī)的薄弱環(huán)節(jié)分析提供新的理論依據(jù)．

(4) 本文方法求解的靜剛度與實(shí)測(cè)結(jié)果相比，誤差處于合理范圍之內(nèi)．

本文方法既可以快速預(yù)估整個(gè)工作空間中靜剛度隨位型的變化規(guī)律，也可以求解不同位型下運(yùn)動(dòng)部件自重引起的彈性變形對(duì)末端定位精度的影響；而且，在末端負(fù)載或自重作用下，本文方法不僅可以求解末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的變形量，還可以獲得RPS伸縮支鏈各節(jié)點(diǎn)和鉸鏈之間的變形量，有助于對(duì)整機(jī)各環(huán)節(jié)的柔度特性進(jìn)行深入分析，為該類型機(jī)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)、改進(jìn)和實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)．

［1］ Caccavale F，Siciliano B，Villani L. The Tricept robot：Dynamics and impedance control[J]. IEEE/ ASME Transactions on Mechatronics，2003，8(2)：263-268.

［2］ Hennes N，Staimer D. Application of PKM in aerospace manufacturing high performance machining centers ECOSPEED，ECOSPEED-F and ECOLINER [C]// Proceedings of the 4th Chemnitz Parallel Kinematics Seminar. Chemnitz，Germany，2004：557-568.

［3］ Li Yonggang，Liu Haitao，Zhao Xueman，et al. Design of a 3-DOF PKM module for large structural component machining[J]. Mechanism and Machine Theory，2010，45(6)：941-954.

［4］ 陳 闖，王 輝，莊嘉興. 一種新型并聯(lián)動(dòng)力頭的前饋控制策略與實(shí)驗(yàn)[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2014，47(8)：672-676. Chen Chuang，Wang Hui，Zhuang Jiaxing. Feedforward control strategy and experiment on a novel parallel spindle[J]. Journal of Tianjin University: Science and Technology，2014，47(8)：672-676(in Chinese).

［5］ Law M，Ihlenfeldt S，Wabner M，et al. Positiondependent dynamics and stability of serial-parallel kinematic machines [J]. CIRP Annals：Manufacturing Technology，2013，62(1)：375-378.

［6］ Gosselin C. Stiffness mapping for parallel manipulators [J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation，1990，6(3)：377-382.

［7］ Majou F，Gosselin C，Wenger P，et al. Parametric stiffness analysis of the Orthoglide[J]. Mechanism and Machine Theory，2007，42(3)：296-311.

［8］ Xu Qingsong，Li Yangmin. An investigation on mobility and stiffness of a 3-DOF translational parallel manipulator via screw theory[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2008，24(3)：402-414.

［9］ Wang Dan，F(xiàn)an Rui，Chen Wuyi. Stiffness analysis of a hexaglide parallel loading mechanism[J]. Mechanism and Machine Theory，2013，70：454-473.

［10］ Deblaise D，Hernot X，Maurine P. A systematic analytical method for PKM stiffness matrix calculation[C]//Proceedings 2006 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Florida，USA，2006：4213-4219.

［11］ Gon?alves R S，Carvalho J C M. Stiffness analysis of parallel manipulator using matrix structural analysis[C]//Proceedings of EUCOMES 08. Germany：Springer，2009：255-262.

［12］ Wu Jun，Wang Jinsong，Wang Liping，et al. Study on the stiffness of a 5-DOF hybrid machine tool with actuation redundancy[J]. Mechanism and Machine Theory，2009，44(2)：289-305.

［13］ Heirman G，Desmet W. Interface reduction of flexible bodies for efficient modeling of body flexibility in multibody dynamics[J]. Multibody System Dynamics，2010，24(2)：219-234.

［14］ Law M，Srikantha Phani A，Altintas Y. Positiondependent multibody dynamic modeling of machine tools based on improved reduced ordermodels[J]. ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering，2013，135(2)：021008-1-021008-11.

［15］ 宋軼民，程 航，孫 濤，等. 并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副滾動(dòng)軸承靜剛度參數(shù)辨識(shí)[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2014，47(12)：1101-1108. Song Yimin，Cheng Hang，Sun Tao，et al. Static stiffness parameter identification of rolling bearings in parallel mechanisms with revolute joints[J]. Journal of Tianjin University: Science and Technology, 2014, 47(12): 1101-1108(in Chinese).

(責(zé)任編輯：金順愛)

Static Stiffness Modeling Method of 3-RPS PKM

Luo Haiwei1，Zhang Jun2，Wang Hui1，Huang Tian1
(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243032，China)

A static stiffness modeling and weight deformation solving method for a three degree of freedom(3-DOF)parallel kinematic manipulator(PKM)A3 was proposed using the substructure synthesis and static condensation technique. During the modeling process，the whole system was divided into moving platform subsystem and three identical RPS limb subsystems，in which the contributions of the joint and limb compliances to the static stiffness were considered. In the stiffness model，the sphere joint and the revolute joint were treated as lumped virtual springs with equal stiffness，the platform was treated as a rigid body，and the structural mass matrix and the stiffness matrix of the RPS limbs were established using finite element software and static condensation technique. With the compatibility conditions at interface between the limbs and the platform，an analytical governing dynamic equation of the system was then proposed. The simulation results show that the system stiffness vary with the changes of the configuration. In the coordinate system fixed to the moving platform，the distribution of the stiffness is axially symmetrical and the linear stiffness in w direction is the highest. The tip of the spindle claims a large elastic deformation due to gravity. The static stiffness simulation results are further validated by the experimental data.

static stiffness；parallel kinematic manipulator(PKM)；substructure synthesis；static condensation

TH112.5

A

0493-2137(2015)09-0797-07

10.11784/tdxbz201402014

2014-02-14；

2014-03-24.

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2012AA040702)；教育部高等學(xué)校博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20110032130006).

落海偉（1985— ），男，博士研究生，luohaiwei85@163.com.

王 輝，wanghui@tju.edu.cn.

時(shí)間：2014-04-18.

http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201402014.html.