王二化,吳 波,胡友民,王 軍,楊叔子
(1.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,江蘇 常州 213164;2.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430074)
為保證切削過程的穩(wěn)定性,通常用穩(wěn)定性Lobe圖來確定切削過程中穩(wěn)定和不穩(wěn)定的切削區(qū)域,而穩(wěn)定性Lobe圖的繪制需要首先獲取機(jī)床的動力學(xué)知識(刀尖頻響函數(shù))。刀尖頻響函數(shù)可以通過激振實(shí)驗(yàn)方法獲得[1-2],但對于大量主軸、刀柄和刀具組合來說,需要對每一種組合重復(fù)相同的實(shí)驗(yàn),在生產(chǎn)實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)。為了解決這個問題,美國標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)研究院Schmitz等[3-4]提出了動柔度耦合子結(jié)構(gòu)分析方法(RCSA),接著,一些研究人員[5-7]對其進(jìn)行了一些改進(jìn)。在這些刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型中,一般通過模態(tài)疊加法計算刀柄和刀具端點(diǎn)頻響函數(shù),這種方法有兩個方面的缺陷:① 引入模態(tài)誤差,降低子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)精度;② 模態(tài)疊加法計算量較大,影響預(yù)測效率。
本研究是在課題組胡峰、吳波等相關(guān)研究基礎(chǔ)上[8-9],針對模態(tài)疊加法中出現(xiàn)的問題,本研究以Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和RCSA耦合技術(shù)為基礎(chǔ),提出了一種新的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法。由于避免了大量復(fù)雜的模態(tài)分析,該算法在精度和效率方面都具有較大優(yōu)勢,有助于快速地得到高精度的刀尖頻響函數(shù),為保證切削過程的穩(wěn)定提供必要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。
在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中,常用的梁結(jié)構(gòu)包括歐拉-伯努利梁和Timoshenko梁兩種形式。歐拉-伯努利梁適用于高度遠(yuǎn)小于跨度的細(xì)長結(jié)構(gòu),但對于跨度長度比較小的結(jié)構(gòu),計算精度就很難滿足實(shí)際需要。針對主軸、刀柄和刀具結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的Timoshenko梁理論[10]建立各子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型,根據(jù)參考文獻(xiàn)[11-12],作者通過單段Timoshenko梁運(yùn)動學(xué)方程和動平衡條件計算各子結(jié)構(gòu)左右兩端截面之間的傳遞矩陣。
以兩端自由的Timoshenko梁段作為研究對象,計算其左右兩端的傳遞矩陣,梁段如圖1所示。
圖1 Timoshenko梁模型Fig.1 Timoshenko beam model
Timoshenko梁段的運(yùn)動方程如下所示
其中:y(x,t)為梁上任一點(diǎn)的瞬時位移;A是梁段橫截面積;m為單位長度的梁段質(zhì)量;E是楊氏彈性模量(假設(shè)各向同性);G是剪切模量;k是剪切系數(shù);I是二階截面慣性矩,l為梁段長度,Mi-1,Qi-1分別為梁段左端面的彎矩和剪切力,Mi,Qi分別為梁段右端面的彎矩和剪切力。
兩端自由Timoshenko梁段的動平衡方程為
根據(jù)Timoshenko梁段運(yùn)動和動平衡方程,可以推導(dǎo)出梁段左截面狀態(tài)矢量為
同樣,梁段右端面的狀態(tài)矢量為
其中,矩陣T1和T2如表達(dá)式(3)和(4)所示,可得梁段左端面和右端面之間的關(guān)系如下
因此,可得兩端自由Timoshenko梁段左端面和右端面之間的傳遞矩陣如下所示。
在主軸建模過程中,除了兩端自由Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣外,還需考慮軸承等彈性支撐元件左右端面的傳遞矩陣。本節(jié)以等效剛度ky和等效粘性阻尼系數(shù)cy支撐的無質(zhì)量Timoshenko梁段為研究對象,分析其受力情況,如圖2所示。
圖2 彈性支撐結(jié)構(gòu)及其受力分析圖Fig.2 Structure and the force analysis diagram of elastic supporting
其中:Mi-1和Mi分別為施加在彈性支撐左端面和右端面上的彎矩;Qi-1和Qi分別為彈性支撐左端面和右端面上的剪切力;yi-1為彈性支撐左端面上的直線位移;ω是角頻率。根據(jù)平衡和兼容條件,彈性支撐左右端面的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系如下所示
彈性支撐左右端面狀態(tài)矢量的傳遞矩陣為
如上所述,本研究利用多段Timoshenko梁建立主軸、刀柄和刀具模型,并通過傳遞矩陣法計算各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù),最后利用RCSA法耦合各子結(jié)構(gòu)預(yù)測刀尖頻響函數(shù)。
通過上述Timoshenko梁和彈性支撐元件的傳遞矩陣?yán)碚摚@取各子結(jié)構(gòu)左右端面總體傳遞矩陣,并通過適當(dāng)變換,計算各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)。
首先定義子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)H,N,L和P如下
其中:y和θ分別為子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)直線位移和角位移;f和m分別為作用在端點(diǎn)0和k上的力和彎矩。
以主軸為研究對象,利用多段Timoshenko梁理論和彈簧阻尼單元建立主軸動力學(xué)模型如圖3所示。
圖3 彈簧和阻尼支撐的主軸動力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of the spindlesupported by springs and dampers
其中:kyf和cyf分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;kyr和cyr分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;0,1,2,…,11代表多段 Timoshenko梁的各個截面;[T1],[T3],…,[T8],[T10],[T11]分別表示分布質(zhì)量梁段左右端面狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系,[T2]和[T9]表示彈性支撐單元的傳遞矩陣。
通過單段Timoshenko梁和彈性支撐單元傳遞矩陣計算方法,可得主軸子結(jié)構(gòu)的整體傳遞關(guān)系如下所示
為了計算主軸端點(diǎn)頻響函數(shù),將0點(diǎn)到11點(diǎn)狀態(tài)矢量的傳遞方程修改為
為了獲取刀尖頻響函數(shù)H00和N00,方程(12)可以簡化為
方程(13)的后兩個表達(dá)式如下所示
刀尖頻響函數(shù)H00和N00可以得到
利用相似的方法,刀尖頻響函數(shù) L00和 P00可以得到
利用同樣的方法,可以得到剩余的12個刀尖頻響函數(shù)。
主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣可以表示如下
同樣利用多段Timoshenko梁建立刀柄和刀具動力學(xué)模型,如圖4所示。
圖4 刀柄和刀具動力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model of the holder and tool
其中:0,1,2,…,6等分別為各段 Timoshenko梁端面,[T1],[T2],[T3],…,[T6]等分別為各段 Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣。
利用和計算主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)相似的方法,可以得到刀柄和刀具端點(diǎn)頻響函數(shù),其頻響函數(shù)矩陣分別為
得到主軸、刀柄和刀具三個子結(jié)構(gòu)的端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣后,利用RCSA方法獲取主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的刀尖頻響函數(shù)[7],三部件耦合結(jié)構(gòu)如圖5所示。為了獲得更加精確的刀尖頻響函數(shù),主軸-刀柄與刀柄-刀具之間結(jié)合面直線與轉(zhuǎn)動剛度和阻尼均需考慮。為了建立一個更加真實(shí)的模型,主軸中的刀柄部分看成是主軸的一部分,刀柄中的主軸部分看成是刀柄的一部分。
圖5 主軸、刀柄和刀具的彈性耦合結(jié)構(gòu)Fig.5 Elastic coupling structure of the spindle,holder and tool
主軸-刀柄結(jié)合面動力學(xué)的復(fù)剛度矩陣可以表示如下
利用RCSA方法,主軸-刀柄耦合系統(tǒng)SH端點(diǎn)頻響函數(shù)如下所示
得到主軸-刀柄耦合系統(tǒng)SH端點(diǎn)頻響函數(shù)后,利用相似的方法,主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣可以得到。裝配體刀尖頻響函數(shù)矩陣的第一個元素如下所示[7]
其中:Kht是刀柄-刀具結(jié)合面的復(fù)剛度矩陣,如下所示
為了論證本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法,本章選擇參考文獻(xiàn)[7]使用的案例進(jìn)行刀尖頻響函數(shù)預(yù)測研究,本案例使用的主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)如圖6所示。
圖6 案例研究的各子結(jié)構(gòu)及其裝配體Fig.6 Each substructure and the assembly of case study
選擇鋼作為主軸,刀柄和刀具的材料,密度ρ=7800 kg/m3,楊氏模量 E=200GPa,泊松比 v=0.3。軸承、結(jié)合面動態(tài)參數(shù)及主軸、刀柄和刀具結(jié)構(gòu)尺寸如表1~3所示。
表1 軸承及各結(jié)合面平均動態(tài)參數(shù)Tab.1 Average dynamic parameters of the bearing and interfaces
表2 軸承距主軸右端面的距離Tab.2 Distancesofthebearings fromtherightendofthespindle
表3 子結(jié)構(gòu)尺寸:(1)主軸,(2)刀柄,(3)刀具Tab.3 Substructuredimensions:(1)spindle;(2)holder;(3)tool
其中,各子結(jié)構(gòu)梁段都是從圖形右邊開始編號,刀具懸臂長度為85mm。
根據(jù)本案例提供的各子結(jié)構(gòu)尺寸、軸承、結(jié)合面動態(tài)參數(shù),利用本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法,計算主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn),在刀尖頻響函數(shù)計算過程中,需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算,因此,選擇擅長矩陣運(yùn)算的大型工程軟件MATLAB實(shí)現(xiàn)本研究提出的算法[13]。
通過RCSA耦合方法,利用彈簧阻尼單元將主軸、刀柄和刀具三個子結(jié)構(gòu)耦合起來,可以得到刀尖頻響函數(shù)如圖7所示。
由圖7可以看出,在感興趣的頻帶(0~4000Hz)范圍內(nèi)有七階模態(tài),前兩階剛體模態(tài)固有頻率分別為71.6Hz和196.1Hz,它們主要取決于主軸的尺寸,支撐方式和支撐位置。其它模態(tài)都是彈性模態(tài),它們主要受主軸-刀柄和刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)控制。
圖7 主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù):幅值和相位圖Fig.7 ToolpointFRFofthespindle-h(huán)older-tool system:magnitudeandphasediagrams
為了驗(yàn)證本文提出的計算方法,利用有限元軟件ANSYS12.0建模給定的主軸、刀柄和刀具組合,通過有限元分析方法獲取主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的刀尖頻響函數(shù)[14-15]。在這個有限元模型中,Timoshenko梁單元Beam188用來建模給定組合的每個子結(jié)構(gòu),Beam188梁單元具有兩個結(jié)點(diǎn),并且每個結(jié)點(diǎn)能處理六個自由度。軸承、主軸-刀柄和刀柄-刀具結(jié)合面的動態(tài)特征利用ANSYS12.0的彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬。給定的主軸-刀柄-刀具組合的有限元、文獻(xiàn)[7]和本文分析結(jié)果,及誤差百分比如表4所示。
表4 案例研究中裝配體的固有頻率Tab.4 Naturalfrequencyofthe assemblyinthiscasestudy
由表4可以看出,本研究提出的刀尖頻響預(yù)測方法與有限元結(jié)果一致性較好,前七階模態(tài)最大誤差不超過3%,除第二階模態(tài)固有頻率精度稍差外,其它幾階模態(tài)固有頻率精度都明顯優(yōu)于參考文獻(xiàn)[7]提出的計算方法。
利用指定的計算機(jī)(Pentium?Dual-CoreCPU2.93 GHz,2.0 GB RAM),通過有限元模型計算給定組合刀尖頻響函數(shù)(頻段:0~4000 Hz,頻率增量:0.5 Hz)需要30 min。然而,在同一臺計算機(jī)上,通過本文提出的理論模型計算給定組合刀尖頻響函數(shù)僅需30 s,而利用文獻(xiàn)[7]提出的預(yù)測模型大約需要45 s,可以看出,本文提出的分析方法大大減少了計算時間,這主要因?yàn)楸苊饬擞邢拊P秃臀墨I(xiàn)[7]中大量的模態(tài)分析,此外,由MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)的傳遞矩陣法能直接求解裝配體的頻響函數(shù),省去了在有限元分析方法中大量的建模和網(wǎng)格劃分時間。
本研究結(jié)合Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和子結(jié)構(gòu)耦合方法,提出了一種主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型。比較有限元、文獻(xiàn)[7]和本文提出的理論模型計算結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn),和文獻(xiàn)[7]建立的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型相比,本文提出的理論模型在精度和效率方面都具有明顯優(yōu)勢。本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法有助于快速地得到高精度的立式銑床刀尖頻響函數(shù)[16],為保證切削過程的穩(wěn)定提供必要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。
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