從一道題目看“轉(zhuǎn)化思想”

劉偉

我們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常把有待解決或難以解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，使它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，從而求得原問題的解答，這里運用的就是轉(zhuǎn)化思想.教育家維果茨基認(rèn)為，學(xué)生發(fā)展具有兩種水平：一是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平，二是可能達(dá)到的發(fā)展水平。從某種程度上來說，轉(zhuǎn)化思想就是從“已達(dá)到的發(fā)展水平”，上升到“可達(dá)到的發(fā)展水平”，使學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上，提高分析和解決問題的能力。

題目：設(shè)x，y是正實數(shù)，求代數(shù)式 + 的最大值.

此題屬于基本不等式范疇，但形式上看又有差距，需要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化變形，將未知轉(zhuǎn)化為已知是解決此題的關(guān)鍵。

一、利用整體思想轉(zhuǎn)化為基本不等式

我們知道運用基本不等式a+b≥2 求最值時需要滿足兩個特征：一是左邊a，b同為正數(shù)（a，b同為負(fù)數(shù)時為a+b≤-2 ）；二是右邊ab之積需為一個常數(shù)。而形如 + 的代數(shù)式也是符合的，更進(jìn)一步我們可以將其中的a，b代換為一個整體，例如 + 仍然符合上述特征。

解：令A(yù)=（ +m+ +n）-m-n= + -m-n

當(dāng)則（2m+1）∶m=1∶2n∶（2n+2）=2∶1時，原式可轉(zhuǎn)化為基本不等式求解.

解得：m=- n=- ，即A= + +2≤- ×2 +2

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即x= y時，取得最大值2- .

二、通過分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為基本不等式

用基本不等式求代數(shù)式 + 的最值是我們非常熟悉的，形如 + 的代數(shù)式通過分離常數(shù) + =2+（ + ）+1也能轉(zhuǎn)化為基本不等式求解，這給我們提供了借鑒，令A(yù)= + ，x>0，y>0.

不妨將分母2x+y，x+2y分別看成一個整體，設(shè)兩分式的分母2x+y=ax+2y=b （a>0，b>0），得x= y= ，代入分離常數(shù)、化簡：

A= + = + =2-（ + ），a>0，b>0.

由此我們將原問題轉(zhuǎn)化為基本不等式的最值問題.

利用基本不等式得A≤2-2 =2- ，

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即b= a時取得最大值2- .

三、通過換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

此問題中有兩個未知數(shù)，而且兩未知數(shù)不存在等量關(guān)系，不能通過常規(guī)的“代入法”達(dá)到消元的目的。仔細(xì)觀察代數(shù)式，我們注意到兩個分式的分子、分母都是x，y一次關(guān)系式，利用分式的基本性質(zhì)，將分子、分母同時除以x（或y），則可化為關(guān)于 的函數(shù)。

由已知條件x，y是正實數(shù)，分子、分母同除以x得：

A= + = +

令 =t，t>0，代入化簡得A= + = .

至此，我們將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題.

由判別式法求得A≤2- 或A≥2+

∵t>0得A= + < +1

∴A≤2- ，當(dāng)t= ，即x= 時y取得最大值2- .

四、回顧反思

布盧姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》明確指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”。如果學(xué)生在掌握雙基的同時，接受了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會了數(shù)學(xué)方法，就能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高分析問題和解決問題的能力，并為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。本例是從聯(lián)想的角度，借助整體思想、換元等技巧實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。在面對一個陌生的問題時，學(xué)生往往不能馬上找到解決之法，而是在直覺選擇的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、化歸與構(gòu)建的過程來確定解題的識別點。“遇新思陳、推陳出新、舉一反三”就是要在當(dāng)前問題與頭腦中已有經(jīng)驗之間建立聯(lián)系。無論在什么情況下都應(yīng)該清醒地看到，所積累的知識和經(jīng)驗都是解決問題的根本，善于轉(zhuǎn)化，很多問題都是可以迎刃而解的。

編輯 王團(tuán)蘭endprint