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    由一道高考錯(cuò)題引發(fā)的思考

    2015-06-03 18:54:59李林
    新課程·中學(xué) 2015年3期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)確性檢驗(yàn)

    摘 要:數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)具有應(yīng)用性、靈活性、抽象性、準(zhǔn)確性。說到準(zhǔn)確性,要求學(xué)生計(jì)算過程要準(zhǔn)確,計(jì)算結(jié)果要經(jīng)得住檢驗(yàn)。2013年全國高考數(shù)學(xué)理科試題(浙江卷)第15題,由于出題者和審題人的疏忽,導(dǎo)致出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)題。究其原因可能是因?yàn)榇祟}是一道填空題,出題人在編制題目時(shí)并沒有對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),從而導(dǎo)致在影響如此重大的考試中出現(xiàn)錯(cuò)題,值得數(shù)學(xué)老師認(rèn)真反思。

    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)確性;檢驗(yàn);高考錯(cuò)題

    下面就題目本身以及可能出現(xiàn)的問題加以說明。

    設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)P(-1,0)的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),若FQ=2,則直線的斜率等于 .

    給出的參考答案是k=±1,大致的解法有兩種:

    解法一:(點(diǎn)差法)

    設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),由于點(diǎn)A,B都在拋物線上,故滿足y12=4x1y22=4x2,兩式相減得到(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以y0= ,又點(diǎn)Q在直線l上,故可得x0= ,根據(jù)FQ= =2,解出k=±1.

    解法二:(聯(lián)立方程,代入法)

    設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),聯(lián)立方程y=k(x+1)y2=4x,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由韋達(dá)定理可得,x1+x2= ,于是x0= ,代入y=k(x+1),得到y(tǒng)0= ,根據(jù)FQ= =2,解出k=±1.

    以上兩種解法見于對浙江高考題的各種解讀資料,初看沒有任何問題,兩種解法得到的結(jié)果都一樣,但我們忽略了一個(gè)重要環(huán)節(jié)——檢驗(yàn)。不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=1時(shí),此時(shí)直線的方程為y=x+1,與拋物線聯(lián)立消y后得到x2-2x+1=0,即x=1,也就是說直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn),即直線l與拋物線C相切,當(dāng)k=-1時(shí)同理。這與題中所述直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A,B顯然矛盾。綜上所述,題目本身在設(shè)置上出現(xiàn)了重大錯(cuò)誤。

    同樣的問題出現(xiàn)在了人教A版選修2-1習(xí)題2.3的B組第4題中,該題是這樣敘述的:已知雙曲線x2- =1,過點(diǎn)P(1,1)能否做一條直線l,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)?其中王后雄學(xué)案教材完全解讀中給出的解法是:設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),x12- =1x22- =1,兩式相減得

    (x1+x2)(x1-x2)= ,又中點(diǎn)P(1,1),所以得k=2,故存在直線l∶y=2x-1使得題目中的條件成立。

    但我們在汲取了浙江高考題的失誤教訓(xùn)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)將所得直線代入雙曲線方程,消y后可得2x2-4x+3=0,該二次方程的判別式?駐<0,也就是說直線與雙曲線無交點(diǎn),故不存在這樣的直線使得題目中的條件成立。

    通過以上兩題,筆者認(rèn)為不論我們在編制題目還是在解類似問題時(shí),結(jié)果的檢驗(yàn)很關(guān)鍵,應(yīng)努力做到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn),盡信書不如無書。

    作者簡介:李林,男,碩士研究生,新疆阜康市第一中學(xué),計(jì)算數(shù)學(xué)。

    編輯 楊兆東endprint

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