電場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題分析

蘇靜

在物理高考中，物體在勻強(qiáng)電場內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)考點(diǎn)，對學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)，而解決這一類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到等效最高點(diǎn)的位置.物體在勻強(qiáng)電場中能不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，就看它能不能過等效最高點(diǎn)，也就是物體在等效最高點(diǎn)的速度滿足某一值時(shí)，才能通過最高點(diǎn).我們知道小球在細(xì)線作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，最低點(diǎn)時(shí)速度最大，利用速度我們可以很方便的判斷物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).在最高點(diǎn)處F合=mg+T=mv2/R，當(dāng)T=0時(shí)速度有最小值vmin=gR，在最高點(diǎn)的速度必須有v≥gR，才能做完整的圓周運(yùn)動(dòng).但在電場以及電場和重力場的復(fù)合場中，最高點(diǎn)就不一定是速度的最小位置了，在這一類問題中找到速度最小的位置，也就是類似于重力場中運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，就是我們解決問題的關(guān)鍵，在物理學(xué)中，我們把這個(gè)位置叫做等效最高點(diǎn)，在利用等效最高點(diǎn)解決這類問題時(shí)類似于豎直方向的圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，從等效最高點(diǎn)移到圓周上任何一點(diǎn)，合力都是做正功，動(dòng)能增加，所以這點(diǎn)就是速度的最小點(diǎn).本文就物體在勻強(qiáng)電場和重力場的復(fù)合場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題展開論述.

情形一：物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，電場方向是水平的.

例1在光滑水平面上的O點(diǎn)系一長為L的絕緣細(xì)線，線的另一端系一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球，當(dāng)沿水平方向加上場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場后如圖1所示，小球處于平衡狀態(tài)，先給小球一垂直于細(xì)線的初速度v0使小球在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)，在小球運(yùn)動(dòng)過程中不考慮空氣阻力的影響.求

（1） 小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度？

（2） 若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，則v0的最小值為多少？

圖1圖2解析（1）小球在豎直方向上受到重力和支持力作用，且重力和支持力大小相等，水平面內(nèi)上受到電場力和沿繩方向的拉力.小球處于平衡位置時(shí)，受4個(gè)力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點(diǎn)A和B（如圖2所示）；很容易證明A、B兩點(diǎn)所受電場力都是由A指向B，從A點(diǎn)到圓上任何一點(diǎn)電場力均做正功；由此可知：A點(diǎn)的速度最小，它就是圓周運(yùn)動(dòng)中的等效最高點(diǎn)， 在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：

mv20/2=Eq×2L+mv2/2

解得小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度為：

v=v20-4EqLm

（2） 若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，再由圓周運(yùn)動(dòng)的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

Eq=mv2/L

聯(lián)列以上兩個(gè)等式可得：

v0=5EqLm

情形二：物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，電場方向是豎直的.

例2如圖3所示，質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，用一長為L的絕緣細(xì)線系于一足夠大的勻強(qiáng)電場中的O點(diǎn)，電場方向豎直向上，電場強(qiáng)度為E，為使帶電小球能在豎直面內(nèi)繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求

（1） 在最低點(diǎn)時(shí)施給小球水平初速度v0應(yīng)滿足什么條件？

（2） 小球在圓周運(yùn)動(dòng)中細(xì)線受到的最大拉力應(yīng)滿足什么條件？

圖3圖4解析小球在豎直方向上受到重力和電場力作用，它們的方向相反.小球的運(yùn)動(dòng)分三種情況：

（a）若Eq=mg，只要v0>0，小球即可在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng). 細(xì)線的拉力處處相等，其大小F=mv20/L

（b）若Eq

G′=mg-Eq

在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：

mv20/2=G′×2L+mv2/2

若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，再由圓周運(yùn)動(dòng)的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

G′=mv2/L

聯(lián)列以上三個(gè)等式可得：

v0=5（mg-Eq）Lm

即在最低點(diǎn)施給小球速度因該大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由等效重力場可知，當(dāng)速度最大時(shí)，拉力也最大，所以小球位于B點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力最大，在A處受拉力滿足以下條件：

F-G′=mv20/L

聯(lián)列第一問的答案可得：F≥6mg-6Eq

（c）若Eq>mg，小球處于平衡位置時(shí)，受3個(gè)力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點(diǎn)A和B；很容易證明A、B兩點(diǎn)所受電場力和重力的合力是由B指向A（如圖4所示），從B點(diǎn)到圓上任何一點(diǎn)合力均做正功；由此可知：B點(diǎn)的速度最小，它就是圓周運(yùn)動(dòng)中的等效最高點(diǎn)，小球所受等效重力為：

G′= Eq-mg

若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，再由圓周運(yùn)動(dòng)的知識得小球在A處的速度滿足以下條件：

G′=mv20/L

聯(lián)列以上兩個(gè)等式可得：

v0=（Eq-mg）Lm

即在最低點(diǎn)施給小球速度因該大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由等效重力場可知，當(dāng)速度最大時(shí)，拉力也最大，所以小球位于A點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力最大，在A處所受拉力滿足以下條件：

F-G′=mv2/L

在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：

mv2/2=G′×2L+mv20/2

聯(lián)列可得：F≥6Eq-6mg

情形三：物體在傾斜平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，電場方向是沿斜面向下的.

例3在傾斜的光滑斜面上的O點(diǎn)系一長為L的絕緣細(xì)線，斜面傾角為θ，線的另一端系一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球，當(dāng)沿斜面向下的方向加上場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場后，如圖5所示，小球處于平衡狀態(tài)，先給小球一垂直于細(xì)線的初速度v0使小球在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)，在小球運(yùn)動(dòng)過程中不考慮空氣阻力的影響.求

（1） 小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度？

（2）若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，則v0的最小值為多少？以及運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩的最大拉力？

圖5圖6解析（1）小球受到重力、電場力、繩的拉力和斜面支持力作用，且重力垂直斜面的分量和支持力大小相等，斜平面內(nèi)受到電場力、重力沿斜面的分量和沿繩方向的拉力.小球處于平衡位置B時(shí)，受4個(gè)力的作用，我們在平衡位置過圓心做一直線與圓相交于兩點(diǎn)A和B（如圖6所示）；很容易證明A、B兩點(diǎn)所受電場力和重力的合力都是由A指向B，從A點(diǎn)到圓上任何一點(diǎn)合力均做正功；由此可知：A點(diǎn)的速度最小，它就是圓周運(yùn)動(dòng)中的等效最高點(diǎn)，小球等效重力為：

G′= Eq+mgsinθ

在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：

mv20/2= G′×2L+mv2/2

解得小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度為：

v=v20-4（Eq+mgsinθ）Lm

（2） 若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，再由圓周運(yùn)動(dòng)的知識得小球在A處所受速度滿足以下條件：

G′=mv2/L

聯(lián)列以上兩個(gè)等式可得：

v0=5（Eq+mgsinθ）Lm