“騎士巡邏”與幻方

方常春

《最強(qiáng)大腦》的口號是：讓科學(xué)流行起來！而我們的口號則是：讓數(shù)學(xué)流行起來！

第一季有一期對戰(zhàn)西班牙，教授馬丁·洛佩茲的“騎士跳”，給我留下了十分深刻的印象，因?yàn)檫@首先就是一個(gè)棋盤上的由來已久的數(shù)學(xué)問題，很是有趣.

這一問題最早可以追溯到9世紀(jì)的古印度的恰圖蘭卡.之后許多數(shù)學(xué)家都曾鉆研此問題，包括歐拉在內(nèi).我們稱之為“騎士巡邏（也叫騎士巡游）（Knight's tour）”：將一個(gè)國際象棋的騎士（或稱馬）放在棋盤上，有什么路徑能使它按照規(guī)定走法（馬步）走遍棋盤上每一格而無重復(fù)呢？

于是，“騎士巡邏”就成為了歷史上比較有名的一個(gè)趣味問題流傳下來，思考這一問題的人的初衷可能是為了好玩，但是數(shù)學(xué)家們卻要思考趣味問題背后的秘密——找出所有的“騎士巡邏”路徑.

H.C.von Warnsdorff在1823年提出了第一個(gè)系統(tǒng)化解決騎士巡邏問題的方法-Warnsdorff規(guī)則，

騎士巡邏問題其實(shí)是圖論上的一個(gè)求哈密爾頓路徑問題，假若騎士能夠走回到最初位置，則稱此巡邏為“封閉巡邏”；否則，稱為“開巡邏”.孫徹然為馬丁教授設(shè)計(jì)的這個(gè)問題，初始點(diǎn)與最終點(diǎn)之間剛好也滿足馬步跳，所以其實(shí)就是一個(gè)“封閉巡邏”.

接著，我們對比下“騎士跳”的規(guī)則：

在200～500之間任意選擇一個(gè)三位數(shù)，然后在8×8的國際象棋盤中任意選擇一個(gè)騎士的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且在起點(diǎn)格中任填寫一個(gè)數(shù)字，然后按照國際象棋中跳馬的規(guī)則，每走一步填寫一個(gè)數(shù)字，直至走完整個(gè)棋盤.所走路線不能重復(fù)，填完之后，每一行每一列之和等于之前所選擇的三位數(shù).

不難發(fā)現(xiàn)，最大的區(qū)別在于最后的一句話：“填完之后，每一行每一列之和等于之前所選擇的三位數(shù).”

這不就是一個(gè)類似幻方的填充嗎？

幻方，是人類智慧的結(jié)晶，它起源于中國的河圖洛書，義被稱為縱橫圖，公元13世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家楊輝首先對其開展了系統(tǒng)研究，歐洲的研究則要推遲至14世紀(jì)后，這義是一個(gè)歷史悠久的“大家伙”?。。P(guān)于幻方的科普書籍也有很多，比如吳鶴齡所著的《幻方及其他——娛樂數(shù)學(xué)經(jīng)典名題》、談祥柏所著的《奇妙的幻方》等，感興趣的同學(xué)可以閱讀）

而且比較巧合的是，數(shù)學(xué)家歐拉在這兩個(gè)問題上都有過研究，他設(shè)計(jì)的馬步半幻方（注：如果不能保證對角線相加等于幻和，就是半幻方），就很有意思.

如下圖所示，在8×8的方格中，從1出發(fā)，按照國際象棋中馬步走法，可以一直走到64而沒有重復(fù).

（注：之所以是半幻方，是因?yàn)槔民R步構(gòu)造偶數(shù)階幻方非常困難，至今沒有完美結(jié)果.）

這個(gè)發(fā)現(xiàn)令我們有些激動(dòng)起來，因?yàn)榘牖梅骄褪抢民R步跳來完成的，那么細(xì)想想，“騎士巡邏”與馬步幻方之間是否存在著某種關(guān)聯(lián)？

小小的一個(gè)“騎士跳”，竟然融合了“騎士巡邏”和幻方兩個(gè)歷史上都鼎鼎大名的數(shù)學(xué)趣味問題，而且溝通了中西文化，真是意義深遠(yuǎn)，令人回味無窮.

馬丁教授的能力也很了得，他很可能是熟記了一個(gè)八階的半幻方，并根據(jù)孫徹然提供的起點(diǎn)和終點(diǎn)現(xiàn)場尋找“騎士巡邏”的有效路徑（一開始沒找到，有些失誤），然后通過對比起點(diǎn)和終點(diǎn)的數(shù)字與原來數(shù)字的差，以及八階幻和260與477的差，進(jìn)行加減運(yùn)算后，得到了最終的一個(gè)解，

步驟可以演示如下：

1.記憶八階半幻方一個(gè)，盡量規(guī)律性強(qiáng)些（甚至就類比于“騎士巡邏”的路線來操作，現(xiàn)場制作八階半幻方），方便記憶，如下圖所示：

2.孫徹然給出起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置及相應(yīng)的數(shù)字后，根據(jù)起點(diǎn)和終點(diǎn)尋找“騎士巡邏”的路徑，如下圖所示：

要找到這個(gè)路徑并不是很容易，但是也有技巧可循.這里只稍作提示：觀察上圖的同類型區(qū)域（陰影區(qū)分），是比較容易實(shí)現(xiàn)馬步循環(huán)的，一共有4種不同的類型，而你只要找到從一種類型跳到另一種類型的策略，就可以找出這個(gè)路徑.規(guī)律性比較強(qiáng).

3.根據(jù)數(shù)字31以及總和477，我們開始計(jì)算：

1比31少了30，要減，所以1到8的數(shù)字都要加上30，以保證每行每列的和同時(shí)增加30；

而新的和477比八階幻和260多了217，現(xiàn)在還差217-30 =187，那就簡單了，類似的方法，將49到56的數(shù)字同時(shí)加上187即可！最后就能得到馬丁教授的那個(gè)解.