高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”專題教學(xué)研究

張麗

摘 要：高中階段的數(shù)列、差分專題教學(xué)，對學(xué)生日后的生活非常有幫助，這一專題教學(xué)，可有效提高學(xué)生自身的綜合素質(zhì)，對于滿足學(xué)生多元化的需求，意義重大。本文將對高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”進(jìn)行闡述，并在此基礎(chǔ)上就如何進(jìn)行專題教學(xué)，談一下自己的觀點(diǎn)和認(rèn)識，以供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；差分；專題教學(xué)；研究

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號：1992-7711（2015）04-068-01

高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，尤其是“數(shù)列與差分”專題教學(xué)，可幫助學(xué)生有效解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題，實(shí)用價(jià)值非常的大。

1. 數(shù)列與差分關(guān)系分析

第一，數(shù)列是描述世界客觀事物的數(shù)學(xué)模型。數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的特殊函數(shù)，對客觀存在的各種離散變量進(jìn)行描述。實(shí)踐中可以看到，客觀存在的很多變量本身都表現(xiàn)出一定的離散性，比如細(xì)胞分裂、股市等，均具有函數(shù)關(guān)系的離散性特點(diǎn)。同時(shí)，還存在著很多連續(xù)函數(shù)關(guān)系，無法用解析式對其進(jìn)行表示，比如河流的水位變化等，只能通過測得相應(yīng)數(shù)值來得到數(shù)列。在不影響研究結(jié)果的情況下，為了更加方便分析研究，通常將對連續(xù)函數(shù)的研究有效地轉(zhuǎn)化成對數(shù)列的研究。

第二，差分是對數(shù)列變化進(jìn)行描述的一種工具。比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}這一數(shù)列中的第n項(xiàng)一階差分，并將“△”稱作差分算子，此時(shí)有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}這一數(shù)列的第n項(xiàng)二階差分。對于二階差分△2an而言，其中的2代表差分兩次運(yùn)算。{an}這一豎列的二階差分，構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)列，即{△2an}。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)數(shù)列與差分之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：當(dāng){an}={2，2，2，2，2}時(shí)，一階差分△an為{0，0，0，0}；此時(shí)數(shù)列的一階差分為各項(xiàng)是零的常數(shù)列；再如，當(dāng){an}={3n-5}時(shí)，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一階差分△an為常數(shù)列 {3，3，3，3，3，3，3}，通項(xiàng)an=3n-5（線性函數(shù)）。當(dāng){an}這一數(shù)列是由線性函數(shù)定義的等差數(shù)列時(shí)，一階差分即為常數(shù)列；當(dāng){an}= {n2-3n+5}= {3，3，5，9，15，23}時(shí)，一階差分為{0，2，4，6，8}，二階差分為{2，2，2，2}，通項(xiàng)an=n2-3n+5（二次函數(shù)）。當(dāng){an}這一數(shù)列由二次函數(shù)定義時(shí)，二階差分為常數(shù)列。若將上述由二次函數(shù)、線性函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)定義的不同階差分結(jié)論作為定理，則這些結(jié)論對基于數(shù)列的一階和二階差分，對研究數(shù)列遵循變化情況、數(shù)列通項(xiàng)，意義重大。

2. 高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”教學(xué)策略

本文以待定系數(shù)法求解差分方程為例，對如何進(jìn)行數(shù)列與差分教學(xué)深入分析。所謂待定系數(shù)法求解差分方程、常微分方程思想，可以對比分析；在非齊次線性差分方程求解過程中，采用待定系數(shù)法應(yīng)用效果也非常的好。從應(yīng)用實(shí)踐來看，采用待定系數(shù)法對差分方程進(jìn)行求解，主要是基于方程自身的特點(diǎn)，設(shè)一般模式，然后再根據(jù)相關(guān)條件，確定解之后將其代入方程之中，從而求得待定系數(shù)。比如，當(dāng)K≠1時(shí)，一階非齊次差分方程可表示為xn+1=kxn+b①，此時(shí)得到一個(gè)特定解，即xn=A；將xn=A代入公式①中，則可得A=kA+b，A=b/（1-k），此時(shí)xn=b/（1-k），一階非齊次差分方程通解：xn=knc+ b/（1-k），（其中c代表任意常數(shù)）；當(dāng)k=1時(shí)，xn+1=xn+b的一階差分是一個(gè)常數(shù)，設(shè)xn=An特解，然后將其代入原方程之中，此時(shí)A（n+1）=An+b，即A=b；xn=bn；方程①的通解：xn=knc+ bn=c+bn（其中，c代表任意常數(shù)）。以下可通過具體的例子來說明上述理論分析。

例1：某教室內(nèi)的座位布設(shè)過程中，如果每后一排均比前一排插座數(shù)量多出2個(gè)，而且已知首排插座數(shù)量為30，求以下四個(gè)問題的解。

①用yn表示n排插座的數(shù)量，試求yn與yn+1的關(guān)系；

②試求第九排插座的數(shù)量是多少？

③以Sn來表示第n排之前插座的總數(shù)，試求Sn與Sn+1的關(guān)系？

④若該教室共有20排插座，試問可以同時(shí)坐多少個(gè)學(xué)生？

解：①yn+1=yn+2；其中n=1，2… ②從題目中可知，k=1，b=2，此時(shí)yn=2n+c，（其中c代表任意常數(shù)）；已知y1=30，則可求出c=28，此時(shí)的特解方程為yn=2n+28，即y9=46；③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，此時(shí)Sn+1= Sn+30，n=1，2… ④通過③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30，即Sn=2n+30，此時(shí)可得到數(shù)列Sn一階差分表達(dá)式二次函數(shù)，將這一二次函數(shù)設(shè)為：Sn=An2+Bn+C，可得Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30；A=1，B=29，結(jié)合條件可得y1=30=S1，30=A+B+C， Sn=n2+29n，n=1，2… 由此可得S20=980.

3. 結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)這門學(xué)科的實(shí)用性非常的強(qiáng)，將數(shù)列與差分教學(xué)納入新課改下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，既是課程改革和教學(xué)的需求，又是學(xué)科發(fā)展的必然，因此應(yīng)當(dāng)重視和不斷創(chuàng)新教學(xué)模式，只有這樣才能提高教學(xué)質(zhì)量和效率。

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