Hilbert空間中均衡問題與漸近非擴張半群的迭代算法的強收斂性

來希雪， 黃建華

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院， 福建 福州 350116)

Hilbert空間中均衡問題與漸近非擴張半群的迭代算法的強收斂性

來希雪， 黃建華

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院， 福建 福州 350116)

針對均衡問題和漸近非擴張算子半群的公共元問題, 提出一個新的迭代算法, 在合適的條件下, 證明了由此迭代算法生成的序列的強收斂性定理.

Mann迭代格式; 漸近非擴張半群; 均衡問題; 公共不動點

0 引言

Φ(x,y)≥0 (?y∈C)

本文用EP(Φ)表示(1)式的解集.眾所周知, 問題(1)有著廣泛的應用, 很多問題都可以歸結為均衡問題.例如, 變分包含問題, 變分不等式的不動點問題, 最優(yōu)化問題等.

假設二元函數(shù)Φ:C×C→R滿足下列條件:

(A1)Φ(x,x)=0, ?x∈C;

(A2)Φ是單調的, 即Φ(x,y)+Φ(y,x)≤0, ?x,y∈C;

(A4) 對每個x∈C, 函數(shù)y|→Φ(x,y)是凸的和下半連續(xù)的.

稱Γ={T(t):C→C;t≥0}為C的Lipschitzian半群[1], 如果滿足如下條件:

1)T(0)x=x, ?x∈C;

2)T(s+t)x=T(s)·T(t)x, ?s,t≥0, ?x∈C;

3) 存在有界可測泛函L:(0, ∞)→[0, ∞), 使得

4) 對每一個x∈C, 映射t|→T(t)x在[0, ∞)上都是連續(xù)的.

Kima和Xu[2]針對漸近非擴張映射及漸近非擴張半群的不動點的公共元， 提出了如下修正的Mann迭代算法:

Tada和Takahash[3]針對均衡問題和非擴張映射的不動點的公共元, 提出了如下的混合迭代算法:

受到以上結論的鼓舞和啟發(fā), 本文針對均衡問題和漸近非擴張半群的不動點的公共元; 提出如下的算法:

{tn}是一個正的發(fā)散實序列; 在適當?shù)臈l件下, 證明了由算法(2)生成的序列強收斂于均衡問題和漸近非擴張半群的不動點的公共元.本文去掉文獻[2]的定理3.3中C的有界性條件.此外, 本研究的結果較文獻[2-3]具有更廣泛的意義.

1 預備知識

下面追述一些概念和眾所周知的結論:

若{xn}是H中弱收斂于z的序列, 則

?

引理1[4-5]設C為H的非空閉凸子集, 二元函數(shù)Φ:C×C→R滿足條件(A1)～(A4).設λ>0和x∈H, 則存在u∈C, 使得

1)Tλ是單值的;

2)Tλ是穩(wěn)定非擴張的(firmly nonexpansive), 即

3)F(Tλ)=EP(Φ);

4) EP(Φ)是非空閉凸的.

2 主要結論

證明 以下分五步完成定理的證明.

第一步 證明F(Γ)∩EP(Φ)?Cn∩Qn, ?n≥0. 顯然Qn是閉凸集. 由引理3可得,Cn是閉凸集. 下面利用數(shù)學歸納法證F(Γ)∩EP(Φ)?Cn. 當n=0時, 明顯F(Γ)∩EP(Φ)?C0=C. 假設當n≥1時,F(Γ)∩EP(Φ)?Cn. 那么對任意F(Γ)∩EP(Φ)的元素p, 有

?

從而

因此p∈Cn+1, ?n≥0, 即F(Γ)∩EP(Φ)?Cn+1.

下面證明F(Γ)∩EP(Φ)?Qn, ?n≥0. 當n=0時, 顯然F(Γ)∩EP(Φ)?Q0. 假設當n≥1時,F(Γ)∩EP(Φ)?Qn, 即對?p∈F(Γ)∩EP(Φ), 都有〈xn-p,x0-xn〉≥0. 由xn+1=PCn∩Qn(x0)得〈xn+1-p,x0-xn+1〉≥0(?p∈Cn∩Qn), 因此p∈Qn+1, 于是F(Γ)∩EP(Φ)?Qn+1.

且

對任意的0≤s<∞, 都有

因此

根據(jù)(A2)可得，

令n→∞, 不等式兩邊同時取極限, 結合(9)式和(A4)可得?y∈C,Φ(y,p*)≤0.

設0

因此，Φ(yt1,y)≥0. 令t→0, 根據(jù)(A3)可得,Φ(p*,y)≥0, ?y∈C. 所以p*∈EP(Φ).

[1]XuHongkun.Strongasymptoticbehaviorofalmost-orbitsofnonlinearsemigroups[J].NonlinearAnal, 2001, 46(1): 135-151.

[2]KimaTH,XuHongkun.StrongconvergenceofmodifiedManniterationsforasymptoticallynonexpansivemappingsandsemigroups[J].NonlinearAnalysis, 2006, 64(5): 1 140-1 152.

[3]TadaA,TakahashiW.Weakandstrongconvergencetheoremsforanonexpansivemappingsandanequilibriumproblem[J].OptimTheoryAppl, 2007, 133(3): 359-370.

[4]CombettesPL,HirstoagaSA.EquilibriumprogramminginHilbertspaces[J].JournalofNonlinearandConvexAnalysis， 2005, 6(1): 117-136.

[5]TakahashiS,TakahashiW.ViscosityapproximationmethodsforequilibriumproblemsandfixedpointproblemsinHilbertspaces[J].MathAnalAppl， 2007, 331(1): 506-515.

[6]MartinesYC,XuHongkun.StrongconvergenceofCQmethodforfixedpointiterationprocess[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications， 2006, 64(11): 2 400-2 411.

[7]TanKK,XuHongkun.ThenonlinearergodictheoremforasymptoticallynonexpansivemappingsinBanachspaces[J].ProcAmMathSoc, 1992, 114(2): 399-404.

(責任編輯： 林曉)

Strong convergence of an iterative method for equilibrium problems and asymptotically nonexpansive semigroups in Hilbert space

LAI Xixue， HUANG Jianhua

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

We propose an iterative scheme for finding a common element of the solutions of an equilibrium problem and the fixed points of asymptotically nonexpansive semigroups. Under some appropriate conditions, we establish a strong convergence theorem of the sequence generated by our proposed scheme.

Mann iterative scheme; asymptotically nonexpansive semigroups; equilibrium problem; common fixed point

10.7631/issn.1000-2243.2015.04.0445

1000-2243(2015)04-0445-05

2013-04-12

黃建華(1957-), 教授， 主要從事非線性泛函分析研究， 412221616@qq.com

福建省自然科學基金資助項目(2012J01005)

O177.91

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