具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性

傅秋月， 魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350116)

具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性

傅秋月， 魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350116)

研究一類捕食者與食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的穩(wěn)定性. 通過分析模型的特征根， 得到了非負(fù)平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性的條件. 利用比較定理、 迭代方法等性質(zhì)證明了非負(fù)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性. 并舉實(shí)例說明所得結(jié)果的有效性.

全局漸近穩(wěn)定性； 階段結(jié)構(gòu)； 捕食系統(tǒng)； 平衡點(diǎn)

0 引言

自然界中物種是多種多樣的， 它們之間存在著很多種關(guān)系.例如捕食關(guān)系， 寄生關(guān)系， 競爭關(guān)系， 互惠合作關(guān)系等. 在這些關(guān)系中， 捕食關(guān)系是影響自然選擇的主要因素之一， 它推動生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行. 由于捕食系統(tǒng)存在的普遍性， 捕食者和食餌的動力學(xué)關(guān)系將繼續(xù)成為生物數(shù)學(xué)上的主要研究課題[1-8]. 徐瑞等[2]研究了捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的L-V時(shí)滯捕食系統(tǒng)

通過分析特征方程， 他們得到了非負(fù)平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定的條件， 并得到時(shí)滯τ超過某特定值τ0后， 正平衡點(diǎn)出現(xiàn)Hopf分支， 同時(shí)， 利用迭代方法證明了非負(fù)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

近年來， 對于捕食者與食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的動力學(xué)行為的研究較少[3, 5]. 桂占吉等[3]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的穩(wěn)定性及成年食餌種群的捕獲， 并得到了正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充分條件和食餌種群的最大捕獲量. 同時(shí)， 具有階段結(jié)構(gòu)的兩種群競爭系統(tǒng)的動力學(xué)關(guān)系得到了許多學(xué)者的廣泛研究[7-8]. 宋新宇等[7]研究了具階段結(jié)構(gòu)及成年捕獲的兩種群競爭模型:

的非負(fù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性， 其中x1(t),x2(t)分別表示幼年食餌和成年食餌種群在t時(shí)刻的密度；y1(t),y2(t)分別表示幼年捕食者和成年捕食者種群在t時(shí)刻的密度；a11,a21,a22,b1,b2,r1,α,β,γ都是正常數(shù)；r1為幼年食餌的內(nèi)稟增長率;a11和a21分別表示幼年食餌和成年食餌種群的死亡率；a22為成年食餌的種內(nèi)競爭率；β為成年捕食者捕食成年食餌的捕獲系數(shù)；τ1,τ2分別表示幼年食餌、 幼年捕食者成長為成年食餌與成年捕食者的時(shí)間； e-a11τ1x2(t-τ1)表示幼年食餌在t-τ1時(shí)刻出生， 并且在t時(shí)刻存活并轉(zhuǎn)化為成年食餌的數(shù)量；α/β表示捕獲成年食餌的營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率；γ和b1分別表示幼年和成年捕食者的死亡率；b2表示成年捕食者的過度擁擠所至死亡率； e-γτ2x2(t-τ2)y2(t-τ2)表示在t-τ2時(shí)刻出生的幼年捕食者在t時(shí)刻仍然存活， 且在t時(shí)刻轉(zhuǎn)化為成年捕食者的數(shù)量.

1 預(yù)備知識

系統(tǒng)(3)的初始條件為

x1(θ)=φ1(θ),x2(θ)=φ2(θ),y1(θ)=φ3(θ),y2(θ)=φ4(θ),φi(θ)>0 (i=1, 2, 3, 4)

其中:θ∈[-τ, 0],τ=max{τ1,τ2}.R-=(-∞, 0],R+=[0, +∞).φi(θ)∈C([-τ, 0],R+)(i=1, 2, 3, 4)

由初始值的連續(xù)性， 進(jìn)一步要求

引理1 對任意t≥0， 滿足初值條件(4)～(5)的系統(tǒng)(3)的解為正解.

引理2 對任意t≥0， 滿足初值條件(4)～(5)的系統(tǒng)(3)的正解為一致有界.

引理1的證明過程類似于文[2]定理2.1， 引理2的證明過程類似于文[3]引理1， 此處從略.

2 系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

本文假設(shè)以下條件成立

平衡點(diǎn)E0處的特征方程為(λ+a11)(λ+γ)(λ+b1)[λ+a21-r1e-τ1(λ+a11)]=0， 若(H1)成立， 則E0是穩(wěn)定的； 若(H2)成立， 則E0是不穩(wěn)定的.

由比較定理， 存在T1>0, 使得x2(t)T1. 所以

應(yīng)用引理3和比較定理， 存在T2>T?1, 使得x2(t)T2， 于是

定理2 若(H1)成立， 則系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)E0(0, 0, 0, 0)是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2， 定理3的證明過程類似于文[7]定理3.2, 3.3的證明過程， 此處從略.

3 數(shù)值模擬

考慮捕食者與食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)

圖全局漸近穩(wěn)定( τ1=0.01, τ2=0.1)

4 結(jié)論

[1] Cushing J M. Periodic time-dependent predator-prey systems[J]. SIAM J Appl Math, 1977, 32(1): 82-95.

[2] Xu Rui, Chaplain M A J, Davidson F A. Global stability of a Lotka-Volterra type predator-prey model with stage structure and time delay[J]. Appl Math Comput, 2004, 159(3): 863-880.

[3] Gui Zhanji, Ge Weigao. The effect of harvesting on a predator-prey system with stage structure[J]. Ecol Modelling, 2005, 187(2/3): 329-340.

[4] Cai Liming, Song Xinyu. Permanence and stability of a predator-prey system with stage structure for predator[J]. J Comput Appl Math, 2007, 201(2): 356-366.

[5] 馬智慧， 李自珍， 王淑璠. 具有階段結(jié)構(gòu)的捕食-食餌模型[J]. 蘭州大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版， 2008, 44(2): 103-106.

[6] 熱孜婭·托合提, 滕志東. 一類捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的捕食被捕食系統(tǒng)的持久性[J]. 新疆大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2012, 29(2): 157-162.

[7] Song Xinyu, Chen Lansun. Optimal harvesting and stability for a two-species competitive system with stage structure[J]. Math Biosci, 2001, 170(2)： 173-186.

[8] Liu Shengqiang, Chen Lansun, Luo Guilie,etal. Asymptotic behaviors of competitive Lotka-Volterra system with stage structure[J]. J Math Anal Appl, 2002, 271(1): 124-138.

(責(zé)任編輯： 林曉)

Globally asymptotic stability of predator-prey systems with stage structure

FU Qiuyue, WEI Fengying

(College of Mathematics and Computer Science， Fuzhou University， Fuzhou， Fujian 350116， China)

The stability of a kind of predator-prey models with stage structure for both predators and preys is considered in this paper. By analyzing the characteristic roots of the models, the conditions of local stability for nonnegative equilibrium are derived. By the comparison theorem and iteration method, we prove that nonnegative equilibrium of the models are globally asymptotic stable. An example is given to illustrate the effectiveness of our results．

globally asymptotic stability； stage structure； predator-prey systems； equilibrium

10.7631/issn.1000-2243.2015.04.0440

1000-2243(2015)04-0440-05

2013-05-05

魏鳳英 (1976- ), 教授, 主要從事隨機(jī)微分方程及生物數(shù)學(xué)研究， weifengying@fzu.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201075); 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (2010J01005)

O175.14

A