一類二維分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的適定性

蘇延輝

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350116)

一類二維分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的適定性

蘇延輝

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350116)

研究一類二維分?jǐn)?shù)階偏微分方程的邊值問(wèn)題， 主要包括兩方面內(nèi)容： 一是研究了合適的分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間及分?jǐn)?shù)階算子的性質(zhì)； 二是發(fā)展了一個(gè)弱解的理論框架， 并建立了弱解的適定性理論. 這是構(gòu)造數(shù)值方法(如有限元和譜方法等)求解二維分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論基礎(chǔ).

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)； 弱解； 變分形式； 適定性

0 引言

分?jǐn)?shù)階偏微分方程在現(xiàn)代科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用. 現(xiàn)代的研究表明， 很多重要的物理和生物系統(tǒng)均可以由分?jǐn)?shù)階偏微分方程來(lái)描述. 近年來(lái)出現(xiàn)大量的關(guān)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論分析和數(shù)值研究[1-6]. 但相對(duì)于整數(shù)階方程的研究， 分?jǐn)?shù)階方程的研究是相當(dāng)不完備的. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程的主要困難在于： 1)分?jǐn)?shù)階算子是非局部算子； 2)分?jǐn)?shù)階算子F的伴隨算子不是-F.

在文獻(xiàn)[1-2]中， Ervin和Roop研究了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)空間并在有界區(qū)間和有界凸區(qū)域情形對(duì)穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的變分解提出了一個(gè)理論框架. 然而, 他們沒(méi)有研究弱解的適定性. 在文獻(xiàn)[3-4]中， Li和Xu研究了定義在有界區(qū)間上的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間并對(duì)時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程提出了弱解策略， 并證明了弱解的適定性. 更進(jìn)一步， 他們針對(duì)弱解策略提出了數(shù)值計(jì)算的譜方法并進(jìn)行了誤差分析.

基于上述工作， 本文考慮二維凸區(qū)域上的分?jǐn)?shù)階空間， 主要包括兩方面內(nèi)容： 一是研究分?jǐn)?shù)階算子的性質(zhì)， 發(fā)展一類分?jǐn)?shù)階偏微分方程變分解的理論框架. 二是證明弱解的存在性、 唯一性和適定性， 這是構(gòu)造數(shù)值方法(例如有限元法和譜方法等)的理論基礎(chǔ).

1 問(wèn)題及函數(shù)空間

1.1 基本定義

用Ω表示R2中光滑的有界凸區(qū)域， 用O表示一個(gè)區(qū)域， 它或者表示Ω或者表示R2. 在沒(méi)有混淆的前提下， 符號(hào)O，Ω或R2略去不寫(xiě). 設(shè)c為獨(dú)立于任何函數(shù)的正常數(shù)， 令A(yù)

定義1 設(shè)v∈R2為單位向量， 則存在唯一的θ∈[0, 2π) 使得v=(cosθ, sinθ)∈R2. 設(shè)u(x,y)為R2上的函數(shù)， 其分?jǐn)?shù)階積分定義為：

設(shè)n-1≤s

這里Γ(·)為Gamma函數(shù).

設(shè)n-1≤s

1.2 問(wèn)題與預(yù)備引理

在討論適定性之前， 首先引入一些有用的空間并建立這些空間的相關(guān)性質(zhì). 令

引理1 設(shè)Ω′,Ω如上， 對(duì)任意s∈(0, 1),u∈Hs(Ω), 則

證畢.

可以證明上述線性泛函是連續(xù)的. 利用以上引理， 可以證明如下基本結(jié)果。

由式(2)， {vn}為L(zhǎng)2(O)中的Cauchy列， 從而?v∈L2(O)使得

一方面， 對(duì)μ-幾乎處處的θ∈[0, 2π)， 有:

另一方面， 由引理3及式(3)， 有:

從而得到

利用定理1， 文獻(xiàn)[4]中的相關(guān)引理作如下推廣：

2 分?jǐn)?shù)階偏微分方程弱解的適定性

從而式(9)成立. 證畢.

[1]ErvinVJ,RoopJP.Variationalformulationforthestationaryfractionaladvectiondispersionequation[J].NumerMethPDE, 2007, 22(2): 558-576.

[2]ErvinVJ,RoopJP.VariationalsolutionoffractionaladvectiondispersionequationsonboundeddomainsinRd[J]. Numer Meth P D E, 2007, 23(2): 256-281.

[3] Li X J, Xu C J. A space-time spectral method for the time fractional diffusion equation[J]. SIAM J Numer Anal, 2009, 47(3): 2 108-2 131.

[4] Li X J, Xu C J. Existence and uniqueness of the weak solution of the space-time fractional diffusion equation and a spectral method approximation[J]. Commun Comput Phys, 2010, 8(5): 1 016-1 051.

[5] Lin Y M, Xu C J. Finite difference/spectral approximation for the time fractional diffusion equations[J]. J Comput Phys, 2007, 225(2): 1 533-1 552.

[6] Wyss W. The fractional diffusion equation [J]. J Math Phys, 1996, 27(11): 2 782-2 785.

(編輯： 蔣培玉)

Well-posedness of the 2D-fractional partial differential equations

SU Yanhui

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

We investigate the boundary value problem of two-dimensional fractional partial differential equations (FEPDEs). The main contributions of this work are twofold: first, we investigate suitable fractional Sobolev spaces for fractional partial differential equations and study the properties of the fractional operator. Then, we develop a theoretical framework of weak solutions and establish the well-posedness of the weak solutions. Consequently, this work provides the theory for constructing numerical method such as finite element method and spectral method for solving the fractional partial differential equations.

fractional derivative; weak solution; variation formulation; well-posedness

10.7631/issn.1000-2243.2015.04.0435

1000-2243(2015)04-0435-05

2014-12-17

蘇延輝(1981-)， 講師， 主要從事幾何偏微分方程的研究，suyh@fzu.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11226081)； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013J05003)

O241.8； O175.2

A