貝特朗悖論之爭(zhēng)的終結(jié)

張 敏，何小亞

（華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

貝特朗悖論之爭(zhēng)的終結(jié)

張 敏，何小亞

（華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

貝特朗悖論之爭(zhēng)主要有5種類(lèi)型，爭(zhēng)論的本質(zhì)體現(xiàn)在4個(gè)方面．貝特朗悖論產(chǎn)生的原因是原問(wèn)題缺少具體的等可能性假設(shè)之條件．幾何概型的等可能性假設(shè)必須明確地給出，它無(wú)法通過(guò)直覺(jué)獲取，也不能通過(guò)實(shí)踐驗(yàn)證．從直觀的、直覺(jué)的、現(xiàn)實(shí)世界的角度去看數(shù)學(xué)世界的內(nèi)容是引起貝特朗悖論爭(zhēng)論的本質(zhì)原因．深刻理解這些觀點(diǎn)對(duì)幾何概率教學(xué)有重要的指導(dǎo)作用．

貝特朗悖論；幾何概率；樣本空間；等可能性假設(shè)

1 導(dǎo) 論

1.1 研究背景

人們對(duì)概率的研究有悠久的歷史．從16世紀(jì)開(kāi)始，意大利的一些學(xué)者就開(kāi)始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．1812年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯撰寫(xiě)了《分析概率論》這一著作，概率的古典定義在書(shū)中被首次完整而系統(tǒng)地提出．作為對(duì)古典定義的補(bǔ)充和推廣，在無(wú)限樣本空間背景下的幾何概率也得到了廣泛的應(yīng)用．

正當(dāng)古典概率和幾何概率在各自的研究范圍內(nèi)迅猛發(fā)展時(shí)，1899年，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝特朗（Joseph Bertrand, 1822—1900）提出一個(gè)“簡(jiǎn)單”的問(wèn)題：在半徑為R的圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率．按照幾何概率的定義進(jìn)行計(jì)算，竟然可以求得3個(gè)不同的概率，這與概率的性質(zhì)是背道而馳的．這就是著名的“貝特朗悖論”，矛頭直指幾何概率概念本身．貝特朗悖論說(shuō)明原來(lái)關(guān)于概率的定義帶有很大的局限性，迫切需要一種公理化體系改造概率論．1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈洛夫提出了概率的公理化體系，迅速獲得舉世的認(rèn)可，使得古典概率和幾何概率具有了更加嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，像“貝特朗悖論”這類(lèi)自相矛盾的問(wèn)題也得到了合理的解釋?zhuān)?/p>

1.2 問(wèn)題提出

公理化體系下的概率定義和古典定義以及幾何定義有明顯的不同．公理化定義[1]只解決“什么是概率”的問(wèn)題，但并不解決“如何確定概率”的問(wèn)題．貝特朗悖論的3種不同的解答，是從不同的角度分析問(wèn)題，所確定的3個(gè)不同概率均滿(mǎn)足公理化定義的3個(gè)公理化性質(zhì)，因此，在公理化體系下，都被認(rèn)為是正確的．關(guān)于貝特朗悖論的爭(zhēng)論似乎可以平息了，然而，爭(zhēng)論真的結(jié)束了嗎?

隨著中國(guó)高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的實(shí)施，作為解決實(shí)際問(wèn)題的一種有用工具，概率成為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容[2]，并且越來(lái)越受到重視[3～6]．古典概率和幾何概率是高中概率學(xué)習(xí)的重點(diǎn)[7]，其中幾何概率更是難點(diǎn)．即使有公理化體系的解釋?zhuān)鳛閹缀胃怕实囊粋€(gè)典型問(wèn)題，貝特朗悖論卻一直是廣大一線教師們討論的熱點(diǎn)問(wèn)題．

比如，同一個(gè)隨機(jī)事件為何會(huì)有3個(gè)不同的概率？是否違背了概率是隨機(jī)事件客觀屬性這一性質(zhì)？3種解法能否統(tǒng)一？3種解法是否都正確理解了原題意？是否還有另外的解法存在？

因此，關(guān)于貝特朗悖論的爭(zhēng)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束，教師們的疑惑仍然沒(méi)有消除．這里旨在分析目前國(guó)內(nèi)高中教學(xué)中關(guān)于貝特朗悖論問(wèn)題的各種爭(zhēng)論，剖析各種爭(zhēng)論的實(shí)質(zhì)，希望廣大一線教師們?cè)谪愄乩蕟?wèn)題上有正確的理解，不再困惑重重．

2 貝特朗悖論的經(jīng)典解法

首先，關(guān)于幾何概型和幾何概率，有如下定義[1]：

若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：（1）試驗(yàn)的樣本空間中的基本結(jié)果有無(wú)窮個(gè)且不可數(shù)，充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)域；（2）每個(gè)基本結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，即任意一點(diǎn)落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的．則這樣的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為幾何概型．

在貝特朗問(wèn)題提出時(shí)，貝特朗就提出了3種經(jīng)典的解法：

假設(shè)事件E表示“在半徑為R圓內(nèi)任作一弦，其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”．

圖1

圖2

圖3

解法3：如圖3，圓內(nèi)弦的位置被其中點(diǎn)唯一確定．在圓內(nèi)作一同心圓，其半徑僅為大圓半徑的一半，則當(dāng)弦的中點(diǎn)落在小圓內(nèi)，弦長(zhǎng)才能超過(guò)內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)．

3 各種爭(zhēng)論觀點(diǎn)的歸納

由此看到，貝特朗問(wèn)題之所以出現(xiàn)3種不同的答案，是因?yàn)槿藗冇^察隨機(jī)試驗(yàn)的基本結(jié)果的角度不同，同時(shí)對(duì)基本結(jié)果的等可能性假設(shè)也有不同的理解．

然而，仍然有不少學(xué)者對(duì)此持懷疑態(tài)度，并根據(jù)自己對(duì)問(wèn)題的理解以及自己特有的思維方式，鐘情于其中的某種解法，想方設(shè)法尋找其他解法的瑕疵，推翻其他解法的合理性，從而認(rèn)為貝特朗悖論并不奇，答案其實(shí)是唯一的．

3.1 認(rèn)為解法1唯一正確

貝特朗悖論的關(guān)鍵在于題干中的一個(gè)條件：在圓內(nèi)任作一條弦．對(duì)任意的不同理解造就了這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題成了“悖論”．如果認(rèn)為弦是由兩端點(diǎn)決定，任意作弦就應(yīng)該先隨機(jī)確定兩端點(diǎn)在圓上的位置，這時(shí)需要假設(shè)兩端點(diǎn)在圓上等可能分布．持這種觀點(diǎn)的學(xué)者徐明[8]，許麗麗[9]將會(huì)認(rèn)為解法1是正確的．而如果按照解法2和解法3所認(rèn)為的等可能性假設(shè)，卻無(wú)法推出兩端點(diǎn)在圓上等可能分布，故認(rèn)為解法2和解法3是錯(cuò)誤的．

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為[10]，因?yàn)榻夥?避開(kāi)了“圓心”，故只有解法1才是正確的．在解法2中，假設(shè)任意弦的中點(diǎn)在與弦垂直的直徑上是等可能分布的．在解法3中，假設(shè)所有弦的中點(diǎn)在圓中等可能分布．對(duì)于圓中的弦，除了直徑外，均有唯一的弦中點(diǎn)與弦對(duì)應(yīng)．而圓心，卻是所有直徑共同的中點(diǎn)，即這個(gè)中點(diǎn)特別“厚”，因此認(rèn)為弦的中點(diǎn)在某直徑或在圓內(nèi)是等可能分布是不成立的．

石啟亮[11]通過(guò)隨機(jī)模擬的方法，按照解法1的假設(shè)，認(rèn)為解法1的答案才是正確的．

3.2 認(rèn)為解法2唯一正確

黃晶晶[12]認(rèn)為解法2才是正確的．其主要觀點(diǎn)基于一個(gè)假設(shè)：弦是由點(diǎn)組成的，長(zhǎng)的弦需要更多的點(diǎn)，故任一弦出現(xiàn)的概率與其長(zhǎng)度有關(guān)．由此計(jì)算得到解法2才是正確的．而解法1和解法3的情況，若按該假設(shè)重新計(jì)算，也能得到解法2的答案．

3.3 認(rèn)為解法3唯一正確

張曉強(qiáng)[13]認(rèn)為，因?yàn)槠渌麅煞N解法把弦重復(fù)計(jì)算了，故只有解法3是正確的．甚至可以把其余兩種解法通過(guò)剔除重復(fù)計(jì)算的弦而修改為解法3的答案．

李貴俊[14]，孫桂秋[15]，楊培恒[16]認(rèn)為，在貝特朗悖論的3種解法中，有的解法對(duì)作弦有限制．比如解法1要求先固定弦的一端，解法2要求先規(guī)定弦的方向．而原題要求在圓內(nèi)任意作弦，故作弦時(shí)附加的這些條件是不合理的．而解法3沒(méi)有這些特殊要求，因此解法3才是符合題意的作弦方法．

3.4 認(rèn)為3種解法都不對(duì)發(fā)現(xiàn)了其它的“唯一正確”的解法

有學(xué)者認(rèn)為3種經(jīng)典解法均有值得商榷的地方，故創(chuàng)造出有別于3種解法的新解法，并且認(rèn)為更合理，甚至認(rèn)為他們的解法才是唯一正確的解法。主要有以下兩種：

圖4

圖5

這種解法的本質(zhì)是：在解法一的基礎(chǔ)上，不再預(yù)先固定弦的一端，而讓弦的兩個(gè)端點(diǎn)隨機(jī)獨(dú)立選取．這時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果是弦的兩個(gè)端點(diǎn)的位置，并假設(shè)兩個(gè)端點(diǎn)各自在圓周上等可能分布．用二維點(diǎn)(α,β)表示試驗(yàn)結(jié)果，其中α表示OC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至OA所經(jīng)過(guò)的角度，β表示OC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至OB所經(jīng)過(guò)的角度，C是圓周與x正半軸的交點(diǎn)．0≤α≤2π，0≤β≤2π．

解法5（李文明[18]）：在半徑為R的圓上隨機(jī)取弦，每取一弦，記錄其長(zhǎng)度，這時(shí)試驗(yàn)的結(jié)果可認(rèn)為是弦的長(zhǎng)度．記弦的兩端點(diǎn)分別為A，B，則弦AB的長(zhǎng)度的取值范圍為[0,2R]．半徑為R的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)為，故只有那些弦長(zhǎng)大于的弦才符合要求．見(jiàn)圖6．

圖6

4 剖析各種爭(zhēng)議的實(shí)質(zhì)

由此看來(lái)，貝特朗悖論至少有5種解答．這5種觀點(diǎn)各執(zhí)己見(jiàn)，堅(jiān)持認(rèn)為自己的才是正確的，因?yàn)槎寄苷业狡渌夥ǖ蔫Υ茫旅?，從幾何概型的基本要素（樣本空間的構(gòu)造和作弦的等可能性）對(duì)以上爭(zhēng)議進(jìn)行深入的分析．

4.1 各種解法中樣本空間的構(gòu)造的合理性分析

樣本空間中的元素是試驗(yàn)的基本結(jié)果．貝特朗悖論的題意是要求在圓內(nèi)任意作弦，直觀看來(lái)，試驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)該是做出的弦．但是幾何概率問(wèn)題中試驗(yàn)的基本結(jié)果應(yīng)該用“點(diǎn)”來(lái)描述，這個(gè)點(diǎn)根據(jù)實(shí)際情況可以是一維數(shù)軸上的點(diǎn)，也可以是二維平面上的點(diǎn)，或者是三維空間上的點(diǎn)．故求解貝特朗問(wèn)題的首要任務(wù)是要把做出的弦轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的“點(diǎn)”，即樣本空間的元素．而弦和點(diǎn)之間應(yīng)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系．上述的5種解法均從各自的角度把試驗(yàn)的結(jié)果轉(zhuǎn)化成樣本空間中的“點(diǎn)”．

另外，當(dāng)對(duì)作弦附加了條件，比如指定弦的端點(diǎn)（解法1）和指定弦的方向（解法2），會(huì)否縮小樣本空間？

圓內(nèi)任一條弦，總是由弦在圓上的兩個(gè)端點(diǎn)決定，而且也必然垂直于某一條直徑．

解法1中，在圓周上任取一點(diǎn)，作為弦的一端，然后討論弦的另一端點(diǎn)的位置．根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，以及取點(diǎn)的任意性，固定一端點(diǎn)后所作的弦的性質(zhì)與固定其他點(diǎn)所作的相應(yīng)弦的性質(zhì)相同，當(dāng)然包括概率這個(gè)性質(zhì)．故雖然表面上看起來(lái)解法1的樣本空間比解法3的樣本空間要小，但所求的概率是合理的．

解法2中，預(yù)先任意確定弦的方向，考慮在這個(gè)方向上的弦的性質(zhì)．由于這個(gè)方向也是任意的，在這個(gè)方向的弦的性質(zhì)與其他方向上的弦的性質(zhì)相同．因此雖然樣本空間比解法3的樣本空間小，但所求的概率也是合理的．

4.2 各種解法中作弦的等可能性分析

究竟哪種方法真正等可能地作弦？這是最困擾人們的問(wèn)題．實(shí)際上，古典問(wèn)題和幾何問(wèn)題的一個(gè)最大區(qū)別，在于可數(shù)和無(wú)限不可數(shù)的問(wèn)題．其中幾何問(wèn)題上涉及的無(wú)限不可數(shù)問(wèn)題是很抽象的問(wèn)題．若根據(jù)古典的思想，用弦的數(shù)量多少或者點(diǎn)的數(shù)量多少來(lái)解決問(wèn)題，是不正確的．

在古典概型中，由于試驗(yàn)基本結(jié)果是有限的，當(dāng)樣本空間確定后，試驗(yàn)基本結(jié)果的等可能性是可以驗(yàn)證的．但是，幾何概型卻并非如此．

在幾何問(wèn)題中，當(dāng)樣本空間確定后，試驗(yàn)結(jié)果的等可能性質(zhì)卻需要明確假定．而且由于試驗(yàn)結(jié)果的無(wú)限性，這種假定無(wú)法驗(yàn)證．這是人們最容易忽視和無(wú)法理解的問(wèn)題．

貝特朗悖論問(wèn)題恰恰是缺少了相應(yīng)的等可能性假定，題干只要求在圓內(nèi)任意作弦，至于弦在圓內(nèi)是按何種方式等可能分布，是沒(méi)有提及的，才導(dǎo)致如此多的“解法”．

因此，這并不算一種悖論，只是一道條件不充分的數(shù)學(xué)題，不同的人為了“解”它而添加不同的條件，將其改造成各種不同的可解的問(wèn)題而已．解法1和解法4強(qiáng)調(diào)弦由端點(diǎn)決定，假設(shè)端點(diǎn)在圓上等可能分布；解法2強(qiáng)調(diào)弦由其中點(diǎn)決定，并假設(shè)弦中點(diǎn)在與弦垂直的直徑上等可能分布；解法3強(qiáng)調(diào)弦由其中點(diǎn)決定，假設(shè)中點(diǎn)在圓內(nèi)等可能分布．解法5假設(shè)弦長(zhǎng)是等可能分布的．

這是各種不同的等可能假定，是不能夠互相轉(zhuǎn)化的．比如，當(dāng)認(rèn)為弦由端點(diǎn)決定，假設(shè)端點(diǎn)在圓上的等可能分布時(shí)，必然使得另外幾種情況的等可能性假設(shè)失效．當(dāng)作不同的假定后，計(jì)算的結(jié)果也就不同了．

所以，這幾種方法實(shí)際上都做到了真正的等可能取弦．

4.3 關(guān)于圓心的說(shuō)明

圓心，這個(gè)特殊點(diǎn)，在貝特朗悖論爭(zhēng)論中擔(dān)任了重要角色．在解法3中，假設(shè)弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)等可能分布．但是圓心這個(gè)特殊的弦中點(diǎn)確實(shí)比其他弦的中點(diǎn)“厚”，因?yàn)樗撬兄睆降墓餐悬c(diǎn)．而圓內(nèi)的其他點(diǎn)都只是某一條弦的中點(diǎn)．這時(shí)假設(shè)弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)等可能分布的這種等可能性假設(shè)是否合理？答案是肯定的．

古典概型和幾何概型均有對(duì)試驗(yàn)基本結(jié)果的等可能性要求．古典概型的等可能性要求試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相同．但是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限不可數(shù)的，其等可能性條件的實(shí)質(zhì)并不是要求每一個(gè)試驗(yàn)的基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相同．

幾何概率的計(jì)算公式已表明，幾何問(wèn)題的概率是由試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度所決定，單個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的測(cè)度為0，甚至有限個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的測(cè)度之和也為0，因此，幾何問(wèn)題中的每一基本試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率必相同——概率為0．這和概率為零的事件并非一定是不可能事件是相同道理的．

由此可見(jiàn)，考慮每一個(gè)基本試驗(yàn)結(jié)果的可能性大小并沒(méi)有意義．幾何概型中的等可能性強(qiáng)調(diào)的是試驗(yàn)結(jié)果落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的，不管該區(qū)域的形狀如何．

因此，圓心的特殊性質(zhì)并不影響概率的計(jì)算，也不影響等可能性假設(shè)．一種極端的想法是甚至可以把圓心挖掉，少了這個(gè)圓心不會(huì)影響任何事件概率計(jì)算的正確性．

4.4 關(guān)于作弦的概率與弦長(zhǎng)有關(guān)的假設(shè)

有人認(rèn)為，由于圓內(nèi)的所有點(diǎn)是等可能分布的，而不同長(zhǎng)度的弦由于含有不同數(shù)量的點(diǎn)，因此作不同長(zhǎng)度的弦是不等可能的，作長(zhǎng)的弦比作短的弦概率大．這種說(shuō)法并不合理．

弦雖然是有限長(zhǎng)度的線段，但是不同長(zhǎng)度的弦所包含的點(diǎn)均是無(wú)窮多個(gè)，這屬于實(shí)無(wú)限思想的范疇．在實(shí)無(wú)限領(lǐng)域，可以證明不同長(zhǎng)度的兩條線段中的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp, 1845—1918）甚至成功證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個(gè)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．從這種意義上說(shuō)，不同長(zhǎng)度的弦包含的點(diǎn)其實(shí)是一樣多的，故認(rèn)為作弦的概率與弦長(zhǎng)有關(guān)的假設(shè)是不合理的．

5 結(jié) 論

5.1 貝特朗悖論并不奇

貝特朗悖論確實(shí)不奇，這并不是指它應(yīng)該有唯一的答案，而是指它其實(shí)是一道開(kāi)放性的，條件并不充分的題目，當(dāng)把題目補(bǔ)充完整后，答案就唯一．這個(gè)不充分的條件正是關(guān)于弦的等可能性分布的假定．只是有的人對(duì)任意作弦的方式有個(gè)人偏好，因此傾向于某種等可能性假設(shè)，而偏向于某種解法．而實(shí)際上，這種假定甚至還不限于本文所提及的5種，所以貝特朗悖論的答案非但不唯一，甚至是有無(wú)數(shù)個(gè)解．當(dāng)然，當(dāng)?shù)瓤赡苄詶l件補(bǔ)充完整后，貝特朗問(wèn)題的解就唯一了．

5.2 幾何概率問(wèn)題中的等可能性假設(shè)是一種數(shù)學(xué)假設(shè)并無(wú)法驗(yàn)證

雖然幾何概型和古典概型在確定概率時(shí)都要求試驗(yàn)結(jié)果滿(mǎn)足某種等可能性條件，但是古典概型中的等可能性條件是可以驗(yàn)證的，而幾何問(wèn)題中的等可能性假設(shè)必須明確給出，并且無(wú)法通過(guò)直覺(jué)獲取也不能通過(guò)實(shí)踐驗(yàn)證．

幾何問(wèn)題涉及的是無(wú)限不可數(shù)問(wèn)題，試驗(yàn)結(jié)果通常是用點(diǎn)、線、面、體等幾何元素表示．“點(diǎn)”動(dòng)成“線”，“線”動(dòng)成“面”，“面”動(dòng)成“體”，也就是說(shuō)幾何世界是由“點(diǎn)”構(gòu)造出來(lái)的，但“點(diǎn)”是沒(méi)有大小的東西，它在現(xiàn)實(shí)世界中是不存在的．?dāng)?shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，脫胎于現(xiàn)實(shí)，但它已經(jīng)完全超越現(xiàn)實(shí)，在數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界之間存在著不可逾越的鴻溝．從直觀的、直覺(jué)的、現(xiàn)實(shí)世界的角度去看數(shù)學(xué)世界的內(nèi)容是引起貝特朗悖論爭(zhēng)論的本質(zhì)原因．

[1] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[2] 《國(guó)家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》制訂組．《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的框架設(shè)想[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（2）：36-41．

[3] 孫名符，謝海燕．新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原教學(xué)大綱的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：63-66．

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[8] 徐明．“幾何概型”教學(xué)釋疑——兼談“貝特朗概率悖論”[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2009，（6）：15-17．

[9] 許麗麗．由貝特朗問(wèn)題談幾何概型中的等價(jià)轉(zhuǎn)化[J]．教育教學(xué)：福建基礎(chǔ)教育研究，2011，（8）：30-31．

[10] 蘇同安．都是圓心惹的禍——“貝特朗悖論”新說(shuō)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)高中版，2010，（1）：64．

[11] 石啟亮．解讀貝特朗_Bertrand悖論[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2005，（10）：32-34．

[12] 黃晶晶，黃世同．關(guān)于貝特朗悖論的新思考[J]．昆明師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004，（4）：10-12．

[13] 張曉強(qiáng)．貝特朗“奇”論不奇[J]．牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，（4）：108．

[14] 李貴?。愄乩剩˙ertrand）悖論的探討[J]．丹東紡專(zhuān)學(xué)報(bào)，2001，（4）：50-51．

[15] 孫桂秋．貝特朗奇論并不奇[J]．工科數(shù)學(xué)，1992，（2）：91-92．

[16] 楊培恒．關(guān)于貝特朗奇論的討論[J]．陜西師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1990，（4）：76-77．

[17] 陳作清．關(guān)于貝特朗奇論的新見(jiàn)解[J]．西北民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，（1）：64-65．

[18] 李文明．關(guān)于貝特朗悖論的探索與進(jìn)展[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013，（2）：47-50．

The End of Bertrand Paradox Debate

ZHANG Min, HE Xiao-ya
(School of Mathematics Science, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

The debate of Bertrand Paradox mainly concludes five types and the essence of the debate lies in four aspects. The reason of Bertrand Paradox is the lack of explicit equal- possible hypothesis. Equal-possible hypothesis must be given definitely. It can neither be acquired by instinct nor be confirmed by practice. The essential reason of the debate of Bertrand Paradox is that we understand the mathematics world in visual, intuitive and real perspectives. Deep understanding about these views has great influence on geometric probability teaching.

Bertrand Paradox; geometric probability; sample space; equal-possible hypothesis

G40-055

：A

：1004-9894（2015）03-0051-04

[責(zé)任編校：張楠]

2015-01-08

教育部哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究重大課題攻關(guān)項(xiàng)目——我國(guó)高中階段學(xué)生核心素養(yǎng)的模型及指標(biāo)體系研究（13JZDW009）

：張敏（1977—），女，廣東陸豐人，講師，博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)素養(yǎng)及概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究．