三相三線電路中的多端電路瞬時(shí)功率理論推導(dǎo)

楊秀川，田銘興

(1．國(guó)網(wǎng)寧夏電力公司培訓(xùn)中心，寧夏 銀川750001; 2．蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

三相三線電路中的多端電路瞬時(shí)功率理論推導(dǎo)

楊秀川1，田銘興2

(1．國(guó)網(wǎng)寧夏電力公司培訓(xùn)中心，寧夏 銀川750001; 2．蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

針對(duì)在電壓電流畸變情況下基于相電壓定義的傳統(tǒng)功率理論已失去其有效性的問題，提出了多端電路的理念。將三相三線制電路作為三端電路處理，給出了端電壓和端電流的定義。并且利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流定義了瞬時(shí)有功和無功功率。文中分別在電壓電流均正弦對(duì)稱、電壓正弦對(duì)稱電流畸變不對(duì)稱以及電壓電流均畸變不對(duì)稱三種情況下推導(dǎo)了在三端電路中瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的表達(dá)式，該表達(dá)式與基于瞬時(shí)功率理論推導(dǎo)得出的表達(dá)式一致。據(jù)此給出了三端電路中瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的定義。

多端電路;三端電路;畸變不對(duì)稱;瞬時(shí)功率

1 引言

目前，不論是三相電路還是多相電路，其功率計(jì)算都是基于“相電壓”的，這使得在三相三線系統(tǒng)等類似情況下的相電壓的定義和測(cè)量出現(xiàn)困難。在正弦對(duì)稱情況下，相電壓可以根據(jù)其與線電壓的關(guān)系計(jì)算得到;但是隨著電力電子器件的不斷使用，以及大量非線性不對(duì)稱負(fù)載接入供電系統(tǒng)，使得電壓電流畸變不對(duì)稱［1，2］，這時(shí)正弦對(duì)稱情況下相電壓和線電壓之間的關(guān)系不復(fù)存在，所以因正弦電路而定義的“相”的概念已不適合含有混合補(bǔ)償設(shè)備的電路系統(tǒng)，而多端電路較多相電路而言具有更大的概念外延，因此將多相電路功率理論推廣并改進(jìn)到多端電路應(yīng)是一項(xiàng)很有意義的工作。

顧名思義，多端電路即為含有多個(gè)引出端的電路，其可以作如下定義:如圖1所示，在任意一個(gè)電路網(wǎng)絡(luò)中，不論它多么復(fù)雜都可以將其主體看成一個(gè)黑盒子，黑盒子外的輸入端和輸出端統(tǒng)稱為這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的引出端。若引出端的數(shù)目為n則稱這個(gè)電路為n端電路，因?yàn)樵诮涣麟娐返乃行问街校鄶?shù)最少的單相電路實(shí)際上也是由兩個(gè)引出端構(gòu)成，所以在n端電路系統(tǒng)中n是大于等于2的，在n大于等于3時(shí)則稱這個(gè)電路為多端電路。

圖1 多端電路的一般形式示意圖Fig．1 Schematic diagram of general form of multi-terminal circuit

在本文中將三相三線制電路系統(tǒng)看作三端電路進(jìn)行處理，選擇三端中的任意一端作為參考端，在實(shí)際應(yīng)用中可以通過并聯(lián)電壓表方便地測(cè)出其他兩端到參考端的電壓，本文中稱之為端電壓，也可以通過串聯(lián)電流表測(cè)量得出每個(gè)端子上的電流，本文稱為端電流。在下文中，分別在電壓電流均正弦對(duì)稱、電壓正弦對(duì)稱電流畸變不對(duì)稱、電壓電流均不對(duì)稱三種情形下，推導(dǎo)通過瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流定義瞬時(shí)有功功率、瞬時(shí)無功功率的表達(dá)式。結(jié)果表明，利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流定義瞬時(shí)功率是可行的，并且端電壓和端電流的定義物理意義更加明確，在實(shí)際應(yīng)用中測(cè)量更加簡(jiǎn)潔、方便。

2 電壓電流均正弦對(duì)稱情況下瞬時(shí)功率定義

文獻(xiàn)［3］中提出瞬時(shí)有功功率等于瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流的乘積(點(diǎn)積)，見式(1);瞬時(shí)無功功率等于瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流的叉積，見式(2):

瞬時(shí)電流向量i可以分解為兩個(gè)正交的分量之和，該分量分別為瞬時(shí)有功向量 ip和瞬時(shí)無功向量iq，見式(3):

由于瞬時(shí)電壓向量和瞬時(shí)無功電流向量正交，所以u(píng)·iq=0，而瞬時(shí)電壓向量和瞬時(shí)有功電流向量在一條直線上，所以u(píng)×ip=0。因此，瞬時(shí)有功功率就可以等于瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)有功電流的點(diǎn)積，見式(4);瞬時(shí)無功功率等于瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)無功電流的叉積，見式(5)。

三相三線制電路對(duì)應(yīng)多端電路示意圖如圖2所示，圖中將負(fù)載端看成一個(gè)黑盒子，三相三線電路有三個(gè)出線端，可看作三端電路。由于在三相三線系統(tǒng)中負(fù)載是由三相發(fā)電機(jī)供電或者由發(fā)電機(jī)發(fā)出經(jīng)由變壓器變壓后供電，而三相發(fā)電機(jī)或者變壓器是存在中性點(diǎn)的，如圖2中 N點(diǎn)，假設(shè)三個(gè)端子間也存在一點(diǎn)N1，如圖中N1點(diǎn)，該電位點(diǎn)的電位UN1與電源中性點(diǎn)的電位 UN的電位差滿足 UNN1=UNUN1=0，那么稱該點(diǎn)為虛擬中心點(diǎn)，相電壓即定義為各個(gè)端子到虛擬中性點(diǎn)之間的電壓。

圖2 三相三線制電路對(duì)應(yīng)的三端電路示意圖Fig．2 Schematic diagram of three-terminal circuit corresponding to three-phase three-wire circuit

在三相正弦對(duì)稱系統(tǒng)中，假設(shè)線電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為:

將線電壓的瞬時(shí)表達(dá)式寫成相量形式為:

如圖2所示，在三相正弦對(duì)稱系統(tǒng)中，相電壓可以直接根據(jù)其與線電壓的關(guān)系得到［1］:

將相電壓的相量形式轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)表達(dá)式:

假設(shè)端電流的瞬時(shí)表達(dá)式為:

式中，φ為電壓和電流的相位差。

端電流可以分解為有功端電流和無功端電流，其瞬時(shí)表達(dá)式分別為:

在多端電路系統(tǒng)中，可以利用選擇任意端作為參考端后的端電壓和端電流來定義其功率，例如選擇3端作為參考端，電路示意圖如圖3所示。其端電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為:

圖3 選擇3端作為參考端時(shí)的三端電路示意圖Fig．3 Schematic diagram of three-terminal circuit when choosing terminal 3 as reference terminal

根據(jù)式(4)，圖3所示三端電路的瞬時(shí)有功功率可由各個(gè)端子上的瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)有功端電流取點(diǎn)積后求和得到，將式(13)和式(11)代入式(14)中可得:

根據(jù)式(5)，圖3所示三端電路的瞬時(shí)無功功率可由各個(gè)端子上的瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)無功端電流取叉積后求和得到，將式(13)和式(12)代入式(15)中可得:

將瞬時(shí)無功端電流旋轉(zhuǎn)90°即可將式(15)中的叉積轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)積:

推導(dǎo)得出利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流定義的瞬時(shí)有功功率和無功功率表達(dá)式與文獻(xiàn)［4］中用相電壓和相電流定義的瞬時(shí)有功功率和無功功率表達(dá)式相同，但是端電壓的物理意義更加明確且在實(shí)際應(yīng)用中更好測(cè)量。

3 非正弦不對(duì)稱系統(tǒng)

3.1 電壓為正弦對(duì)稱電流為畸變不對(duì)稱時(shí)

在電力系統(tǒng)中，通常存在電源電壓正弦對(duì)稱，而電流由于非線性負(fù)載以及電力電子器件的使用造成的畸變或不對(duì)稱現(xiàn)象［5］，下面推導(dǎo)電壓為正弦對(duì)稱、電流為畸變不對(duì)稱情況下的三端電路的瞬時(shí)功率的表達(dá)式。

由于電壓為正弦對(duì)稱，所以其瞬時(shí)表達(dá)式可以表示為:

對(duì)于電力系統(tǒng)中的非線性問題，由于電壓和電流具有周期性畸變的特點(diǎn)，可以將周期性畸變的電壓和電流轉(zhuǎn)化為非正弦周期電流電路處理(在后面的問題研究中都是根據(jù)此特性確定瞬時(shí)量的表達(dá)式)［4］，并且在三相三線制系統(tǒng)中只存在正序、負(fù)序，不存在零序電流，所以端電流瞬時(shí)表達(dá)式可以表示為:

設(shè)1、2、3三個(gè)端子上的第 ki次諧波電流 i1ki、i2ki、i3ki的瞬時(shí)表達(dá)式為:

將端電流分解為有功端電流和無功端電流后，其瞬時(shí)表達(dá)式分別為:

如圖2所示，當(dāng)選擇3端作為參考端時(shí)，各個(gè)端子上的端電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為:

根據(jù)式(4)，該三端電路第 ki次諧波電流的瞬時(shí)有功功率可以利用各個(gè)端子上瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)有功端電流取點(diǎn)積后求和確定，將式(22)和式(20)代入式(23)中得:

根據(jù)式(5)，該三端電路第 ki次諧波電流的瞬時(shí)無功功率則可利用各個(gè)端子上瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端無功電流取叉積后求和確定，采用與式(16)相同的方法，把瞬時(shí)無功電流旋轉(zhuǎn)90°將叉積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)積運(yùn)算，將式(22)和式(21)代入式(24)中得:

根據(jù)上述推導(dǎo)可以得出，在電壓正弦對(duì)稱電流畸變不對(duì)稱時(shí)，該三端電路系統(tǒng)的瞬時(shí)有功功率為:

瞬時(shí)無功功率為:

3.2 電壓電流都為畸變不對(duì)稱時(shí)

在電壓正弦對(duì)稱情況下，電源電壓是正弦對(duì)稱的，三相電源電壓 e'1+e'2+e'3=0;由于虛擬中性點(diǎn)電位UN1與電源中性點(diǎn)電位UN之間的電位差為0，所以三端相電壓之和也為0，且可以通過線電壓和相電壓之間的關(guān)系來確定相電壓。而在非正弦不對(duì)稱情況下，不但不滿足正弦對(duì)稱情況下線電壓和相電壓之間的關(guān)系，而且三相電源電壓之和也不為0。這就表明由不同的三相電動(dòng)勢(shì)可得到相同的線電壓，但是由線電壓則無法唯一確定相電壓，也就是說在非正弦不對(duì)稱情況下，對(duì)負(fù)載起決定作用的是線電壓而不再是三相電動(dòng)勢(shì)本身。文獻(xiàn)［6］中指出在任意的三相三線電路中總可找到一組三相電動(dòng)勢(shì)e1、e2、e3滿足三相之和為0，用其去替代原三相之和不為0的e'1、e'2、e'3，并利用對(duì)稱分量法將某特定 m次諧波分解為正序、負(fù)序、零序。由于三相正序、負(fù)序相加為0，而三相零序相加為，所以采用一組去除了零序分量的電動(dòng)勢(shì)去代替原電動(dòng)勢(shì)，見式(27):

式中，e1+e2+e3=0。

由第2節(jié)中提到的相電壓的定義可知，因?yàn)樘摂M中性點(diǎn)的電位與電源中性點(diǎn)電位的電位差為零，而且在選擇任意端作為參考端時(shí)定義的端電壓中同樣也不反映零序向量，所以三端的相電壓也可以采用 u1N=e1、u2N=e2、u3N=e3來代替原來的三端上的電壓u'1N、u'2N、u'3N。也正因?yàn)橛写颂攸c(diǎn)，所以三端上的相電壓可以利用式(28)來確定:

根據(jù)上述原理采用一組去除了零序分量的電動(dòng)勢(shì)代替原電動(dòng)勢(shì)，三端上的電壓只剩下正序和負(fù)序分量，因此其瞬時(shí)表達(dá)式可以表示為:

設(shè)1、2、3三個(gè)端子上的第 ku次諧波電壓 u1ku、u2ku、u3ku的瞬時(shí)表達(dá)式為:

各個(gè)端子上的端電流的瞬時(shí)表達(dá)式與式(18)相同，而1、2、3三個(gè)端子上的第 ki次諧波電流 i1ki、i2ki、i3ki的表達(dá)式與式(19)相同。因此將第 ki次諧波端電流 i1ki、i2ki、i3ki分解為有功端電流 i1kip、i2kip、i3kip和無功端電流 i1kiq、i2kiq、i3kiq，其瞬時(shí)表達(dá)式分別為:

當(dāng)選擇3端作為參考端時(shí)，其各個(gè)端子上第 ku次諧波的端電壓的瞬時(shí)表達(dá)式可以表示為:

根據(jù)式(4)，該三端電路第 ki次諧波電流和第ku次諧波電壓的瞬時(shí)有功功率可以利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)有功端電流取點(diǎn)積后求和得到，將式(33)和式(31)代入式(34)中得:

根據(jù)式(5)，該三端電路第 ki次諧波電流和第ku次諧波電壓的瞬時(shí)無功功率可以利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端無功電流取叉積后求和得到，采用與式(16)相同的方法，把瞬時(shí)無功電流旋轉(zhuǎn)90°將叉積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)積運(yùn)算，將式(33)和式(32)代入式(35)中得:

根據(jù)上述推導(dǎo)可以得出，在電壓和電流均畸變不對(duì)稱時(shí)，該三端電路系統(tǒng)的瞬時(shí)有功功率為:

該三端電路系統(tǒng)的瞬時(shí)無功功率為:

通過以上推導(dǎo)可以得出，利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流推導(dǎo)得出的瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的表達(dá)式與文獻(xiàn)［7］中基于瞬時(shí)功率理論推導(dǎo)得到的表達(dá)式相同。但是在電壓電流畸變的情況下，由于相電壓的定義和測(cè)量都十分困難，而端電壓和端電流的物理意義明確且測(cè)量簡(jiǎn)便。因此在三端電路中可以給出以下定義。

(1)定義1:瞬時(shí)有功功率等于選擇任意一端作為參考端時(shí)，各個(gè)端子上相對(duì)于參考端的瞬時(shí)端電壓與瞬時(shí)端電流取點(diǎn)積后求和。

(2)定義2:瞬時(shí)無功功率等于選擇任意一端作為參考端時(shí)，各個(gè)端子上相對(duì)于參考端的瞬時(shí)端電壓與瞬時(shí)端電流取叉積后求和。

本文在電壓電流均正弦對(duì)稱、電壓正弦對(duì)稱電流畸變不對(duì)稱以及電壓電流均畸變不對(duì)稱三種情況下，都是選擇3端作為參考端對(duì)端電壓和端電流進(jìn)行定義，進(jìn)而推導(dǎo)得出瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的表達(dá)式，同理，選擇其他任意一端作為參考端可以得出同樣的結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)本文分析了現(xiàn)有功率理論在電壓電流畸變不對(duì)稱情況下的缺陷，并提出利用多端電路的理念將三相三線制電路看成一個(gè)三端電路處理的觀點(diǎn)。

(2)文中給出了端電壓和端電流的定義，并將瞬時(shí)端電流分解為兩個(gè)正交的瞬時(shí)有功端電流和瞬時(shí)無功端電流。在電壓電流均正弦對(duì)稱、電壓正弦對(duì)稱電流畸變不對(duì)稱以及電壓電流均畸變不對(duì)稱三種情況下，利用瞬時(shí)端電壓和瞬時(shí)端電流推導(dǎo)瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的表達(dá)式。推導(dǎo)結(jié)果與文獻(xiàn)［7］中基于瞬時(shí)無功功率理論推導(dǎo)出的結(jié)果一致。

(3)最后根據(jù)推導(dǎo)結(jié)果給出了在三端電路中瞬時(shí)有功功率和瞬時(shí)無功功率的定義，在此定義中所用到的端電壓的概念較相電壓具有更大的概念外延，且物理意義更加明確，測(cè)量無需中間計(jì)算環(huán)節(jié)，更加簡(jiǎn)便。

［1］邱關(guān)源 (Qiu Guanyuan)．電路 (Circuit)［M］．北京:高等教育出版社 (Beijing:Higher Education Press)，2007.303-305．

［2］赤木泰文 (Hirofumi Akagi)．瞬時(shí)功率理論及其在電力調(diào)節(jié)中的應(yīng)用 (Instantaneous power theory and application to power conditioning)［M］．徐政 (Xu Zheng)譯．北京:機(jī)械工業(yè)出版社 (Beijing:China Machine Press)，2009.17-30．

［3］ 戴先中，唐統(tǒng)一，孫樹勤 (Dai Xianzhong，Tang Tongyi，Sun Shuqin)．非正弦三相電路中瞬時(shí)無功量的普遍化定義 (A generalized definition of instantaneous reactive quantity in nonsinusoidal three-phase systems)［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào) (Proceedings of the CSEE)，1998，18(6):388-394．

［4］熊元新，陳允平 (Xiong Yuanxin，Chen Yunping)．正弦電路瞬時(shí)功率理論研究 (Study on theory ofinstantaneous power of sinusoidal circuit)［J］．電網(wǎng)技術(shù) (Power System Technology)，2001，20(6):18-20．

［5］Xianzhong Dai，Guohai Liu，Ralf Gretsch．Generalized theory of instantaneous reactive quantity for multiphase power system［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2004，19(3):965-972．

［6］王勤，戴先中 (Wang Qin，Dai Xianzhong)．非正弦不對(duì)稱三相三線電路負(fù)載側(cè)相電壓的定義與測(cè)量 (The definition and measurement load’s phase voltages in nonsinusoidal unsymmetrical 3-phase 3-wire system)［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào) (Transactions of China Electrotechnical Society)，1997，12(6):55-58．

［7］劉進(jìn)軍，王兆安 (Liu Jinjun，Wang Zhao’an)．瞬時(shí)無功功率與傳統(tǒng)功率理論的統(tǒng)一數(shù)學(xué)描述及物理意義(Uniform mathematic description of instantaneous reactive power theory and conventional power theory and its physical meaning)［J］．電工技術(shù)學(xué)報(bào) (Transactions of China Electrotechnical Society)，1998，13(6):6-12．

Deduction of instantaneous power theory of multi-terminal circuit in three-phase three-wire circuit

YANG Xiu-chuan，TIAN Ming-xing
(1．State Grid Ningxia Electric Power Training Centre，Yinchuan 750001，China; 2．School of Automation＆Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

In view of the traditional power theory based on the definition of phase voltage is no longer valid under the circumstance of distorted voltage and current，the concept of multi-terminal circuit is proposed．Take the threephase three-wire circuit as an example，which is treated as the three-terminal circuit．Definitions of its terminal voltage and current are proposed in this paper while the instantaneous active power and reactive power are defined using instantaneous terminal voltage and current．The expressions of instantaneous active power and reactive power are deduced under three conditions respectively，which both the current and voltage are sinusoidal and symmetric，the voltage is sinusoidal and symmetrical while the current is distorted and asymmetric and both the current and voltage are distorted and asymmetric．The results of them are the same as the expressions deduced under the instantaneous power theory．According to this，the definitions of instantaneous active power and instantaneous reactive power of three-terminal circuit are given．

multi-terminal circuit;three-terminal circuit;distorted and asymmetric;instantaneous power

TM132

:A

:1003-3076(2015)12-0031-06

2014-08-08

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51167009;51367010)、甘肅省科技計(jì)劃 (1304WCGA181)、蘭州市科技計(jì)劃(2013-4-111)資助項(xiàng)目

楊秀川 (1989-)，男，寧夏籍，碩士研究生，研究方向?yàn)楣β世碚撘约爸C波抑制與無功補(bǔ)償;田銘興 (1968-)，男，甘肅籍，教授，博士生導(dǎo)師，博士，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)電能質(zhì)量分析及其綜合治理、電力電子技術(shù)及其應(yīng)用、電機(jī)電器及其控制。