數(shù)學(xué)冰雹的探索與求和新公式

王樂(lè)東

【摘要】在紛繁復(fù)雜的萬(wàn)象下，給出冰雹證明的簡(jiǎn)潔路徑和路徑的證明過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】路徑 具體數(shù) 奇偶

一、數(shù)學(xué)冰雹的證明

（一）路徑表述

8—4—2—6—3—0—5—6—

注解：1.證明范圍為正整數(shù).

2.代表尾數(shù)為8、4、2、6、3、0、5的正整數(shù)，其他1、7、9相同.

3.—代表進(jìn)，如尾數(shù)為8的數(shù)在雹程規(guī)則下最終成為尾數(shù)為4的數(shù).

4.該路徑指的是非2n的數(shù)在雹程規(guī)則下，進(jìn)入2n是這一主干前的路徑變化.

5.2n中，n為自然數(shù)，n=0時(shí)，稍有特殊，20=1，若定義1為直降則無(wú)問(wèn)題，若視1為奇數(shù)，需來(lái)3加1再除2等，則需闡明.

（二）證 明

A.依據(jù)：1.任何正奇數(shù)可為某正偶數(shù)除2，所以雹程可以正偶數(shù)開始.

2.正整數(shù)是無(wú)限的，但雹程開始的數(shù)都為具體數(shù)，注意前再無(wú)數(shù)，取具體正整數(shù)xxxx，在開始時(shí)各個(gè)位上的數(shù)可任意選定（0～9），雹程中則為具體對(duì)應(yīng)，不能隨意對(duì)應(yīng).所有具體數(shù)滿足一般性規(guī)律，則數(shù)學(xué)冰雹成立.

3.正偶數(shù)除2，其各個(gè)位的余數(shù)為0或1，正奇數(shù)乘3，各個(gè)位的進(jìn)數(shù)為0、1、2，具體數(shù)在雹程規(guī)則下的奇偶變化和余0、1，進(jìn)0、1、2的問(wèn)題.

4.（0、2、4、6、8）*3仍為正偶數(shù)（0、6、12、18、24，尾數(shù)為0、6、2、8、4，分別進(jìn)0、1、2），（1、3、5、7、9）*3仍為正奇數(shù)（3、9、15、21、27，尾數(shù)為3、9、5、1、7，分別進(jìn)0、1、2）.注意是具體對(duì)應(yīng)，不是籠統(tǒng)的對(duì)應(yīng)為奇偶.加下一位的進(jìn)1、2的情況不加贅述.

5.（0～9）×3的情況：0×3=0，本位為0，進(jìn)0.1×3=3，本位為3，進(jìn)0.2×3=6，本位為6，進(jìn)0.3×3=9，本位為9，進(jìn)0.4×3=12，本位為2，進(jìn)1.5×3=15，本位為5，進(jìn)1.6×3=18，本位為8，進(jìn)1.7×3=21，本位為1，進(jìn)2.8×3=24，本位為4，進(jìn)2.9×3=27，本位為7，進(jìn)2.

6.（1、3、5、7、9）為尾數(shù)×3+1的情況和（0～9）×3，其前位×3后進(jìn)1、2的情況，這里不一一贅述.

7.（0、2、4、6、8）/2，前為偶數(shù)或無(wú)數(shù)時(shí)，即前余0時(shí)，0為0，2為1，4為2，6為3，8為4，其中2、6對(duì)應(yīng)為奇數(shù)，0、4、8對(duì)應(yīng)為偶數(shù).前為奇數(shù)時(shí)，即前余1時(shí)，0為5，2為6，4為7，6為8，8為9，其中2、6對(duì)應(yīng)為偶數(shù)，0、4、8對(duì)應(yīng)為奇數(shù)，與前余0時(shí)相反.無(wú)論前余0還是余1，余數(shù)都為0.

8.（1、3、5、7、9）/2，前為偶數(shù)或無(wú)數(shù)，即前余0時(shí)，1為0，3為1，5為2，7為3，9為4，其中3、7對(duì)應(yīng)為奇數(shù)，1、5、9對(duì)應(yīng)為偶數(shù).前為奇數(shù)時(shí)，即前余1時(shí)，1為5，3為6，5為7，7為8，9為9，其中3、7對(duì)應(yīng)為偶數(shù)，1、5、9對(duì)應(yīng)為奇數(shù)，與前余0時(shí)相反.無(wú)論前余0還是余1，余數(shù)都為1.2、6與3、7對(duì)應(yīng)相同，0、4、8與1、5、9對(duì)應(yīng)相同.

9.0至9中任意一數(shù)除2，前余0或余1時(shí)，除2后分別為奇、偶或偶、奇，且相差5，再*3后差15.0對(duì)應(yīng)0、5，1對(duì)應(yīng)0、5，余1，2對(duì)應(yīng)1、6，3對(duì)應(yīng)1、6，余1，4對(duì)應(yīng)2、7，5對(duì)應(yīng)2、7，余1，6對(duì)應(yīng)3、8，7對(duì)應(yīng)3、8，余1，8對(duì)應(yīng)4、9，9對(duì)應(yīng)4、9，余1.

10.具體正整數(shù)xxxx除2，各個(gè)位上的偶數(shù)（0、2、4、6、8）除2后余0，除2后下一位對(duì)應(yīng)的數(shù)為（0、1、2、3、4），各個(gè)位上的奇數(shù)（1、3、5、7、9），除2后余1，除2后下一位對(duì)應(yīng)的數(shù)為（5、6、7、8、9）.即一位中偶數(shù)，除2后對(duì)應(yīng)的下一位是0、1、2、3、4，奇數(shù)，除2后下一位對(duì)應(yīng)的是5、6、7、8、9雹程中亦是如此.不是籠統(tǒng)對(duì)應(yīng)為0至9.

11.每組數(shù)（包括一位數(shù)），前每加一位為進(jìn)10位，如：21118比1118多20000，31118比1118多30000.在雹程中，如8進(jìn)4中，8～9循環(huán)的情況下，可算出兩組數(shù)的差，因后面數(shù)已經(jīng)確定如1118和21118中1118已經(jīng)確定，所以雹程中是從前向后逐步變化.

12.2n連續(xù)除2（包括2）最終=1，20=0.非2n連續(xù)除2（包括所有奇數(shù)，只除一次）最終余1.

13.以上確保雹程規(guī)則下，相同的余數(shù)最終不會(huì)進(jìn)入相同的余數(shù).如xx18，開始時(shí)18前余1時(shí)，最終會(huì)成為18前為偶，余0.

14.偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶.

注：以上細(xì)分非無(wú)用之舉，而是路徑中各步得以實(shí)現(xiàn)的原因.如依據(jù)2所言，具體數(shù)在雹程中有具體的對(duì)應(yīng)，不是每位前后籠統(tǒng)的對(duì)應(yīng)為0至9.從而確保數(shù)學(xué)冰雹的證明.

B.具體證明過(guò)程：

1.0—（進(jìn)）5

尾數(shù)是0的數(shù)一次或多次除2，最終都會(huì)成為尾數(shù)是5的奇數(shù)，包括5.

2.8～4

（1）8～4的重點(diǎn)是尾數(shù)8前的奇數(shù)1、3、5、7、9在雹程規(guī)則下最終成為偶數(shù)，從而進(jìn)4.

（2）以尾數(shù)8開始雹程的數(shù)，在一除一乘，8—9循環(huán)的前提下，注意有前提，以不明確進(jìn)4的組中選出的數(shù)組成的數(shù)組（尾數(shù)為8、9都可，包括一位，如8、9），每進(jìn)一位可分奇偶，有一組（或奇或偶）明確進(jìn)4，有一組不明確進(jìn)4.且不明確進(jìn)4一組中分兩部分（1、5、9對(duì)應(yīng)3、7，0、4、8對(duì)應(yīng)2、6），本數(shù)組除2后奇偶相對(duì)，加一位時(shí)進(jìn)4情況奇偶相對(duì)，且明確進(jìn)4的一部分前為偶進(jìn)4，不明確進(jìn)4的一部分前為奇進(jìn)4（見(jiàn)以下分析）.如8前為偶進(jìn)4，體現(xiàn)加一位有一組明確進(jìn)4.選18.18前為偶進(jìn)4，選118，再加1118、21118、221118、1221118…

列一些基本的進(jìn)4情況：

8前為偶進(jìn)4， ? 9前為偶進(jìn)4

18前為偶進(jìn)419前為偶進(jìn)4

58前為偶進(jìn)459前為偶進(jìn)4

98前為偶進(jìn)499前為偶進(jìn)4

38前為奇進(jìn)439前為奇進(jìn)4

78前為奇進(jìn)479前為奇進(jìn)4

8/2=4.取具體數(shù)，一位一位向前推.8前為偶時(shí)，余0，偶前無(wú)論什么數(shù)，無(wú)論多少位，尾數(shù)8前為偶都進(jìn)4.體現(xiàn)每進(jìn)一位有奇偶一組明確進(jìn)4.所以8前取奇數(shù)，看不明確進(jìn)4的情況：

（a）表：18—09—28—14

38—19—58—29—88

58—29—88

78—39—118—59—178—89—268

98—49—148

分析 a.本組進(jìn)4情況：

8前為偶進(jìn)4，所以去掉08、28、48、68、88，第二步9前為偶進(jìn)4，又去掉18、58、98.只剩下38和78，3、7對(duì)應(yīng)1、3，第二步9前為奇，第三步同為奇8，不明確排除（其實(shí)58前為偶進(jìn)4，18前為偶進(jìn)4，每一步都可確定）.第四步9前分奇偶，又去掉38.只剩78最進(jìn)89.若78不進(jìn)4，則第五步需進(jìn)39，與前奇78不符.78與38相差40，奇8的組合必然進(jìn)4.0特殊考慮，如08，前再有數(shù)時(shí)有用.前為確保不確定進(jìn)4的組合如1118，雹程下一定進(jìn)4，因?yàn)榫唧w數(shù)在雹程下有具體的奇偶對(duì)應(yīng).

b.加一位有奇偶一組明確進(jìn)4的情況：

8/2=4，9*3+1=28，進(jìn)2.

尾數(shù)8前為偶進(jìn)4，因8前為偶余0，偶前無(wú)論奇偶，無(wú)論多少位，都進(jìn)4.9前為偶進(jìn)4，因偶乘3為偶，加9的進(jìn)位2，仍為偶，從而進(jìn)偶8進(jìn)4.再看兩位數(shù)的情況：

因?yàn)橛辛?、9的奇偶根基，再按照依據(jù)9，0—9中一數(shù)，前為奇偶，除2后奇偶不同，且相差5，再除3后差15.所以：

通過(guò)（a）表看出18、58、98對(duì)應(yīng)的是偶9，為保證是偶9，則需18、58、98前為偶，所以18、58、98前為偶進(jìn)4.這樣，由18、58、98的雹程情況推出18、58、98前的奇偶狀況，由下一位推出上一位.38、78則相反，對(duì)應(yīng)的是奇9，為保證是偶9進(jìn)4，則需38、78前為奇，注意：一數(shù)前奇偶狀況改變，則除2后奇偶狀況也改變.所以38、78前為奇進(jìn)4，這樣由38、78的雹程狀況推出38、78前的奇偶狀況，由下一位推出上一位.注意1、5、9與3、7本數(shù)組進(jìn)9后的奇偶相反，又導(dǎo)致前加一位時(shí)的奇偶進(jìn)4情況相反.偶數(shù)組中2、6于0、4、8相反.這是一般性規(guī)律，不是本例特例.因某一尾數(shù)為8的數(shù)組，首先首位中有一半明確進(jìn)4排除掉.尾數(shù)為9的數(shù)組也是每組前分奇偶進(jìn)4，所以第一次除2后，通過(guò)9的數(shù)組的奇偶情況判斷前位進(jìn)4情況（大數(shù)組不明確其前是奇是偶進(jìn)4時(shí)，可通過(guò)以后的小數(shù)向前推），如本例中偶9進(jìn)4，所以（1、5、9）8進(jìn)4，明確進(jìn)4的一部分可視為其前為偶（余0）進(jìn)4（不管9的數(shù)組是奇進(jìn)4還是偶進(jìn)4），如（1、5、9）8前為偶進(jìn)4，也就是說(shuō)，不明確進(jìn)4的一部分（如3、7）對(duì)應(yīng)奇9前為偶時(shí)不明確進(jìn)4，按照依據(jù)9，其前為奇時(shí)，原首位除2后對(duì)應(yīng)的奇偶相反，如3對(duì)應(yīng)的由1變6，由奇變偶.所以（3、7）8前為奇進(jìn)偶9進(jìn)4，即不明確進(jìn)4的一部分前為奇進(jìn)4，且一定是奇.即首先排除一半（如本例的0、2、4、6、8），另一半的一部分（如本例的1、5、9）進(jìn)9后明確進(jìn)4，即其前為偶進(jìn)4.而不明確進(jìn)4的一部分（如3、7）必與進(jìn)4的部分（如1、5、9）相反，前為奇時(shí)進(jìn)4，且一定為奇.因兩部分除2后奇偶相對(duì)，而9的數(shù)組分奇偶，有一組明確進(jìn)4.3、7與1、5、9對(duì)應(yīng)，2、6與0、4、8對(duì)應(yīng).這是一般性規(guī)律，不是特例.

再看尾數(shù)9的情況：9前為偶進(jìn)4，體現(xiàn)加一位有一半進(jìn)4.偶數(shù)不予考慮，看19、39、59、79、99：

19*3+1=58—29，

39*3+1=118—59—178—89，

59*3+1=178—89，

79*3+1=238—119—358—179—538—269，

99*3+1=298—149，

為保證19、59、99第二步進(jìn)偶9，19、59、99前需為偶，所以19、59、99前為偶進(jìn)4.相反39、79前為奇時(shí)進(jìn)偶9，所以，39、79前為奇進(jìn)4.注意1、5、9與3、7本數(shù)組乘3除2進(jìn)9后奇偶相反，又導(dǎo)致前加一位的情況下的奇偶進(jìn)4情況相反.偶數(shù)組中2、6于0、4、8相反.這是一般性規(guī)律.

再如：8前取1，18前為偶進(jìn)4，因?yàn)榕?8進(jìn)09進(jìn)4，奇18進(jìn)59不明確進(jìn)4，體現(xiàn)數(shù)組前加一位，奇偶中有一組明確進(jìn)4，有一組不明確進(jìn)4.看不明確進(jìn)4的奇數(shù)情況：

（b）表：118—059—178—89

318—159—478—239—718—359—1078—539—1618—809

518—259—778—389

718—359—1078—539—1618—809

918—459—1378—689

分析 a.本組進(jìn)4的情況：

第四步進(jìn)89需奇78，奇78需偶59，從而118、518、918進(jìn)4.第三步318、518同進(jìn)偶78，不明確排除（478前為奇進(jìn)4，078前為奇進(jìn)4，每一步都可確定）.以后分別為偶奇39，奇偶18再進(jìn)奇9和偶9，從而排除718.318最后進(jìn)539進(jìn)4.如318不進(jìn)4則第七步需為偶39，與其前78前為奇0不符.318與718相差400，奇18的組合必定進(jìn)4.

b.加一位有奇偶一組明確進(jìn)4的情況：

第四步進(jìn)89需奇78，奇78需偶59，從而118、518、918進(jìn)4.所以118、518、918前為偶進(jìn)4.相反，318、718要進(jìn)偶59，需前為奇.注意1、5、9與3、7本數(shù)組進(jìn)9后的奇偶相反，又導(dǎo)致前加一位的情況下的進(jìn)4奇偶狀況相反.如本例中的（1、5、9）18進(jìn)偶59，從而三者前為偶進(jìn)4，而（3、7）18進(jìn)奇59，從而兩者前為奇才能進(jìn)偶59進(jìn)4.奇數(shù)組中分1、5、9與3、7兩部分，本數(shù)組中，除2后奇偶相對(duì)，加一位進(jìn)4亦是奇偶相對(duì).偶數(shù)組中2、6與0、4、8相反.這是一般性規(guī)律.

因?yàn)橛?/2=4，8前為偶進(jìn)4和9*3+1=28，進(jìn)2，9前為偶進(jìn)偶8進(jìn)4的根基，按照依據(jù)9，同一位數(shù)前奇偶不同，除2后奇偶狀況相反，且差5.再*3后差15.且*3后偶為偶奇為奇以及依據(jù)中的各項(xiàng)，可以確定以尾數(shù)8開始雹程的數(shù)，在一除一乘，8—9循環(huán)的前提下，注意有前提，以不明確進(jìn)4的組中選出的數(shù)組成的數(shù)組（尾數(shù)為8、9都可）每進(jìn)一位可分奇偶，有一組（或奇或偶）明確進(jìn)4，有一組不明確進(jìn)4.且不明確進(jìn)4一組中分兩部分（1、5、9對(duì)應(yīng)3、7，0、4、8對(duì)應(yīng)2、6），本數(shù)組除2后奇偶相對(duì)，加一位時(shí)進(jìn)4情況奇偶相對(duì)，且不明確進(jìn)4一組中，通過(guò)第二步9的數(shù)組判定明確進(jìn)4的一部分前為偶進(jìn)4，不明確進(jìn)4的一部分前為奇進(jìn)4.

因?yàn)橛行?shù)的根據(jù)，每進(jìn)一位奇偶中有一組明確進(jìn)4（不明確進(jìn)4的一組又分成兩部分），首先排除一半，進(jìn)9后又排除一半（大數(shù)組不明前奇偶進(jìn)4的狀況，可在雹程中通過(guò)小數(shù)判斷），以后逐步排除至全部進(jìn)4.前面確定為不明確進(jìn)4的組中選數(shù)組成的數(shù)組，因?yàn)橛芯唧w的奇偶對(duì)應(yīng)，雹程下一定進(jìn)4.全部具體數(shù)如此，所以8—4成立.

在xx情況下，存在偽循環(huán).如xx18（18前余1）—xx18（18前余1）的偽循環(huán)（除2、乘3加1算一下.xx18/2分為xx09和xx59，繼續(xù)算下去，電子格式下不好表達(dá)），偽是指不存在，是對(duì)前位余0和.1的籠統(tǒng)錯(cuò)位對(duì)應(yīng)，每步除2都分兩支.具體數(shù)在雹程中有具體對(duì)應(yīng)，前位只余0或.1，只有一條通道.最終會(huì)走出這種循環(huán)進(jìn)4.

3.4—2

尾數(shù)為4的數(shù)除2后分尾數(shù)2和尾數(shù)7，分別為4前為偶和奇.尾數(shù)7×3+1=2，進(jìn)2.所以4—2.

4.以后各項(xiàng)：

2—6：主要是尾數(shù)2前的偶數(shù)最終變成奇數(shù).

6—3：主要是尾數(shù)6前的奇數(shù)最終變成偶數(shù).

3—0：尾數(shù)3×3+1進(jìn)0.

5—6：尾數(shù)是5的數(shù)×3+1，成為尾數(shù)是6的數(shù)，包括5.

以上證明具體情況不同，但原理相同，是依據(jù)中的各項(xiàng).太繁瑣，這里不一一證明.

5.數(shù)學(xué)冰雹的實(shí)質(zhì)是奇數(shù)在雹程下，都會(huì)進(jìn)入2n這一主干降落，核心是自然數(shù)除3，只有余0、1、2三種情況.偶數(shù)一次或多次除2，最終降落為奇數(shù)，本文表述了奇數(shù)（除1）在雹程下的變化路徑，只要能證明這一路徑不會(huì)永遠(yuǎn)持續(xù)，而是最終6不進(jìn)3，是進(jìn)8，進(jìn)入2n降落，則數(shù)學(xué)冰雹可以證明.本人未能證明.

二、西格瑪?shù)谋憬莨?/p>

證明范圍：從1到n的連續(xù)正整數(shù).

注：西格瑪偶為1到n中的偶數(shù)和.

西格瑪奇為1到n中的奇數(shù)和.

西格瑪全為1至n的和.

1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).p=n/2.

西格瑪偶=p（p+1）=p2+p.

西格瑪奇=p2

西格瑪全=p（p+1）+p2=p（2p+1）=2p2+p.

2.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

P1=（n-1）/2，p2=（n-1）/2+1=p1+1，

西格瑪偶=p1（p1+1）=p21+p1.

西格瑪奇=p22=（p1+1）2=p21+2p1+1.

西格瑪全=p1（p1+1）+p22=2p21+3p1+1=p21+p22+p1.

證明：一、n為偶數(shù)時(shí)，p=n/2.

A.當(dāng)p為奇數(shù)時(shí).

（一）西格瑪偶的證明：因?yàn)閜為奇數(shù)，求的是n內(nèi)偶數(shù)和，所以以（p-1）為軸心.n為偶數(shù)，p為奇數(shù)，所以以p為中心，后半段比前半段多一個(gè)偶數(shù)，前半段的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（p-1）/2，含（p-1）.后半段的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（p-1）/2+1.注：<（p-1）-（（p-1）/2 -1）×2=2.

n內(nèi)的偶數(shù)和為：{（p-1）-[（p-1）/2 -1]×2}+…+[（p-1）-2×2]+[（p-1）-2]+（p-1）+{（P-1）+2}+[（p-1）+2×2]+…+{（p-1）+[（p-1）/2-1]×2}+[（p-1）+（p-1）/2 ×2]+{（p-1）+[（p-1）/2 +1]×2}.

因?yàn)橐裕╬-1）為中心向左右減加2的n倍[n為大于等于1小于等于（p-1）/2+1的正整數(shù)]至2和2p（即偶數(shù)n），又因以p為中心，后半段比前半段多一個(gè)偶數(shù)，且（p-1）不在正負(fù)2n合并的范圍內(nèi)，所以后半段最后兩個(gè)偶數(shù)不在合并范圍內(nèi).前后半段正負(fù)2n合并=0的數(shù)的個(gè)數(shù)各為[（p-1）/2-1].所以上式合并為2×（p-1）×[（p-1）/2 -1]+（p-1）+[（p-1）+（p-1）/2×2]+{（p-1）+[（p-1）/2+1]×2}.合并后西格瑪偶=p2+p.舉個(gè)實(shí)例，主要是看正負(fù)2n合并為0后有多少個(gè)（p-1），最后得出公式.很簡(jiǎn)單.

（二）西格瑪奇的證明：因?yàn)閜為奇數(shù)，求的是n內(nèi)奇數(shù)和，所以以p為軸心.前后半段的奇數(shù)個(gè)數(shù)各為（p-1）/2，不含p.所以n內(nèi)的奇數(shù)和為[p-（p-1）/2×2]+…+（p-2×2）+（p-2）+p+（p+2）+（P+2×2）+…+[p+（p-1）/2×2]，因p兩側(cè)各有（p-1）/2個(gè)奇數(shù)，即兩側(cè)各有（p-1）/2個(gè)（p-2n）和（p+2n）的奇數(shù)，n大于等于1小于等于（p-1）/2，即n內(nèi)奇數(shù)除p外，正負(fù)2n合并=0后還有2×（p-1）/2個(gè)p.即上式合并為2×（p-1）/2 ×p+p，西格瑪奇=p2.舉個(gè)實(shí)例，主要是看正負(fù)2n合并為0后有多少個(gè)p，最后得出公式.很簡(jiǎn)單. 西格瑪全兩者相加即可.

B.當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)

（一）西格瑪偶的證明：以偶數(shù)p為中心，前半部分的偶數(shù)為p，p-2，p-2×2，…，p-（p/2 -1）×2.后半部分的偶數(shù)為p+2，p+2×2，…，p+（p/2-1）×2，p+p/2 ×2.所以n內(nèi)偶數(shù)和為[p-（p/2-1）×2]+…+（p-2×2）+（p-2）+p+（p+2）+（p+2×2）+…+[p+（p/2-1）×2）]+（p+p/2 ×2），即有（p/2-1）組p-2n和p+2n中的正負(fù)2n（n大于等于1，小于等于p/2）相互抵消，即相互抵消的組中有2×（p/2 -1）個(gè)p，所以上式轉(zhuǎn)變?yōu)?×（p/2 -1）p+p+（p+p/2×2），即西格瑪偶=p2+p.

（二）西格瑪奇的證明：n為偶數(shù)，p為偶數(shù)，以（p-1）為中心，前半部分的奇數(shù)為（p-1），（p-1）-2，（p-1）-2×2，…，（p-1）-（p/2-1）×2.后半部分的奇數(shù)為（p-1）+2，（p-1）+2×2，…，（p-1）+（p/2-1）×2，（p-1）+p/2×2.所以n中的奇數(shù)和為[（p-1）-（p/2-1）×2]+…+[（p-1）-2×2]+[（p-1）-2]+（p-1）+[（p-1）+2]+[（p-1）+2×2]+…+[（p-1）+（p/2-1）×2]+[（p-1）+p/2×2].正負(fù)2n相加=0的組有（p/2-1）組，即相加=0組中有2×（p/2-1）個(gè)（p-1）.所以上式合并為2×（p/2-1）（p-1）+（p-1）+[（p-1）+p/2×2]，計(jì)算后西格瑪奇=p2.西格瑪全=2p2+p.

從以上可以看出，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論p為奇為偶，以上公式都成立.

二、n為奇數(shù)時(shí)：p=（n-1）/2

n內(nèi)偶數(shù)和求法不變，最后一位奇數(shù)=2p+1，代入以上即可.

負(fù)整數(shù)時(shí)亦成立，提取負(fù)號(hào)即可.

三、兩兩相加的求和公式

【摘要】正整數(shù)中p1，p2，…，pn，兩兩相加后的和，含自身相加.

【關(guān)鍵詞】新公式

證明：正整數(shù)中，p1，p2，p3，p4，p5，…，pn，可不連續(xù).共n個(gè)整數(shù).兩兩相加為：

p1+p1，p1+p2，p1+p3，p1+p4，p1+p5，…，p1+pn

p2+p2，p2+p3，p2+p4，p2+p5，…，p2+pn

p3+p3，p3+p4，p3+p5，…，p3+pn

p4+p4，p4+p5，…，p4+pn

p5+p5，…，p5+pn

……

pn+pn

從上可看出，兩兩相加每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是n+1次，所以兩兩相加后的和（暫稱為E西格瑪）=（n+1）（p1+p2+p3+p4+p5+…+pn）.

負(fù)數(shù)提取負(fù)號(hào)即可，小數(shù)也可，正負(fù)都有也可.

二三求和若是已有成果則無(wú)用.