一般化策略在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張安文

在解決數(shù)學(xué)問題時，一般來說，特殊情況很容易被人們接受，然而我們有時也會遇到一些比較復(fù)雜或聯(lián)系不明顯的特殊數(shù)學(xué)問題，它并不能將一般性的特性反映出來，這時我們就需要把原問題的范圍擴(kuò)大，要設(shè)法把特殊問題一般化，找出一個能揭示原問題基本特性的問題，進(jìn)而解決原特殊問題，這種一般化方法解題策略經(jīng)常會帶來意想不到的效果.

一、一般化策略在求值中的應(yīng)用

例1 已知：cosα+cosβ-cos（α+β）=32，α，β∈0，π2，求α，β.

解析 將條件等式整理為：

sinαsinβ+cosα（1-cosβ）+cosβ-32=0，由此可知直線x（1-cosβ）+ysinβ+cosβ-32=0與單位圓x2+y2=1有交點 （cosα，sinα），于是運用原點到直線的距離公式解決該問題.

解 d=cosβ-32sin2β+（1-cosβ）2≤1，整理得cos2β-cosβ+14≤0，cosβ-122≤0，∴cosβ=12.

又∵β∈0，π2，

∴β=π3，同理α=π3.

二、一般化策略在不等式中的應(yīng)用

例2 已知：a，b∈R，且eba.

解析 要證ab>ba，只需證明 blna >alnb，即lnaa>lnbb，考察一般化，用一個變數(shù)代替了給定的常數(shù)x，將問題納入到考察函數(shù)f（x）=lnxx，x∈（e，+∞）的單調(diào)性，這樣，就便于用函數(shù)的工具來加以研究，從而證明了該問題.

證明 令f（x）=lnxx，x ∈（e，+∞）.

∵f′（x）=1-lnxx2<0，

∴函數(shù)f（x）=lnxx在（e，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).

又∵e<a<b，

∴f（a）<f（b），即lnaa>lnbb.

∴ab>ba.

三、一般化策略在函數(shù)中的應(yīng)用

例3 設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對任意的a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時，都有f（a）+f（b）a+b >0，解不等式fx-12<fx-14.

解析 解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為顯性的不等式求解.這就需要具備兩個條件：一、要把不等式轉(zhuǎn)化為f（□）>f（△） 的形式;二、要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把抽象函數(shù)不等式的符號 “f”去掉，得到具體不等式求解.

解 先證明函數(shù)的單調(diào)性.

任取x1，x2∈[-1，1].

當(dāng)x1<x2時，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）x1+（-x2）（x1-x2）<0，

∴y=f（x）在-1，1上是單調(diào)遞增函數(shù)，原不等式等價于-1≤x-12≤1，

-1≤x-14≤1，

x-12<x-14，

解得-12≤x≤54.

四、一般化策略在方程中的應(yīng)用

例4 設(shè)一元二次方程7x2-（k+13）x-k-2=0的兩根x1，x2，0

解析 有些學(xué)生從條件0

0<x1x2<2的錯誤，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求k的范圍.如果將問題置于函數(shù)之中進(jìn)行動態(tài)分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，借助于運動的二次函數(shù)的圖像與軸交點的坐標(biāo)，即可確定k的范圍.

解 設(shè) f（x）= 7x2-（k+13）x-k-2，則

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2） >0，

即k2-k-2>0，

k2-2k-8﹤0，

k2-3k>0，

解得-2

∴k∈（-2，-1）∪ （3，4）.

通過以上例題的求解我們知道一般化方法實際上就是想方設(shè)法構(gòu)造一個與原問題形式一致，且容易解決的一般性問題，即尋求處理問題的一般特例，在一般情形的處理下探索解決原問題的方案，但在構(gòu)造一般性問題時，需要進(jìn)行分析觀察原問題的形式包括原問題的基本特征，并將它們歸納整理成具有規(guī)律性的一般問題，構(gòu)造出一個對解決原問題具有引路作用的一般問題，順利地解出原題.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，有意識地對學(xué)生進(jìn)行一般化思想培養(yǎng)方法的培養(yǎng)，這樣，既培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)了對本質(zhì)問題的認(rèn)識，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.