一道高考解析幾何題的引申

蔡志永

【摘要】學生對試題進行適度的引申和推廣，將有利于培養(yǎng)學生的歸納推理和類比推理的能力，有利于提高學生自主探究問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力.充分挖掘和拓展高考試題的教育功能，體現(xiàn)和展示高考試題的教學價值.

【關(guān)鍵詞】高考;幾何體;引申

2013年北京高考理科數(shù)學第19題如下：

已知點A，B，C是橢圓W：x24+y2=1上的三個點，O是坐標原點.

（Ⅰ）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積.

（Ⅱ）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

本文將菱形OABC一般化為平行四邊形，給出引申如下：

定理 已知點A，B，C是橢圓W：x2a2+y2b2=1上三個點，O為坐標原點.若四邊形OABC為平行四邊形，

（1）當直線AC不垂直于x軸時，記直線AC：y=kx+m（m≠0），則有4m2=a2k2+b2，且OABC的面積是定值為32ab.

（2）當直線AC⊥x軸時，則點B為橢圓在x軸上的頂點，且平行四邊形OABC為菱形.

定理的證明 （1）當四邊形OABC為平行四邊形時，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由OB=OA+OC，得x2=x1+x3，

y2=y1+y3.

聯(lián)立y=kx+m，

x2a2+y2b2=1得

（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

由Δ>0，得

a2k2+b2-m2>0.（*）

此時，x1+x3=-2a2kma2k2+b2，y1+y3=2b2ma2k2+b2.

則x2=x1+x3=-2a2kma2k2+b2，y2=y1+y3=2b2ma2k2+b2.

又點B（x2，y2）在橢圓W上，則

-2a2kma2k2+b22a2+2b2ma2k2+b22b2=1.

整理得

4m2（a2k2+b2）=（a2k2+b2）2.

由a2k2+b2≠0，得4m2=a2k2+b2.

代入（*）式檢驗，滿足條件.

所以，當四邊形OABC為平行四邊形時，有

4m2=a2k2+b2.

此時，OABC的面積S1和三角形OAC的面積S2之間滿足S1=2S2.

設(shè)O到直線AC的距離為h，則h=|m|k2+1.又，

|AC|=（x1-x3）2+（y1-y3）2=3a2b2（k2+1）4m2=32abk2+1|m|.

所以S1=2S2=2×12·|AC|·h=32abk2+1|m|·|m|k2+1=32ab.

即OABC的面積是定值為32ab.

（2）當直線AC⊥x軸時，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），不妨設(shè)點A在x軸上方.

由OB=OA+OC，得x2=x1+x1=2x1，

y2=y1-y1=0.

將B（x2，y2）代入橢圓W的方程，得（2x1）2a2+0b2=1.

則x1=±a2，B的坐標為（a，0）或（-a，0）.

即直線AC的方程為x=±a2，且此時點B為橢圓W的頂點.

由圖形的對稱性，不妨取x=a2.

此時，Aa2，32b，B（a，0），Ca2，-32b，OA=a2，32b，AB=a2，-32b.

因為OA=a24+34b2=AB，所以，OABC為菱形.