論向量在立體幾何和平面解析幾何中的應(yīng)用

劉川鋒

平面向量的運(yùn)用作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一，具有幾何與代數(shù)的雙重性質(zhì)，向量工具為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供了新的有效方法與思路。同時(shí)向量也是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革過(guò)程中的重要舉措。在解決立體幾何與平面解析幾何問(wèn)題時(shí)運(yùn)用平面向量法能夠幫助學(xué)生更加明晰代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)幾何法的解題模式，貫徹“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，為學(xué)生學(xué)習(xí)論證與度量問(wèn)題掃清障礙。

向量立體幾何平面解析幾何在數(shù)學(xué)中，向量即具有方向、大小且遵循平行四邊形法則的量，根據(jù)向量方向與大小的不同，可以將其分為固定向量與自由向量。將向量法應(yīng)用在立體幾何與平面解析幾何的問(wèn)題中是一種很好的思路與方法，學(xué)生通過(guò)利用向量代數(shù)的方法能夠有效避免思維障礙，將邏輯推理的難度降低，利用坐標(biāo)運(yùn)算法及“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思維提高解題效率。

1向量概述

1.1概念

求向量差：通過(guò)將兩個(gè)向量的始點(diǎn)重合，將減向量的終點(diǎn)作為始點(diǎn)，將被減向量的終點(diǎn)作為終點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的差即兩向量之間的差。

1.3向量與實(shí)數(shù)的積

向量與實(shí)數(shù)的乘積仍表示向量，零向量與任何向量及實(shí)數(shù)的積均為零向量。

1.4向量的坐標(biāo)運(yùn)算

向量表示的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)與始點(diǎn)坐標(biāo)的差即向量的坐標(biāo)，兩個(gè)向量的坐標(biāo)之和則為向量和的坐標(biāo)，同樣的，兩個(gè)向量的坐標(biāo)之差就為向量差的坐標(biāo)。

2平面向量法在立體幾何和平面解析幾何中的應(yīng)用

2.1運(yùn)用圖形，建立數(shù)形結(jié)合思維

在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，利用傳統(tǒng)的解題方法，即綜合推理法，由于立體幾何中的角度、距離等問(wèn)題具有較強(qiáng)的技巧性，需要學(xué)生具有極強(qiáng)的邏輯推理思維能力以及抽象的空間想象力，并且此類題目沒(méi)有一成不變的規(guī)律，從而使得學(xué)生智力受到了很大考驗(yàn)，在思考問(wèn)題時(shí)面臨很大挑戰(zhàn)。這個(gè)時(shí)候就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維來(lái)處理這些問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)際應(yīng)用中，我們都要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并將這種能力應(yīng)用于立體幾何問(wèn)題解決中去。學(xué)生建立好空間概念，畫好正確的立體圖形是解決立體幾何問(wèn)題的第一步。教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間概念，可以通過(guò)制作幾何課件和幾何模型的方法，讓學(xué)生從不同角度近距離觀察并繪圖，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體空間的理解能力，并提高學(xué)生的作圖能力。

利用平面向量法處理中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思維的很好體現(xiàn)，平面向量法能夠?qū)⒘Ⅲw幾何中的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，有效避免了傳統(tǒng)解題過(guò)程中添加輔助線等方式，削弱了抽象推理論證帶來(lái)的難度，為學(xué)生提供了更加便捷、高效的解題方法。在求解立體幾何中平面角的問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)分析題意判斷所求的角為銳角還是鈍角，然后通過(guò)計(jì)算取“相等角”或者“補(bǔ)角”。

在高中數(shù)學(xué)中，平面解析幾何問(wèn)題主要涉及圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題。由于向量具有幾何與代數(shù)的雙重性質(zhì)，能夠?qū)缀螆D形的特征與代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同時(shí)反映出來(lái)，使其成為解決平面解析幾何問(wèn)題的重要工具，對(duì)提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與探究能力具有很好的作用。平面向量方法中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想與平面解析幾何問(wèn)題的要求十分符合，向量法作為新教材中的重要改革內(nèi)容，通過(guò)利用坐標(biāo)將平面向量刻畫出來(lái)，以圖形問(wèn)題代數(shù)化的思維進(jìn)行解題，使得解題方法更具操作性。

2.2轉(zhuǎn)換思維，增強(qiáng)學(xué)生抽象化知識(shí)理解能力

思維轉(zhuǎn)換是學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常需要用到的一種學(xué)習(xí)方法，運(yùn)用思維轉(zhuǎn)換，可以幫助學(xué)生建立起不同知識(shí)之間的聯(lián)系，在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)，就可以充分利用這種方法，來(lái)提高學(xué)生對(duì)一些抽象知識(shí)的理解。運(yùn)用向量工具能夠較為容易的將一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，利于學(xué)生解題。

在數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題中，點(diǎn)的集合形成圖形，而平面圖形中的點(diǎn)可以通過(guò)向量來(lái)表示。這樣就可以把平面幾何圖形看作是若干向量的集合，然后利用代數(shù)運(yùn)算法對(duì)平面幾何中的圖形位置關(guān)系進(jìn)行度量。通過(guò)利用向量工具解決問(wèn)題可以避免傳統(tǒng)幾何法中大量的邏輯論證過(guò)程，使得學(xué)生更容易理解抽象化的平面問(wèn)題，簡(jiǎn)便解題過(guò)程。

在平面解析幾何的解題過(guò)程中應(yīng)用向量相等關(guān)系需注意幾方面問(wèn)題：在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)應(yīng)注意明確始點(diǎn)、終點(diǎn)；在利用向量坐標(biāo)方法時(shí)通常采取設(shè)點(diǎn)而不求解的消除法進(jìn)行；當(dāng)存在多個(gè)解時(shí)應(yīng)對(duì)各個(gè)解進(jìn)行驗(yàn)證，避免增失根的問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，解析幾何的學(xué)習(xí)是在教授了平面向量之后開展的，并不是以融合的方式進(jìn)行的，這使得平面向量與解析幾何的整合程度較低。但實(shí)際上向量法對(duì)解析幾何問(wèn)題的解決具有十分高效的作用，能夠幫助學(xué)生理清思路，簡(jiǎn)潔的解題過(guò)程有助于幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心，提高興趣。

3結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，立體幾何問(wèn)題與平面解析幾何問(wèn)題是重難點(diǎn)內(nèi)容，巧妙利用平面向量法能夠幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，為其在解決上述兩類問(wèn)題提供新的解題方法與思路。同時(shí)，平面向量法的引入使得高中課堂數(shù)學(xué)內(nèi)容更加豐富，教師應(yīng)結(jié)合中學(xué)生的思維特征深入研究平面向量法，并與教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)結(jié)合，在新課改的要求下以簡(jiǎn)潔、優(yōu)化的解題方法提高學(xué)生的邏輯思維能力與自主探究能力。

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