田載今

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系（簡稱“數(shù)”）和空間形式（簡稱“形”）的科學(xué)。人類在認(rèn)識(shí)客觀世界的過程中，會(huì)遇到大量關(guān)于“數(shù)”與“形”的問題，小孩兒最早接受的數(shù)學(xué)啟蒙教育，是最直觀的“數(shù)”與“形”，他們往往從數(shù)手指頭開始，認(rèn)識(shí)了1、2、3、4、5等整數(shù)，在搭積木等游戲中，認(rèn)識(shí)了三角形、正方形、圓、長方體等圖形。提起數(shù)學(xué)，人們往往首先想到“數(shù)”，其實(shí)“形”在數(shù)學(xué)中是與“數(shù)”地位相當(dāng)?shù)?，并且“?shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系。

一、幾何圖形是從物體形狀中抽象出的數(shù)學(xué)概念

我們身邊的物體都有各自的形狀，幾何圖形是人們從豐富多彩的物體形狀中抽象出的數(shù)學(xué)概念，例如，人們對滿月、車輪、硬幣等物體的形狀進(jìn)行抽象概括，發(fā)現(xiàn)這些物體的形狀都符合“一中同長”的特點(diǎn)，即周邊各點(diǎn)到中心一點(diǎn)的距離都一樣長，為研究具有這一特點(diǎn)的物體形狀，人們得出了圓的定義，即平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合叫作圓，這個(gè)定點(diǎn)叫作圓心，定長叫作圓的半徑，這里的圓，已經(jīng)脫離了滿月、車輪、硬幣等物體的其他性質(zhì)，只反映這類物體共同的形狀特征。它是一種幾何圖形，恩格斯對幾何圖形的產(chǎn)生給出了精辟的總結(jié)：“‘形的概念完全來自外部世界，而非頭腦憑空想出，對客觀存在的物體形狀加以比較，才得出‘形的概念。”

幾何學(xué)是研究“形”的數(shù)學(xué)分支，它的英文單詞為geometry，其中g(shù)eo表示土地，metry表示測量，器物制造、土地測量等實(shí)際需要，是幾何學(xué)產(chǎn)生的原動(dòng)力，人們在長期的實(shí)踐活動(dòng)中。對來自現(xiàn)實(shí)世界的幾何圖形進(jìn)行了深入研究，不斷獲取經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并加以系統(tǒng)整理。使得具有嚴(yán)密邏輯體系的幾何學(xué)逐步形成，幾何圖形的形狀、大小和位置等，是幾何學(xué)研究的主要問題，按研究對象和研究方法的不同。幾何學(xué)可分為歐氏幾何、非歐幾何、解析幾何、射影幾何、微分幾何、代數(shù)幾何等，其中，歐氏幾何因古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得而得名，它最早成型，是最基礎(chǔ)的幾何體系，而且對整個(gè)數(shù)學(xué)向公理化方向發(fā)展起了重要的推動(dòng)作用，同學(xué)們在初中數(shù)學(xué)中所學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)都在歐氏幾何范疇內(nèi)。

二、幾何圖形的組成

幾何圖形形態(tài)各異，變化萬千，有繁有簡，最簡單的幾何圖形是孤立的一個(gè)點(diǎn)，它只表示空間中的一個(gè)位置，而沒有大小的規(guī)定，畫圖時(shí)筆尖接觸一下紙就畫出一個(gè)點(diǎn)，筆尖在紙上連續(xù)移動(dòng)，所經(jīng)過的不同位置分別對應(yīng)空間中不同的點(diǎn)，這些點(diǎn)組成一條不間斷的線，這就是“點(diǎn)動(dòng)成線”，作為幾何圖形，任何線段（包括直線段和曲線段）都只計(jì)長短而不計(jì)粗細(xì)，線在空間中連續(xù)運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)等），其運(yùn)動(dòng)軌跡可以形成一個(gè)平面圖形或曲面圖形。這就是“線動(dòng)成面”，封閉的平面圖形或曲面圖形都只計(jì)邊界長短、面積大小而不計(jì)厚薄，面在空間中連續(xù)運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)等），其運(yùn)動(dòng)軌跡可以形成一個(gè)立體圖形，這就是“面動(dòng)成體”，封閉的立體圖形一般只計(jì)邊界長短、表面積大小、體積大小。

復(fù)雜圖形可以分解為若干簡單圖形，點(diǎn)是組成幾何圖形的最基本的元素，每個(gè)幾何圖形都是符合一定條件的點(diǎn)的集合，例如，以點(diǎn)O為中心、半徑為1的球面（如圖1），是由空間中所有到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)組成的集合，它也可以看作半圓弧ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，

幾何學(xué)中，平面是一個(gè)不加定義的原始概念，平面平如鏡子，它不計(jì)厚薄，沒有邊界，可以向各個(gè)方向無限延伸。

幾何圖形可以分為兩類：如果構(gòu)成圖形的點(diǎn)都在同一平面上，則這個(gè)圖形屬于平面圖形，例如直線、三角形、四邊形、圓等；如果構(gòu)成圖形的點(diǎn)不全在同一平面上，則這個(gè)圖形屬于立體圖形，例如長方體、圓柱、球等，在歐氏幾何中，以平面圖形為主要研究對象的部分，叫作平面幾何，以立體圖形為主要研究對象的部分，叫作立體幾何。

對于平面圖形和立體圖形，可以這樣想象：

構(gòu)成平面圖形的點(diǎn)，是在一個(gè)不計(jì)厚薄的平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上的任一位置，由橫、縱兩個(gè)方向上的位置所確定，這類似于在平房教室中，每個(gè)學(xué)生的座位由座次表上的橫向排號(hào)和縱向列號(hào)兩個(gè)數(shù)所確定，這兩個(gè)方向稱為兩個(gè)維度，所以平面圖形也叫二維圖形，現(xiàn)在常用的二維碼（如圖2），是按一定規(guī)律在平面上黑白相間地排列而得到的圖形，它記錄了特定的數(shù)據(jù)符號(hào)，由于它是用平面圖形表達(dá)信息的，所以叫作二維碼。

構(gòu)成立體圖形的點(diǎn)，是在一個(gè)像盒子一樣的空間里運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上的任一位置。由橫、縱、豎三個(gè)方向上（如圖3）的位置所確定，這類似于在有不同樓層的劇場中。每個(gè)觀眾的座位由入場券上的橫向排號(hào)、縱向列號(hào)和豎向樓層號(hào)三個(gè)數(shù)所確定，這三個(gè)方向稱為三個(gè)維度，所以立體圖形也叫三維圖形，我們能直觀感受到的外部空間是三維空間，所以三維圖形也常被稱為空間圖形，通常所說的3D電視，就是能使畫面產(chǎn)生立體視覺效果的電視，

平面圖形與立體圖形在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，如圖4，圓柱是立體圖形，把組成它的各個(gè)面平鋪開來，所得展開圖是平面圖形：反過來，把圓柱的平面展開圖折起。各個(gè)面又圍成立體圖形，認(rèn)識(shí)立體圖形時(shí)，通常先從它包含的平面圖形人手，這種研究方法是“降維處理”，但是，不是任何立體圖形都有平面展開圖，例如，球的表面是一個(gè)完整的曲面，它不能嚴(yán)格地展開成平面圖形，我們只能設(shè)法得到其平面近似展開圖，繪制世界地圖時(shí)，會(huì)用到這種近似展開方法。

例1如圖5，一只螞蟻在長方體上的點(diǎn)A處，它要沿我們能看到的面爬到點(diǎn)B處，最短路程是多少？

解：觀察圖5，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，螞蟻要想以最短路程從點(diǎn)A處爬到點(diǎn)B處，至少要經(jīng)過長方體的兩個(gè)面（即經(jīng)過正面與上底面或經(jīng)過正面與右側(cè)面），畫出長方體的平面展開圖（如圖6），圖5中的點(diǎn)B對應(yīng)圖6中的B₁、B₂兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑是連接這兩個(gè)點(diǎn)的線段，比較線段AB₁和線段AB₂，通過測量可以發(fā)現(xiàn)AB₁>AB₂，故在圖5中，從點(diǎn)A處出發(fā)，經(jīng)過正面與右側(cè)面到達(dá)點(diǎn)B處的路徑（對應(yīng)圖6中的線段AB₂最短，按圖中標(biāo)注的尺寸，可以通過測量、計(jì)算得到最短路程為5。

三、直線是原創(chuàng)幾何圖形

幾何學(xué)有嚴(yán)格的邏輯順序，如果要給一種幾何圖形下定義，定義中出現(xiàn)的其他圖形必須是此前已明確的概念，因此，在邏輯鏈條的起始端，必然要有一些只作描述而不加定義的原始幾何圖形，它們是以后衍生出其他一系列幾何圖形定義的基礎(chǔ)，點(diǎn)、直線、平面等都是原始幾何圖形。

直線無定義，對它只有描述性的解釋，如像一根拉緊的細(xì)線，沒有彎曲之處，不計(jì)粗細(xì)，可以向兩個(gè)方向無限延伸等，直線概念既來自于實(shí)際原型（如拉緊的細(xì)線等），又高于實(shí)際原型，其中包含了人類豐富的想象力（如無限延伸等），直線是動(dòng)點(diǎn)朝兩個(gè)相反的方向移動(dòng)的軌跡，從運(yùn)動(dòng)方向的角度看，沿一條直線的運(yùn)動(dòng)最簡單，例如物體在自由下落的過程中，方向始終豎直向下，物理中把這類運(yùn)動(dòng)稱為直線運(yùn)動(dòng)。

一條直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)有序地排列在直線上，中間不存在“空位”，這體現(xiàn)了直線上點(diǎn)的有序性和連續(xù)性，人們正是利用這些性質(zhì)發(fā)明了數(shù)軸這一表示實(shí)數(shù)集合的直觀模型。

無數(shù)次實(shí)踐驗(yàn)證了一個(gè)基本事實(shí)：在空間中任意選取兩個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過它們能且只能畫出一條直線（如圖7），人們把它歸結(jié)為一條公理（即直接承認(rèn)的真理）：兩點(diǎn)確定一條直線，這里的“確定”包含了“存在性”（一定有過這兩個(gè)點(diǎn)的直線）和“唯一性”（過這兩個(gè)點(diǎn)的直線只有一條），幾何學(xué)中，像這樣有雙重含義的“確定”廣泛地存在著，如：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（如圖8），不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面（如圖9），

有了直線這一原始幾何圖形，就可以用它定義射線和線段這兩種基本幾何圖形，直線上的一個(gè)點(diǎn)和它一側(cè)的那一部分叫作射線，直線上的兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的那一部分叫作線段，顯然，射線無限長，它表示了一個(gè)確定的方向，線段有長度，“兩點(diǎn)之間線段最短”是幾何學(xué)中的又一條公理，一條線段的長度就是線段的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離。

例2空間中有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上。以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有6條，

（1）求n的值，

（2）設(shè)A、B、C是這n個(gè)點(diǎn)中的任意三個(gè)，線段AB、AC、BC之間有什么關(guān)系？

解：（1）以這n個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)為端點(diǎn)，可以連出一條線段，所以每個(gè)點(diǎn)均可與另外（n-1）個(gè)點(diǎn)連出（n-1）條線段，以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段僅有一條，所以線段的總條數(shù)為

（2）如圖10，因?yàn)锳、B、C三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，線段AB是A、B兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑，A→C→B是從點(diǎn)A到點(diǎn)B的另一條路徑。所以AB

線段是直線上有限長、不間斷的一部分，它的長度容易理解，由線段組成的幾何圖形屬于直線形，例如三角形、四邊形、五邊形等，直線形的度量和計(jì)算（周長、面積等）建立在線段長度的基礎(chǔ)上，例如三角形的周長C=a+b+c。

直線有一個(gè)特性是處處不彎曲，有些幾何圖形不具有這種性質(zhì)，例如圓弧是處處彎曲的線，它屬于曲線，含有曲線的幾何圖形屬于曲線形，曲線形的度量和計(jì)算要比直線形復(fù)雜，例如推導(dǎo)圓的周長公式和面積公式要比推導(dǎo)三角形的周長公式和面積公式難得多，

能否通過“化曲為直”使曲線形的計(jì)算變得容易呢？我們看看魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽是怎么做的，如圖11，劉徽先把圓周六等分，連接各等分點(diǎn)，得到圓內(nèi)接正六邊形；在此基礎(chǔ)上，再把圓周十二等分，連接各等分點(diǎn)，得到圓內(nèi)接正十二邊形……繼續(xù)下去，使圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則圓內(nèi)接正多邊形的面積就越來越接近圓的面積，正多邊形是直線形，它的面積相對容易計(jì)算，通過計(jì)算邊數(shù)不斷加倍的正多邊形的面積，可得到圓的面積越來越精確的近似值，可以想象，當(dāng)邊數(shù)充分大時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形與圓幾乎重合，劉徽用這種“割圓術(shù)”計(jì)算出圓的面積高精度的近似值，并求出圓周率的近似值3.14，這在當(dāng)時(shí)是非常輝煌的成就，可以發(fā)現(xiàn)，劉徽的“割圓術(shù)”是通過無限細(xì)分的方法，使微小的圓弧段轉(zhuǎn)化為與之極為相近的微小線段，這種“化曲為直”的方法與思想。和后來出現(xiàn)的微分方法、極限思想高度一致。

幾何圖形中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)不斷提高對它們的認(rèn)識(shí)。

責(zé)任編輯：潘彥坤