“幾何圖形初步”的學(xué)習(xí)要點(diǎn)

孔凡哲　帥帥

“幾何圖形初步”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中“圖形與幾何”的重要內(nèi)容之一。

扎實(shí)掌握“幾何圖形初步”的核心內(nèi)容，是學(xué)好“圖形與幾何”的關(guān)鍵，對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

一、了解“幾何圖形初步”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，掌握與之適應(yīng)的學(xué)習(xí)方法

“幾何圖形初步”的基本內(nèi)容涵蓋了點(diǎn)、線、面、角等，這些內(nèi)容是幾何學(xué)的核心組成要素。通過學(xué)習(xí)，需要我們努力達(dá)成如下目標(biāo)：

1.通過實(shí)物和具體模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點(diǎn)等。

2.會(huì)比較線段的長(zhǎng)短，理解線段的和、差，以及線段中點(diǎn)的意義。

3.掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線。

4.掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短。

5.理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量?jī)牲c(diǎn)間的距離.

6.理解角的概念，能比較角的大小。

7.認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)對(duì)度、分、秒進(jìn)行簡(jiǎn)單的換算，并會(huì)計(jì)算角的和、差。

恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ菍W(xué)好“幾何圖形初步”的利器，為此，我們需要掌握以下學(xué)習(xí)方法：

1.重視概念，仔細(xì)體會(huì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，杜絕機(jī)械記憶，重視對(duì)概念的理解，可以結(jié)合圖形或圖形間的轉(zhuǎn)化理解概念，例如，可以結(jié)合我們的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來理解幾何的概念，將筆在紙上輕輕一點(diǎn)，就形成了一個(gè)點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)按照一個(gè)方向一直運(yùn)動(dòng)就形成了射線，將這條射線圍繞著起始點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就形成了角，這樣結(jié)合活動(dòng)在運(yùn)動(dòng)中理解幾何概念，不失為一個(gè)好方法.

2.充分利用生活經(jīng)驗(yàn)，深化對(duì)于幾何基本事實(shí)的理解，對(duì)于本章的一些內(nèi)容，不僅需要我們理解概念，而且需要我們認(rèn)識(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”“兩點(diǎn)之間線段最短”等重要的基本事實(shí)，這些基本事實(shí)是數(shù)千年以來人類不斷積淀的生活經(jīng)驗(yàn)，需要我們還原生活，從幾何學(xué)的角度進(jìn)行再次提升，“兩點(diǎn)確定一條直線”其實(shí)是“在墻上釘木條（如果忽略摩擦力），用兩根釘子，就能釘牢”等生活經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)一步提煉，而“兩點(diǎn)之間線段最短”幾乎被許多生物的本能反應(yīng)所詮釋，無論是狗撲食，還是鳥兒被驚飛，生物的本能促使它們都選擇最快捷的途徑。

3.借助圖形理解概念——這是幾何學(xué)不同于代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)之一，例如，鈍角的定義是“大于直角且小于180°的角”，但是在實(shí)際觀察中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)都會(huì)漏掉小于180°的角這個(gè)重要條件，如果通過圖1來理解定義，就不會(huì)出現(xiàn)類似的問題了。

4.注意培養(yǎng)看圖、畫圖的能力，本章與以往的代數(shù)學(xué)習(xí)的重要差別之一就是幾何直觀能力，表現(xiàn)在圖形上就是識(shí)圖、辨圖、畫圖的能力，同學(xué)們首先要學(xué)會(huì)看簡(jiǎn)單圖形，將簡(jiǎn)單圖形的畫法、基本特征、性質(zhì)銘記于心，逐漸養(yǎng)成在復(fù)雜圖形中尋找簡(jiǎn)單圖形，將復(fù)雜圖形分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形的習(xí)慣。

圖形的發(fā)展推進(jìn)了人類生活上產(chǎn)的進(jìn)程

就人類的發(fā)展而言。圖形的出現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于文字，而數(shù)學(xué)起源于人類生產(chǎn)生活的需要，“圖形與幾何”的產(chǎn)生就是源于面積測(cè)量的需要，相傳4000年前，古埃及的尼羅河每年洪水泛濫，淹沒兩岸的土地，也帶來肥沃的淤泥，洪水退后，土地的界線便不再分明，當(dāng)時(shí)的人們?yōu)榱酥匦聹y(cè)出被洪水淹沒的土地的界線，每年總要進(jìn)行土地測(cè)量，古埃及人積累了許多土地測(cè)量方面的知識(shí)，積淀了幾何學(xué)初步的豐富經(jīng)驗(yàn)。

我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究也有悠久的歷史，在公元前1000年前，我國(guó)處于黑陶文化時(shí)期，陶器上的花紋就有菱形、正方形等許多幾何圖形，公元前500年，在墨翟所著的《墨經(jīng)》里有幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，《九章算術(shù)》里記載了土地面積和物體體積的計(jì)算方法，《周髀算經(jīng)》里記載了直角三角形三邊之間的關(guān)系，這就是著名的勾股定理，也被稱為“商高定理”，祖沖之的圓周率也是著稱于世的，還有我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、王孝通等，都對(duì)幾何學(xué)做出了重大貢獻(xiàn)。

隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，幾何學(xué)的知識(shí)也越來越豐富，研究的方面也越來越多，因此，“圖形與幾何”是為了解決現(xiàn)實(shí)問題而存在的，對(duì)于我們的生活是必要的。

三、實(shí)現(xiàn)世界中存在多姿多彩的幾何圖形

幾何圖形是由現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)物抽象而來的，幾何圖形裝點(diǎn)著我們的大千世界，在現(xiàn)實(shí)世界中，存在著各種各樣的幾何圖形，有的是簡(jiǎn)單的幾何圖形，有的是由簡(jiǎn)單幾何圖形復(fù)合而成的復(fù)雜幾何圖形。

有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形，有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

我們生活的世界完全可以說是一個(gè)圖形的世界。圖2和圖3就是筆者在生活中拍攝的照片，從中可以發(fā)現(xiàn)很多的幾何圖形，其中，既有平面圖形也有立體圖形，例如，平面圖形：圓、長(zhǎng)方形、鈍角、直角等，立體圖形：球、圓臺(tái)等，你也可以試著找一找，看看還能找出哪些幾何圖形。

只要我們仔細(xì)觀察，認(rèn)識(shí)思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)幾何圖形無處不在。

幾何直觀能力是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力，借助于直觀形象的圖形，我們可以簡(jiǎn)捷明快地分析和解決數(shù)學(xué)問題，通過本章的學(xué)習(xí)，期望你初步認(rèn)識(shí)圖形，感受圖形世界的美妙，體會(huì)圖形世界的內(nèi)在規(guī)律——它們都是由一些基本圖形組成的。

當(dāng)然。僅僅找到它們是不夠的，我們更應(yīng)該去思考：用所學(xué)的幾何圖形知識(shí)，可以解決哪些問題呢？

四、動(dòng)手制作立體圖形，積累幾何操作的直接經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念

“圖形與幾何”的應(yīng)用之一就是設(shè)計(jì)制作文化用品和家居用品，這些物品是人們生活中必不可少的工具，它們?cè)趲臀覀兘鉀Q生活問題的同時(shí)也美化了生活環(huán)境，圖4、圖5是我們生活中常見的小家具——收納凳，它們既可以幫我們收納物品，也可以供人們休息。

原本一個(gè)收納用的箱子，經(jīng)人們稍加設(shè)計(jì)，就變得更有用了，現(xiàn)在市面上一般都是正方體的收納凳（圖4）和正八棱柱的收納凳（圖5），

1.發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，

能否用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)來開發(fā)出新樣式的收納凳呢？

我們一起來研究如何制作一個(gè)正五棱柱的收納凳。

2.提出數(shù)學(xué)問題，

將我們待解決的問題——“制作一個(gè)正五棱柱的收納凳”，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——“如何制作一個(gè)正五棱柱”。

3.分析問題，

觀察正五棱柱，它有什么樣的特點(diǎn)呢？可以發(fā)現(xiàn)正五棱柱的上表面和下表面是一樣的正五邊形，側(cè)面都是一樣的矩形，并且這些矩形都有一邊與正五邊形的邊長(zhǎng)相等。

4.解決問題。

（1）設(shè)計(jì)正五棱柱的展開圖，

不難分析，展開圖需要滿足這樣的條件：上表面和下表面至少要有一條邊與側(cè)面連接，而側(cè)面之間則不必完全連接。

正五棱柱的展開圖大致分為兩類：

當(dāng)側(cè)面都連在一起時(shí)，只要兩個(gè)一樣的正五邊形在側(cè)面所連成的大矩形的兩側(cè)即可（如圖6所示）：

當(dāng)側(cè)面和側(cè)面不連接在一起時(shí)，那么有一個(gè)正五邊形就會(huì)和每一個(gè)側(cè)面都連接，另一個(gè)正五邊形和其中的一個(gè)側(cè)面的矩形連接即可（如圖7所示）。

這兩類展開圖均可組成正五棱柱，

（2）任選一個(gè)第一步中可以組成正五棱柱的展開圖（如圖8），將展開圖按連接線折起，用膠粘住，一個(gè)正五棱柱就做好了。

5.幾何知識(shí)的拓展應(yīng)用。

經(jīng)過前面發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題四步，我們就能夠做一個(gè)正五棱柱了，細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，筆筒是生活中的物品，它與正五棱柱是有區(qū)別的，這就引起我們注意了，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活時(shí)，應(yīng)該根據(jù)具體情況做一些處理。

我們要做正五棱柱的收納凳，還要注意下面幾個(gè)問題。

（1）用一些承重能力強(qiáng)的材料，按照上面的步驟制作兩個(gè)不完整的正五棱柱（一個(gè)沒有下表面，另一個(gè)沒有上表面，并且沒有下表面的正五棱柱要比沒有上表面的正五棱柱大一點(diǎn)），我們就可以仿照制作正五棱柱的步驟去制作沒有上表面（或下表面）的正五棱柱。

（2）將這兩個(gè)不完整的正五棱柱套在一起。

（3）創(chuàng)意加工：給兩個(gè)不完整的正五棱柱先穿上“美麗的衣服”，然后進(jìn)行精心“化妝”、適當(dāng)鏤空，再加些小飾物，一個(gè)正五棱柱的收納凳就大功告成了。

能力拓展：經(jīng)歷了上面的過程，你不妨想一想圓柱體、正三棱柱、長(zhǎng)方體的收納凳或者筆筒應(yīng)該如何制作，利用類似的圖形，你還可以做什么樣的富有創(chuàng)意的小物品呢？

懂得了數(shù)學(xué)知識(shí)，我們也可以自己做各種有創(chuàng)意的家具了！只要認(rèn)真思考，數(shù)學(xué)會(huì)帶給我們無盡的驚喜！認(rèn)識(shí)和了解了幾何圖形之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)很有用，可以幫我們解決生活中的問題，能夠讓生活更美好，為我們的生活增光添彩。

同學(xué)們還能發(fā)現(xiàn)圖形的哪些應(yīng)用呢？

練一練

1.圖9、圖10、圖11可以折成什么樣的立體圖形呢？

2.圖12是正六棱柱的展開圖（不完整），如果要用這個(gè)展開圖折成一個(gè)正六棱柱，需要添上什么圖形，在哪添，共有幾種添法？

3.圖13是正六棱柱的展開圖（不完整），要補(bǔ)充完整，需要添上什么樣的圖形，可以添在什么位置上，共有幾種添法？

參考答案：

1.圖9：三棱錐；圖10：圓錐；圖11：正六棱柱。

2.添一個(gè)和圖12中一樣的正六邊形。共有6種添法，位置略。

3.需要添上和圖13中一樣的正六邊形，共有6種添法，位置略。