高考數(shù)學中關于數(shù)列問題與其他知識的結合分析

葉含福

摘 要：在高考數(shù)學中，數(shù)列是必考的重要知識點之一，并常以解答題的形式出現(xiàn)?；跀?shù)列本身豐富的知識結構，易與其他知識點達成有效的結合來提問。在具體的應用中，較為常見的有數(shù)列與函數(shù)、不等式及解析幾何的結合，本文就相關方面的具體例題進行系統(tǒng)解析，以發(fā)掘并總結個中的規(guī)律，為實際的備考提供借鑒。

近幾年的高考數(shù)學試題中，數(shù)列一般與函數(shù)、不等式及解析幾何等知識點進行有機融合來考查，這種考查方式無疑加大了試題的難度，對考生的解題能力有了更高的要求，乃至上升到理性思維的層面。

1.數(shù)列與函數(shù)的綜合考查

數(shù)列部分作為高考數(shù)學試題考查的重點內(nèi)容，其與函數(shù)的結合在近年來日益成為命題的熱點。數(shù)列從本質(zhì)上來講，也是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，作為一種自變量是正整數(shù)的函數(shù)呈現(xiàn)。對于數(shù)列這種特殊的函數(shù)涉及的問題的解答方式，需要同學們采用函數(shù)的思想去分析，對函數(shù)在該問題中的作用以及巧妙運用函數(shù)思維來解答是學生應當重點考慮的內(nèi)容。數(shù)列與函數(shù)的知識點相結合來考查的例子很多，較為典型的一種如下例1所示：

例1：已知函數(shù)f（x）=log2x-logx2

（02n（n∈N*），那么求數(shù)列{an}的通項公式。

解析：f（2 n）=log22 n-—= 2n= an-—=2n，即an-2nan-1=0，解得：

an=n±√n2+1。再根據(jù)0

0<2 n<1，那么an<0，an=n-√n2+1。

評析：這道題在結構的設計上較為靈活巧妙，以對數(shù)函數(shù)切入，結合數(shù)列與函數(shù)的相關內(nèi)容，系統(tǒng)考查學生的邏輯分析能力的同時，強調(diào)在解答數(shù)列問題的基礎上對方程與函數(shù)的綜合運用。

2.數(shù)列與不等式的結合運用

數(shù)列與不等式相結合在近幾年的高考數(shù)學中也是較為普遍的考查方式?；谝话銛?shù)列的知識點，與不等式相融合，來強化學生的推理能力，在題型的設計方面較函數(shù)類更加靈活，進一步考查學生在數(shù)列問題解答方面的綜合應用意識。較為常見的考查方式如下例2所示：

例2：已知等差數(shù)列{an}的前n項

和為Sn，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，

a7剛好構成一個等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列的前n項和Sn。

（2）設bn=—，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證2Tn-9bn-1+18> —（n>1）。

解析：（1）解（略）。

Sn=na1+—d=n+2n（n-1）=

2n2-n。

（2）把Sn的值代入到bn中，得bn=—=2n，所以，數(shù)列{bn}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列。

那么，Tn=—=n2+n。

所求的2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18（n-

1）+18=2（n-4）2+4≥4，并且只有當n=4時，等號成立。

把bn代入到不等式的右側(cè)，并化簡，

可得—≤—=4，只有當n=—，n=3時，等號成立，所以，要求證的不等式成立。

評析：這道題對于基本數(shù)列問題與不等式的結合來設計的考查內(nèi)容，是立足于等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎知識，加入不等式的相關思想，考查學生對基礎內(nèi)容的理解和具體應用。

3.數(shù)列與解析幾何的綜合應用

數(shù)列與解析幾何相關知識的糅合是近幾年高考數(shù)學解答題或壓軸題中較為常見的題型之一，從題型設計來看，對學生數(shù)學思想的應用的考查更為深刻。本文中給出了一個較為適用的題例如下所示：

例3：已知平面xOy上有點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），且對于自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=x2（x≥0）的圖像上，以點Pn為圓心的圓與x軸外切，且Pn與Pn+1又相外切。已知x1=1，且xn+1

解析：圓Pn的半徑rn=yn=xn。因為兩圓相外切，所以兩圓心的距離為兩半徑的和，再根據(jù)兩點間的距離公式并化簡可得：xn-xn+1=2xnxn+1。即—-—=

2（n∈N*）。

所以，數(shù)列{—}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，那么—=1+2（n-1），得：xn=—。

評析：這道題的設計中涉及較為繁復的知識點，在具體的解答過程中，學生應當充分運用數(shù)學思想來對待，首先將其作為一個數(shù)列的基本問題，將可變列的幾何屬性與相對應的數(shù)列本身的性質(zhì)相結合，然后通過適當?shù)淖冃魏娃D(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)列或解析幾何的問題，最后便可以根據(jù)已知條件進行進一步的求解。

綜上所述，數(shù)列在高考數(shù)學試題考查中的應用十分廣泛，本文只是選擇較為常見的三種數(shù)列與函數(shù)、不等式和解析幾何的綜合運用，熟練掌握數(shù)列問題的基本知識，學會運用數(shù)學思想來思考問題，對深入把握解答技巧的精髓十分重要。

參考文獻：

[1]錢繼兵.例談數(shù)列與其他知識的常見結合形式[J].數(shù)學學習與研究，2013（23）.

[2]呂佐良.聚集數(shù)列與其他知識的整合[J].試題與研究（高考），2013（29）.

（作者單位：重慶市綦江南州中學）