例談平面法向量的應(yīng)用

黃振東

【摘要】立體幾何是歷年來(lái)高考的必考題型之一，然而引入空間向量后，幾何已經(jīng)趨于代數(shù)化，它把數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想發(fā)揮得淋漓盡致。本文作者借助幾個(gè)教學(xué)案例，談?wù)勂矫娣ㄏ蛄吭诮膺@類問(wèn)題的方法，試圖用代數(shù)方法，去除繁雜的輔助線，探索出簡(jiǎn)潔、容易入手的解題方法。

【關(guān)鍵詞】空間直角坐標(biāo)系 平面法向量 距離 夾角

幾何發(fā)展的根本出路是代數(shù)化，引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的需要。大家知道，使用“形到形”的綜合推理方法學(xué)習(xí)立體幾何，對(duì)多數(shù)學(xué)生都是比較困難的，通過(guò)使用向量方法學(xué)習(xí)立體幾何，可使學(xué)生較牢固地掌握向量代數(shù)工具，從而豐富學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。這樣做不僅不會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，相反，由于學(xué)生掌握了一套有力的工具反而會(huì)降低學(xué)習(xí)的難度，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。因此在高中引進(jìn)向量的代數(shù)方法是比較自然的，也是必要的。下面是我在教學(xué)中一些體驗(yàn)，就是平面法向量在解決空間點(diǎn)、線、面的夾角和距離的應(yīng)用。

一、在空間中求點(diǎn)到平面的距離

例：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離。 z

分析：求點(diǎn)到平面的距離常見(jiàn)的有三種方法：一是 D1 C1

作出垂線段；二是用等積法；三是用向量的方法： F

設(shè)AP是平面α的一條斜線段，n是平面α的一 A1 B1 E

個(gè)法向量，則AP在n上射影的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平 D C y

面α的距離（P為斜足），本題用向量法可謂直接

了當(dāng)。 A G B

解： 如圖（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 x （1）

D-xyz 。由正方體棱長(zhǎng)為2知A（2，0，0）G（2，1，1）E（0，2，1）

F（1，0，2）則

設(shè)n=（x，y，z）是平面EFG的一個(gè)法向量，則

，

1. 求異面直線的距離

例：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2若M、N分別為DC，BB1中點(diǎn)，求異面直線MN與A1B間的距離。

分析：將MN與A1B的距離轉(zhuǎn)化為

的公共法向量上的射影長(zhǎng)，勿須找公垂線段，

方法令人耳目一新。 （2）

解：如圖（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz

因?yàn)镸，N為CD，BB1中點(diǎn)

所以M（3，2，0），N（0，4，1）

2. 求線面夾角問(wèn)題

例：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB= ，AA1=1，AD= ，E、F分別是AB，C1D1的中點(diǎn)，求直線A1B1與平面A1EF所成的角。

分析：本題可轉(zhuǎn)化為求向量 與面A1EF的

法向量所成的角再求其余角，而不必找線

面夾角的位置，可省去多條輔助線，

方法淺顯易懂。

解：如圖（3）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-XYZ

1. 求二面角

例：正三棱錐ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a，在BB1上截取BD=a，在CC1上截取CE=a，求截面ADE和底面ABC所成角的大小。

分析：本題可轉(zhuǎn)化為求平面ADE與平

面ABC兩法向量的夾角（同時(shí)應(yīng)判別該二面角

是鈍角或銳角，若夾角為0或 時(shí)，

平面ADE//平面ABC ），方法避免了尋找二

面角的平面角的繁雜過(guò)程，可謂簡(jiǎn)潔方便。

（4）

解：如圖（4）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

以上是筆者對(duì)平面法向量在立體幾何中的幾點(diǎn)應(yīng)用的看法，當(dāng)然平面法向量的功能是強(qiáng)大的，在解決許多具體問(wèn)題中發(fā)揮的很大的作用，希望讀者能提出更多好建議。勿庸置疑，向量法解立體幾何問(wèn)題，并不是完美無(wú)缺，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)較啰嗦的東西，對(duì)學(xué)生的空間想象能力是有礙的。因此我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中對(duì)解題方法應(yīng)權(quán)衡利弊，舍遠(yuǎn)求近，去繁求簡(jiǎn)，開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【參考文獻(xiàn)】：

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