求一類二重積分的新定理

朱章根

【摘要】重積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)其研究具有很重要的意義.很多學(xué)生對(duì)重積分理解得不夠透徹，利用一題多解的思維可以提升學(xué)生的思維發(fā)散能力，值得教師們借鑒.用三種不同的解法研究一類重積分的題目，并且將其推廣得出一個(gè)一般性的定理.定理敘述如下：

設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 存在，則

其中

關(guān)鍵詞：重積分 高等數(shù)學(xué) 積分計(jì)算

例1（北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題）：設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：

證法1 利用極坐標(biāo)，本題的關(guān)鍵，是把被積函數(shù)變化成所給等式左端的形式.在半徑為 的圓周 上運(yùn)用格林公式得

記 為半徑是r的圓周， 為 包圍的區(qū)域 ， ，于是上式的內(nèi)層積分，可看作是沿閉曲線 （逆時(shí)針方向）的曲線積分

于是有

由弧微分關(guān)系 ，且積分區(qū)域?yàn)? ，因而 相當(dāng)于沿著 的積分，積分方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.以此上式中的積分區(qū)域 相當(dāng)于 ，進(jìn)而可得

其中 為 在點(diǎn) 處的法線方向向量，因而上式相當(dāng)于沿著h點(diǎn)處法向量的積分.因此由格林公式可得

故

證法2 由格林公式，可導(dǎo)出二重積分的分部積分公式

和

其中Ω是一平面區(qū)域，?Ω為Ω的正向邊界

令A(yù)= ， ； ， 利用

上述公式，得到

.

由于在邊界?D上， ，所以

上式=

證法3 利用兩類曲線積分的關(guān)系，由第一類曲線積分與第二類曲線之間的聯(lián)系可得

，

上式中 分別為該曲線在 處的法線 與 軸以及 軸之間的夾角，又設(shè) 處的切線與x軸正向夾角為 ，則有

由前面的討論可知

上式中 相當(dāng)于 沿著與坐標(biāo)軸夾角為 的單位向量的方向?qū)?shù)并且其為 ，而 故

繼而可得

現(xiàn)在來討論這種一般形式的積分，可以得出一個(gè)基礎(chǔ)定理.

定理一：設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D： 上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 存在，則

其中

繼而可得

證明：

按照證法3的思路有

繼而可得

其中

求

例2：（全國大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題） 是 上二次可微函數(shù)， 滿足

，計(jì)算積分 .

解：根據(jù)定理一則

結(jié)語：本文研究一類基礎(chǔ)習(xí)題得出一個(gè)非常漂亮的定理，值得考研學(xué)生以及一線教師借鑒.關(guān)于數(shù)學(xué)解題方法是有限的但是對(duì)于學(xué)術(shù)研究卻是無限的.不少學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)表示頭大，提供多種解題方法可以加深對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方面的熱情.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分（下冊(cè)）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2009

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2010