基于變換映射的多關(guān)節(jié)機器人工作空間分析方法

許鈾 李杰浩

摘 要：多關(guān)節(jié)機器人在實際制造過程中往往呈非正交性，這為工作空間的精確描述增加了復(fù)雜性。該文提出了一種基于變幻映射的多關(guān)節(jié)機器人工作空間描述方法。通過分析不規(guī)則體在某一平面上的變換映射，可以獲得不規(guī)則體繞空間某一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時的截面邊界，利用該方式可以逐級求解多關(guān)節(jié)機器人的工作空間。對第一關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度達(dá)到2π的兩自由度空間機器人工作空間進(jìn)行了研究，利用變換映射的方法可以獲得兩自由度空間機器人工作空間截面。在兩自由度機器人工作空間基礎(chǔ)上采用變換映射以及集合的方式對第二關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度超過2π的三自由度空間機器人工作空間進(jìn)行了描述。并且通過仿真實驗證明該方法能有效、精確和快速地描述兩、三自由度空間機器人的工作空間，對實際多關(guān)節(jié)機器人工作空間的分析有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：多關(guān)節(jié)機器人 工作空間 變換映射

中圖分類號：TH115 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（c）-0087-03

多關(guān)節(jié)機器人是一種典型的工業(yè)機器人，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域[1-3]。在工作過程中，機器人工作空間大小決定了機器人的活動范圍，是衡量機器人工作能力的一個重要的運動學(xué)指標(biāo)。工作空間的研究方法大致可以分為三種：（1）幾何繪圖法；（2）解析法；（3）數(shù)值法。

幾何繪圖法得到的一般是工作空間的各類剖切面或剖切線。它直觀性強，可以顯示可達(dá)點出操作臂的位姿特征。針對多自由度空間機器人應(yīng)用圖解法，可將其關(guān)節(jié)進(jìn)行分解成若干個部分。文獻(xiàn)[4]對旋轉(zhuǎn)軸中心點到旋轉(zhuǎn)體的最大值和最小值進(jìn)行了定義，提出了在一個體空間內(nèi)，繞某一軸所成的空間內(nèi)任意一點的距離在某一軸到該體空間的距離最大值和最小值之間，并且對理想的IOR外科手術(shù)機器人的工作空間進(jìn)行了描述。文獻(xiàn)[5]采用幾何繪圖法對理想IRB1600D型六自由度弧焊工業(yè)機器人的工作空間進(jìn)行了描述，得到了機器人的工作空間剖面圖。該方法對于簡單的結(jié)構(gòu)表達(dá)簡單、可視化，但是對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，表達(dá)較為困難。

解析法也是工作空間分析中常用的一種方法。常采用雅克比矩陣降秩（Rank deficiency）時的特征加以分析。文獻(xiàn)[6]將某一坐標(biāo)系上的空間點的位置進(jìn)行了定義，當(dāng)該空間沿著另一坐標(biāo)系的某一點旋轉(zhuǎn)或者平移，會產(chǎn)生一個新的“掃描體”（Swept volumes），該“掃描體”上點的位置可以用矩陣方程表示。文獻(xiàn)[7]通過雅克比矩陣降秩對掃描體方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化從而確定邊界曲線/曲面的表達(dá)式。該方法可以用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的空間描述，但是分析過程比較復(fù)雜，計算量較大。

數(shù)值法主要是采用沿拓或者概率統(tǒng)計的方法。沿拓方法[8-9]是一種基于優(yōu)化求極值的方法，但是該方法并不直觀，而且在優(yōu)化過程可能出現(xiàn)一定的誤差；概率分布統(tǒng)計的方法主要是通過關(guān)節(jié)變量空間與操作空間的映射關(guān)系，將一定數(shù)量的關(guān)節(jié)變量通過蒙特卡羅的方法分布映射到工作空間當(dāng)中，再通過統(tǒng)計的方式得到工作空間的邊界曲線，如文獻(xiàn)[10]對三維機器人工作空間進(jìn)行了分析，這種方法雖然易于理解和應(yīng)用，但是無法一次性求得工作空間的邊界點，而且還會產(chǎn)生空間內(nèi)部大量的數(shù)據(jù)點，還需對工作空間內(nèi)部數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，運算量較大。

為了避免描述工作空間時產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)、提高計算效率，文中采用變換映射的方式來描述多關(guān)節(jié)機器人工作空間，并且采用該方式對第一關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度為360°的兩自由度、第二關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度為360°的三自由度空間機器人工作空間進(jìn)行了描述。

1 旋轉(zhuǎn)變換映射模型

求解某一不規(guī)則空間繞著某一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的一個新的空間是求解多關(guān)節(jié)機器人工作空間經(jīng)常遇到的問題。如果知道不規(guī)則空間繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時所成的截面曲線表達(dá)式，那么往往只需要求解不規(guī)則空間在旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的始末端的空間，以及由截面曲線沿著旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)包圍所成的空間。其中，求解不規(guī)則空間繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時截面曲線表達(dá)式，是該問題求解一個關(guān)鍵點。如圖1所示，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸做一平面γ，不規(guī)則空間上某一點P，其在該平面內(nèi)的投影P的坐標(biāo)為（xP，yP），可以求得點經(jīng)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后在平面內(nèi)的軌跡P的坐標(biāo)為 （xP，yP）：

（1）

因此，通過式（1）可以計算不規(guī)則空間表面上任何一點在旋轉(zhuǎn)面γ上的位置，進(jìn)而獲得不規(guī)則空間繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時的截面數(shù)據(jù)。由此可以構(gòu)建不規(guī)則空間相對旋轉(zhuǎn)面的變換映射關(guān)系。

對于第一關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度為360°的兩自由度、第二關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度為360°的三自由度空間機器人，該方法在可以令其工作空間的求解得以簡化，提高工作空間的求解效率。本文章節(jié)2將利用該方法分別對兩自由度、三自由度空間機器人工作空間的求解進(jìn)行詳細(xì)的討論。

2 兩自由度、三自由度空間機器人工作空間求解模型

2.1 兩自由度空間機器人工作空間求解模型

兩自由度空間機器人示意圖如圖2所示，桿件OiP能繞著點Oi旋轉(zhuǎn)，桿件OiOi-1繞著軸Oi-1Os旋轉(zhuǎn)，軸OiOi-1與軸Oi-1Os之間的距離為Δk，|OiP|=Li，兩旋轉(zhuǎn)軸之間的夾角為ai，假設(shè)桿件OiP繞著軸OiOi-1旋轉(zhuǎn)到最高端的位置為Ph，作OiP的旋轉(zhuǎn)平面OiPhPs與平面OiOi-1Os之間的交點為Ps。

如圖3所示，假設(shè)旋轉(zhuǎn)軸OiOi-1的最大旋轉(zhuǎn)角度為θai+Δθ1i+Δθ2i，其中，θai根據(jù)最高點Ph兩端對稱，Δθ1i、Δθ2i分別為兩端不對稱的角度偏移量。

以O(shè)i-1為原點、Oi-1Os為Z軸建立柱坐標(biāo)系Oi-1-RZθ i-1，可以通過本文第1章所闡述的方法求解兩自由度空間機器人的工作空間截面表達(dá)式f（ri，zi），即桿件OiPs繞軸OiOi-1旋轉(zhuǎn)時在面OiOi-1Os上所產(chǎn)生的投影。

2.2 三自由度空間機器人工作空間求解模型

在求解三自由度空間機器人的時候，可以如圖4所示先求解后面兩個關(guān)節(jié)所成的工作空間，利用變換映射的方法求解后面兩個關(guān)節(jié)所成的工作空間繞第一關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)得到的運動軌跡截面，再同后兩個自由度工作空間在第一關(guān)節(jié)始末位置所成的空間進(jìn)行并集運算，即構(gòu)成了三自由度機器人工作空間V3space。

一般地，三自由度空間機器人最后一個關(guān)節(jié)的角度最大旋轉(zhuǎn)角度小于π。因此在求解后兩個關(guān)節(jié)的工作空間時，根據(jù)兩個旋轉(zhuǎn)軸之間的距離Δki和夾角|ai|進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求解三自由度機器人后兩個關(guān)節(jié)工作空間繞著第一關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)所成的空間截面表達(dá)式S（r1，Z1），再通過變換映射的方法獲得三自由度空間機器人工作空間V3space。

3 實驗研究

為驗證算法的可行性，分別對一個三自由度的空間機器人進(jìn)行了仿真，其每個關(guān)節(jié)零位時的構(gòu)型如圖5所示，DH參數(shù)值如表1所示。

采用本文的方法在Matlab上對其工作空間進(jìn)行仿真。可以獲得第三關(guān)節(jié)的工作空間曲線在第一關(guān)節(jié)柱坐標(biāo)系下RZ平面的投影如圖6所示。

根據(jù)上述方法，第三、第二關(guān)節(jié)所產(chǎn)生的工作空間V2space如圖7所示。

V2space在第一旋轉(zhuǎn)軸始末位置（θ1=0以及θ1=150°時）的空間在Matlab上顯示如圖8所示。

根據(jù)本文算法，三自由度機器人工作空間V3space的描述如圖9所示。

通過實驗表明，根據(jù)本文的方法，可以精確、快速地獲得二自由度、三自由度空間機器人的工作空間。

4 結(jié)語

該文描述了不規(guī)則體繞空間某一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時，不規(guī)則體表面上任一點在旋轉(zhuǎn)面上的變換映射關(guān)系。通過該方法，對第一關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度超過2π的二自由度空間機器人的工作空間截面曲線進(jìn)行了表達(dá)。針對第二關(guān)節(jié)最大旋轉(zhuǎn)角度超過2π的三自由度空間機器人，在二自由度空間機器人工作空間的基礎(chǔ)上，結(jié)合變換映射以及集合的方法，對其工作空間進(jìn)行了表達(dá)。通過試驗表明，該方法計算量少，能準(zhǔn)確、快速地描述二、三自由度空間機器人的工作空間，可以為實際機器人的操作、設(shè)計提供一定的參考。

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