有理系數(shù)多項式在Q上的可約性研究

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【摘要】有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域Q上的可約性判別是一個比較復(fù)雜的問題.本文從有理系數(shù)多項式的次數(shù)n出發(fā)，利用Eisenstein判別法及其推廣形式，例談了有理系數(shù)多項式在Q上的可約性問題.

【關(guān)鍵詞】有理數(shù)域多項式；Eisenstein判別法；素數(shù)；可約性

一、引言

多項式是大學線性代數(shù)課程中不可缺少的重要內(nèi)容之一，有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域Q上的可約性問題更是多項式這部分的重點，也是學生學習的難點.原因其實很簡單： 在有理數(shù)域Q上，一方面存在任意次數(shù)的不可約多項式，另一方面沒有一個統(tǒng)一有效的方法來研究Q上有理系數(shù)多項式的可約性.本文將以Q上有理系數(shù)多項式的次數(shù)為主線，借助Eisenstein判別法及其推廣形式，針對不同的情形，通過若干具體的例子，來闡述Q上有理系數(shù)多項式的可約性問題.

有理數(shù)域上次數(shù)大于等于1的多項式f（x）稱為Q上的不可約多項式，如果它不能表示成有理數(shù)域Q上的兩個次數(shù)比f（x）的次數(shù)低的多項式的乘積.否則，則稱多項式f（x）在有理數(shù)域上可約.眾所周知，對有理系數(shù)多項式f（x），如果其系數(shù)不全是整數(shù)，那么以f（x）的系數(shù)的分母的一個公倍數(shù)k乘以f（x），就得到一個整系數(shù)多項式f（x）.顯然，多項式f（x）與f（x）在Q上同時可約或同時不可約.因此，我們只需討論整系數(shù)多項式在Q上的可約性問題.