引入數(shù)學(xué)實驗的概率統(tǒng)計課程的兩種教學(xué)模式的探討

黃曉梅 李建耀

【摘要】在概率統(tǒng)計教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實驗是目前高等學(xué)校概率統(tǒng)計教學(xué)的趨勢，本文研究和探討了引入數(shù)學(xué)實驗后的概率統(tǒng)計教學(xué)的兩種模式：驗證模式和探索模式.結(jié)合具體教學(xué)案例，文中給出了兩種模式的實施過程，并分析了這兩種模式對學(xué)生學(xué)習(xí)效果帶來的影響.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗教學(xué)；概率統(tǒng)計；教學(xué)模式

【中圖分類號】O211；G640【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

本文得到江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究省級課題立項資助.（課題編號：JXJG-13-2-14）

一、引言

隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，將基于數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)實驗引入傳統(tǒng)概率統(tǒng)計課堂已成為廣大高校教師的共識.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，按照“定義→定理→推導(dǎo)→結(jié)論→應(yīng)用”模式組織教學(xué)，該模式在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理、復(fù)雜計算等方面的數(shù)學(xué)能力有其特有的優(yōu)勢，但也存在抽象、枯燥、與實際聯(lián)系不足等問題.數(shù)學(xué)實驗的引入使數(shù)學(xué)課堂變得更加生動有趣，能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，在培養(yǎng)學(xué)生興趣，尤其是運(yùn)用計算機(jī)解決實際問題的能力方面有著不可替代的優(yōu)勢，因此數(shù)學(xué)實驗是傳統(tǒng)課堂教學(xué)有益且必要的補(bǔ)充.目前關(guān)于概率統(tǒng)計課程如何實施數(shù)學(xué)實驗已開展了不少研究工作.其中，馬淑蘭研究了引入實驗后教師和學(xué)生的角色定位問題；孫蕾、莫達(dá)隆等給出了適合實驗教學(xué)的具體案例，劉銘等構(gòu)建了實驗教學(xué)體系.本文嘗試從教學(xué)模式角度，研究了引入數(shù)學(xué)實驗后概率統(tǒng)計課堂教學(xué)應(yīng)該如何開展，分析了各種教學(xué)模式的特點與優(yōu)點，并給出具體案例進(jìn)行說明.

二、數(shù)學(xué)實驗的目的與作用

關(guān)于開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的目的，不同高校有不同的側(cè)重點.李尚志教授認(rèn)為數(shù)學(xué)實驗的目的是從問題出發(fā)，借助計算機(jī)，通過學(xué)生親自設(shè)計和動手，體驗解決問題的過程，從實驗中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.其作用是“開胃湯”，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的興趣和愿望.清華大學(xué)姜啟源教授則把數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模結(jié)合在一起，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)軟件做實驗，學(xué)習(xí)解決實際問題的數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)興趣、意識和能力.這兩種觀點，前者偏重于激發(fā)興趣、培養(yǎng)探索和研究精神，后者偏重于學(xué)習(xí)軟件技術(shù)和數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)解決實際問題的能力.

三、教學(xué)模式探索

基于上述目的，結(jié)合教學(xué)實際，筆者認(rèn)為在傳統(tǒng)概率統(tǒng)計課堂中引入數(shù)學(xué)實驗可以有以下兩種基本的教學(xué)模式.

1.驗證模式

驗證模式是指在講授新課后，通過數(shù)學(xué)實驗進(jìn)一步驗證所學(xué)知識的原理和問題結(jié)論的正確性、或?qū)δ骋怀橄罄碚摻o出具體形象的演示.其流程如圖1所示.

圖1驗證模式流程圖

這種實驗?zāi)Ｊ降慕虒W(xué)效果是可以加深學(xué)生對抽象理論知識的理解，減少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.下面舉例說明這一模式的具體實施.

案例1各種常見概率分布圖形

在介紹概率統(tǒng)計常見分布時（如二項分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等），常需要在黑板上畫出各分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)曲線圖形，并分析各參數(shù)對函數(shù)曲線圖形的影響.在理論分析完畢后，可以引入數(shù)學(xué)實驗.如，借助Matlab數(shù)學(xué)軟件提供的disttool指令.該指令會彈出一個常見概率分布的交互式界面，該界面上提供了20種常見分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)曲線的圖形，對每種分布圖形，可以通過改變界面上的參數(shù)設(shè)置，動態(tài)、直觀地感受參數(shù)對函數(shù)曲線的影響.操作簡便，省時省力.

案例2頻率的穩(wěn)定性與波動性

在解釋頻率的穩(wěn)定性與波動性概念時，通常做法是以歷史上多位數(shù)學(xué)家做過拋硬幣的實驗為例，讓學(xué)生閱讀教材上列舉的實驗結(jié)果.這樣的方式非?？菰?，遠(yuǎn)不如親自實驗來得生動有趣.例如，可以利用Matlab編程語言編制一個程序，模擬投硬幣的過程，在此過程中讓學(xué)生一次次地增加拋硬幣的次數(shù)，觀察每次實驗正面朝上的頻率.通過實驗，學(xué)生自然對什么是頻率的穩(wěn)定性與波動性有了深刻的理解.由于獲取知識的過程是學(xué)生主動參與，獲得的知識又是具體直觀的，于是學(xué)生對此類知識印象深刻，不易遺忘.

案例3蒙特卡羅方法計算定積分

蒙特卡羅方法是利用概率統(tǒng)計方法來進(jìn)行數(shù)值計算的方法.其理論依據(jù)之一是大數(shù)定律.課堂上在講授完大數(shù)定律之后，可以介紹蒙特卡羅方法計算定積分.首先介紹蒙特卡羅方法的思想，推導(dǎo)出計算公式.然后再利用數(shù)學(xué)軟件在計算機(jī)上模擬該方法的實現(xiàn).學(xué)生通過該實驗一方面加深了對大數(shù)定律的理解，了解了大數(shù)定律的應(yīng)用；另一方面拓展了知識面，學(xué)習(xí)到概率統(tǒng)計在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用.

2.探索模式

探索模式是指在講授新課之前，利用計算機(jī)軟件創(chuàng)設(shè)出問題情境，學(xué)生通過實驗觀察實驗結(jié)果，對潛在的數(shù)學(xué)規(guī)律給出猜想，再通過數(shù)學(xué)理論的分析及證明，給出支持或否定該猜想的論證，最后得出結(jié)論.其流程如圖2所示.

圖2探索模式的教學(xué)流程

這種實驗?zāi)Ｊ绞孪炔唤o出相應(yīng)的理論和結(jié)論，而是通過實驗，讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的愿望.學(xué)生在此過程中獲得的是探索數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗和樂趣，對理論的學(xué)習(xí)從被動變?yōu)橹鲃樱瑥牟恢渌匀坏街渌匀?，學(xué)習(xí)的效果無疑大大增強(qiáng)了.這種實驗?zāi)Ｊ襟w現(xiàn)的是歸納法教學(xué)的教育思想.

案例4中心極限定理

中心極限定理因為其內(nèi)容的抽象性是概率統(tǒng)計課程教學(xué)的一個難點.在講授該定理前，可以先做幾個實驗，讓學(xué)生觀察實驗的結(jié)果，對實驗結(jié)果給出自己的猜想.在激發(fā)學(xué)生求知欲望的基礎(chǔ)上，引出定理的介紹，然后用該定理對實驗結(jié)果進(jìn)行證明，對實驗現(xiàn)象進(jìn)行解釋.本文總結(jié)出以下三個可以借鑒的實驗.

第一個實驗是經(jīng)典的高爾頓釘板實驗.通過計算機(jī)軟件編制程序，模擬圓珠落地所堆成的曲線的形狀.同時程序提供參數(shù)，可以改變釘板上釘子的排數(shù)以及圓珠向左或向右滾動的概率.學(xué)生通過大量的實驗，觀察上述操作帶來的曲線形狀的變化，猜想出圓珠落地坐標(biāo)所服從的概率分布.

第二個實驗是投擲骰子實驗.利用數(shù)學(xué)軟件模擬同時投擲n顆骰子，計算出投擲后所得n顆骰子的點數(shù)之和，繪出點數(shù)之和的分布曲線圖，通過改變n，猜想點數(shù)之和服從的概率分布.

第三個實驗是在區(qū)間[0，1]內(nèi)產(chǎn)生n個服從均勻分布的隨機(jī)變量的值，計算這n個隨機(jī)變量的和，繪出這個和的分布曲線圖，通過逐漸增大n，猜想這個和服從的概率分布.

通過上述實驗，學(xué)生容易給出猜想：上述實驗中涉及的問題服從的分布似乎都是正態(tài)分布.接下來自然會產(chǎn)生愿望去尋求解釋這一現(xiàn)象的原因.此時，教師給出中心極限定理的介紹，然后讓學(xué)生自己用中心極限定理對上述猜想進(jìn)行論證與說明，最后得出上述實驗現(xiàn)象的解釋.相信這樣一堂課后，學(xué)生對中心極限定理會有深刻的理解和印象，同時也體會到探索發(fā)現(xiàn)并證明的樂趣.

四、結(jié)論

本文結(jié)合具體案例，探討了概率統(tǒng)計課堂引入數(shù)學(xué)實驗后的兩種教學(xué)模式，一是驗證模式，二是探索模式.通過上述研究，可以發(fā)現(xiàn)引入數(shù)學(xué)實驗后的概率統(tǒng)計教學(xué)比傳統(tǒng)教學(xué)更能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)到的知識更具體生動、貼近實際.在實施數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)過程中值得注意的是，傳統(tǒng)課堂的主導(dǎo)地位不可動搖.要避免出現(xiàn)過度依賴數(shù)學(xué)軟件，用直觀形象代替抽象理性思維的傾向.此外，在課時有限的條件下，理論教學(xué)與實驗教學(xué)的課時如何分配，教材各知識點如何組織，也有待進(jìn)一步深入研究.

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