微分幾何教學(xué)嘗試

陶詔靈 高亞靜 劉雨田

摘 要：微分幾何是運(yùn)用微積分的理論研究空間的幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。文中基于微分幾何教學(xué)實踐，倡導(dǎo)依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時間采用不同的教學(xué)方法與模式。舉例說明信息技術(shù)促進(jìn)微分幾何教學(xué)理解，嘗試、期盼信息技術(shù)優(yōu)勢與傳統(tǒng)教育模式的深度融合，努力進(jìn)行敏捷的全要素配合，力求更好地傳遞出正能量。通過“簡化”微分幾何的知識結(jié)構(gòu)，“美化”微分幾何教學(xué)，加強(qiáng)知識的橫向與縱向類比與對照，以期在為學(xué)生們提供優(yōu)質(zhì)服務(wù)的同時實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

關(guān)鍵詞：微分幾何 教學(xué)模式 教學(xué)方法 教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號：G42 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（c）-0162-02

Differential Geometry Teaching Experiment

Tao Zhaoling Gao Yajing Liu Yutian

（School of Mathematics & statistics， Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing Jiangsu，210044，China）

Abstract：Differential geometry， one of the branches of mathematics，apply the theory of differential and calculusto study space geometric properties.Advocated in this paper，what different teaching methods and modelsare adoptedare based on the differential geometry teaching practice which is according to different teaching content and teaching time.Illustrating the information technologypromote teaching understanding on differential geometry.Looking forward to the deeply integrate about the advantage of information technology and traditional education.Trying toagile match the total factor and strive to convey the positive energybetter.By "simplified" differential geometry knowledge structure and "beautification"differential geometry teaching， strengthen the transverse and longitudinal comparison and contrast of the knowledge.Expecting toprovide the high-quality service for the students and achieve the improvement of teaching quality at the same time.

Key Words：Differential geometry；Teaching mode；Teaching method；Quality of teaching

微分幾何是微積分在幾何中的應(yīng)用。求曲線在一點(diǎn)的切線，相當(dāng)于求函數(shù)在一點(diǎn)的微分，而要給出閉曲線所圍區(qū)域的面積，就歸結(jié)為求積分，但是物理世界的曲線、曲面是異常復(fù)雜的，反過來又向整個數(shù)學(xué)提出許多重大問題。作為微分幾何學(xué)入門的本科微分幾何課程，充分展示著數(shù)與形的奇妙結(jié)合，成為學(xué)生了解近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個有效途徑，是學(xué)習(xí)更高級知識的橋梁， 其在學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)、思維品質(zhì)提高以及后續(xù)高級課程學(xué)習(xí)等方面都具有重要作用。

為了提升微分幾何的教學(xué)質(zhì)量，努力進(jìn)行全要素配合，力求更好地為學(xué)生服務(wù)。挖掘、整合微分幾何的知識內(nèi)涵，“簡化”微分幾何的知識結(jié)構(gòu)，多角度、多形式、多層面地梳理微分幾何的知識框架，突出其間的幾何與分析特征，加強(qiáng)知識的橫向與縱向類比與對照；“美化”微分幾何教學(xué)，把相關(guān)知識進(jìn)行深層加工和梳理，以易于被學(xué)生認(rèn)識與接受的審美信息形式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)美、體會美，喚起學(xué)生的靈動感與主動性，激發(fā)學(xué)生健康向上的數(shù)學(xué)審美意識，巧妙降低課程的枯燥程度，提高學(xué)生對微分幾何的認(rèn)識，以提升微分幾何的教學(xué)效果。

1 教學(xué)過程、教學(xué)方法與模式

教學(xué)過程中力求多種教學(xué)模式、教學(xué)方法的靈活交替或轉(zhuǎn)換。依據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時間的不同采用不同的教學(xué)方法與模式。如，國慶臨放假前的那次課，設(shè)計一堂復(fù)習(xí)課，實現(xiàn)全覆蓋新學(xué)期以來的知識點(diǎn)，稍稍重視一下趣味性，同時采用互動的形式完成課堂內(nèi)的練習(xí)，可以說足以讓愿意投入其中的學(xué)生們在小長假之后對那時課程的主要內(nèi)容絕對留有較深的印象。又如，活動標(biāo)架的建立往往需要鋪墊的時間多一點(diǎn)，教師需要做的也要耐心細(xì)致點(diǎn)。但在學(xué)習(xí)基本三棱形之后，伏雷內(nèi)公式的導(dǎo)出完全可以交由學(xué)生來做。雖然學(xué)生們對向量的數(shù)量積、向量積和混合積等算不上熟練，但只要加以引導(dǎo)，自己推導(dǎo)的效果比教師推理的好很多，而且正好有利于學(xué)生將來更好地運(yùn)用向量的運(yùn)算和導(dǎo)出的公式，隨后欣賞起其間的反對稱美來也更具自豪感。

作為愉快教學(xué)方式的擁戴者，我們也進(jìn)行了相關(guān)嘗試。一般選擇輕音樂，播放時間則往往是課間或者音樂伴隨圖片展示飄出。幾何自然是與圖形不分離的。大自然中攀緣植物的形態(tài)、上海中心大廈的螺旋梯等讓我們學(xué)習(xí)起圓柱螺線來更覺得踏實。憑著信息社會的優(yōu)越，依靠網(wǎng)絡(luò)，我們不僅能欣賞生物化學(xué)的DNA雙螺線圖形；而且還能全方位感受與DNA結(jié)構(gòu)相似的世界上首座曲線橋，新加坡的螺旋人行天橋，那充溢著未來感的設(shè)計無疑讓觀者感受到幾何的生命力。

微分幾何無時無處不在向人們展示著其巨大的魅力。生活的世界中，存在著各種各樣的光滑曲線和曲面，以及眾多的賞心悅目的藝術(shù)幾何造型。我們當(dāng)然不能忽略它們的作用。為了更好地理解曲面，結(jié)合線上線下實際，我們展示了一些著名的標(biāo)志性建筑，其中涉及迪拜大廈、臺北的國際金融中心大廈、上海的中心大廈與金茂大廈、深圳的帝王大廈；馬來西亞首都吉隆坡的雙子塔、在建的武漢CBD雙子塔、正在興建的廈門雙子塔的設(shè)計圖、珠江新城中帶有遺憾的建筑——中軸線上不對稱的廣州“雙子塔”、毀于“911”的紐約雙子星。

對于重要的概念，如曲率，正常教學(xué)之外，我們提及了激光近視手術(shù)。或許因為班上近視的同學(xué)不少，學(xué)生們對它的興趣遠(yuǎn)超出想象，比起講述那是研究靜電場中某些問題的一個有力工具吸引力大多了。又如，關(guān)于切觸這個概念，我們談起鞋的磨腳問題，聊起了后跟貼等。原來，微分幾何真的離我們很近很近。

體會“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合，“理論”與“應(yīng)用”的有機(jī)結(jié)合，自然有利于促進(jìn)學(xué)生們在邏輯思維能力與直覺思維能力的全面發(fā)展。

當(dāng)然，正常的教學(xué)要求、教學(xué)內(nèi)容也是不能忘的。簡單而言，教學(xué)內(nèi)容就是如下兩個基本問題。

正問題： 曲線/曲面特征指標(biāo)內(nèi)蘊(yùn)量；

反問題： 基本不變量曲線/曲面的設(shè)計與構(gòu)造曲線/曲面基本定理。

問題、知識都是由人發(fā)現(xiàn)的。相關(guān)科學(xué)家自然也不能被忽略。歐拉、蒙日、高斯、黎曼、克萊因、嘉當(dāng)；蘇步青、陳省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分幾何無疑有著悠久的研究歷史、曲折的發(fā)展過程。在教學(xué)中，我們也注重學(xué)科發(fā)展簡史、重要?dú)v史人物和重要?dú)v史進(jìn)程的簡介。介紹知識點(diǎn)結(jié)合與之相關(guān)的數(shù)學(xué)家及其成就，以及有關(guān)理論在歷史上的發(fā)展情況，幫助學(xué)生了解國內(nèi)國際微分幾何學(xué)以及微分幾何學(xué)者們的成長與發(fā)展；開闊知識面、增加學(xué)習(xí)的興趣、體會各知識點(diǎn)所傳遞的思想以及它們之間的有機(jī)聯(lián)系。而且，許多數(shù)學(xué)家曲折的人生經(jīng)歷、孜孜以求的科研奮斗精神，無疑會對學(xué)生產(chǎn)生積極的人格影響。因此，若聯(lián)系新常態(tài)，這必然會促進(jìn)學(xué)生們在知識與技能、情感態(tài)度與價值觀等方面的和諧發(fā)展。

教學(xué)過程中，我們也力求實現(xiàn)學(xué)科間的橫向溝通與縱向聯(lián)系，實現(xiàn)信息技術(shù)優(yōu)勢與傳統(tǒng)教育的深度融合，努力構(gòu)建以學(xué)生為中心的教學(xué)模式。因而努力抓常、抓細(xì)，力求持久地抓住知識信息間的聯(lián)系。鼓勵學(xué)生運(yùn)用Matlab、Maple等軟件進(jìn)行學(xué)習(xí)，希望能更上一層樓。

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