多項式相乘的矩陣形式

黃嘉威

【摘要】本文把多項式相乘的過程分解為矩陣形式，簡化多項式相乘的運算.并引進從給定條件把矩陣簡化為方陣的方法，使得分母有理化和極小多項式問題一般化.

【關(guān)鍵詞】多項式；分母有理化；極小多項式

1.多項式相乘的矩陣形式

（ax+b）（cx+d）=acx2+ad+bcx+bd就是一個多項式相乘的簡單例子.雖然多項式相乘可以用卷積來計算，可是卷積的性質(zhì)還是沒有矩陣那么好.

（ax+b）（cx+d）=acx2[]+bcx+adx+bd=x2x1a0ba0bcd.

如是者不管兩個多項式有多長，都能分解成三個矩陣的乘積.

ax2+bx+cdx+e=x3x2x1a0bacb0cde.

以下會用到矩陣的逆和特征多項式來求解問題，但是用到這些性質(zhì)之前先把矩陣化成方陣.這里首先說明矩陣上消元的方法.這相當(dāng)于在x2=2時，

把（ax+b）（cx+d）=ad+bcx+bd+2ac也表達成矩陣乘積的問題.

x2x1a0ba0bcd=x1ba0+2ab+2×0cd=x1ba2abcd=x1bc+ad2ac+bd.

我們看到第二步已經(jīng)把中間的矩陣化為方陣，最后算出來的與結(jié)果一致.

2.分母有理化

將11+232+334表為1，32，34的線性組合.對于這個問題在《近世代數(shù)》中提供了四種解法，當(dāng)中用了輾轉(zhuǎn)相除法、待定系數(shù)法、線性方程組求解.其中解2不能避免多項式相乘的復(fù)雜運算.[1]以下用書中的解2求解上述問題.

a3=2，1+2a+3a2x+ya+za2=1，則x+ya+za2為問題所需要的解.

1aa2a3a4100210321032003=1aa2a3100216321032=1aa2164216321.于是就得到解2中的線性方程組，求解之，問題就解決了.這里就用到了矩陣的逆.

1aa2164216321xyz=1aa2100，

xyz=164216321-1100=-18911161.

此解法也適用于書[1]中的例7，即a3=a-1，8+6a+a2x+ya+za2=1.

800-6801-6801-6001→800-68-11-6901-6→8-16-69-71-69，8-16-69-71-69-1100=1427394727x+ya+za2=142739+47a+27a2.

于是對于分母有理化問題就轉(zhuǎn)化成了求多項式相乘方陣的逆的問題.

3.極小多項式

這里先引入一個簡單的問題：若x2+ax+b=0，u=cx+d，構(gòu)造u的極小多項式.

假設(shè)關(guān)于u的方程有u1=cx1+d，u2=cx2+d兩個解.

u1=cx1+d，u2=cx2+d.u1+u2=c（x1+x2）+2d=2d-ac.u1u2=（cx1+d）（cx2+d）=c2x1x2+cd（x1+x2）+d2=bc2-acd+d2.

關(guān)于u的方程為u2+ac-2du+bc2-acd+d2=0，方程左邊就是極小多項式.

如是者，所有關(guān)于u的基本對稱多項式都要求出來，這樣會很麻煩.但事實上，只需要計算u在多項式相乘時的方陣，并求出其特征多項式，問題就一下子解決了.

c0dc0d→d-acc-bcd，

λ-d-ac-cbcλ-d=λ2+2d-acλ+d2-acd+bc2.

以下證明：設(shè)x為多項式方程的根，u（x）在多項式相乘時的方陣為U，U的特征多項式為fλ，則fu（x）=0.

對∑n-1r=0k2，rxr=u（x）∑n-1r=0k1，rxr進行矩陣分解：

xn-1xn-2…1k2，n-1k2，n-2…k2，1T=xn-1xn-2…1Uk1，n-1k1，n-2…k1，1Tu（x）=u（x）×1，u（x）2=u（x）×u（x），u（x）m=u（x）×u（x）m-1，如此類推：

u（x）m=xn-1xn-2…1Um00…1T

設(shè)U的特征多項式為fλ=∑nm=0cmλm，則有fU=∑nm=0cmUm=0.

fu（x）=∑nm=0cmu（x）m=xn-1xn-2…1∑nm=0cmUm00…1T=0.

問題得證，于是通過特征多項式就能構(gòu)造出一個關(guān)于u的方程.這個方程不一定是極小的，但一般都是極小的.

再以書[1]中習(xí)題5-3第4題為例：設(shè)a是x3-2x+2的根，求a2-1的極小多項式.

100010-1010-1000-1→010101-2-1000-1→101-2100-2-1，λ-10-12λ-1002λ+1=λ3-λ2-λ-3結(jié)果就是a2-13-a2-12-a2-1-3=0.

于是對于極小多項式問題就轉(zhuǎn)化成了求多項式相乘方陣的特征多項式的問題.

【參考文獻】

[1]韓士安，林磊.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.