找準(zhǔn)接榫點，巧解綜合題

懷鐵燕

【摘要】“彼節(jié)者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣”解題也有此理，數(shù)學(xué)知識之間具有縱向的聯(lián)系，這些知識雖同屬不同分支，但可以依靠知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系實現(xiàn)整合，在綜合題所呈現(xiàn)的知識網(wǎng)的“榫卯”處加強(qiáng)認(rèn)知，可化解難點，提高學(xué)生解題能力.一、分解組裝，暴露接榫點，感受綜合題目的形成過程；二、整體呈現(xiàn)問題，挖掘接榫點，形成解析策略

【關(guān)鍵詞】知識接榫點；分解組裝；整體認(rèn)知

榫指框架結(jié)構(gòu)兩個或兩個以上部分的接合處，凹凸咬合渾然天成.數(shù)學(xué)知識之間具有縱向的聯(lián)系，這些知識雖同屬不同分支，但可以依靠知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系實現(xiàn)整合.數(shù)學(xué)的綜合題就是打破章節(jié)界限，跨越兩個或幾個知識塊，需要一定的計算和推理才能解決的問題，注重考查數(shù)學(xué)知識的整體性，考查綜合運用知識的能力和遷移能力是主要出發(fā)點.因此在綜合題所呈現(xiàn)的知識網(wǎng)的“榫卯”處加強(qiáng)認(rèn)知，可化解難點，提高學(xué)生解題能力.

一、分解組裝，暴露接榫點，感受綜合題目的形成過程

當(dāng)各種綜合題琳瑯滿目的出現(xiàn)在學(xué)生面前，應(yīng)接不暇、束手無策、避之不及是自然反應(yīng).展示問題的組成過程，可以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會出題的規(guī)律，分解出基本知識點，解開神秘面紗.

例1如右圖所示正方形加兩條垂線段所形成的“K”型全等是非?；镜膸缀螆D形，經(jīng)常利用同角的余角相等形成AAS來產(chǎn)生OF=BO+OA等一些數(shù)量關(guān)系.如果教師在挖掘問題的深度可以預(yù)想到提問：點C到線段OF，OB的距離？便可以引入兩種常見輔助線重構(gòu)“K”型全等或“旋轉(zhuǎn)式全等”達(dá)到線段轉(zhuǎn)移來獲解問題答案.如下圖：

圖1

圖2圖3

這時BO與OF的垂直關(guān)系及相關(guān)線段的長度的獲取就是榫眼，它為函數(shù)的介入提供空間（如圖4）直線AB的解析式為y=-2x+2，前面圖1相關(guān)的距離可以遷移為求點的坐標(biāo)如點D、點C，轉(zhuǎn)化思想悄然生成.選擇典型的點可確立需要的函數(shù)圖像（如圖5），很自然的求出雙曲線的解析式.學(xué)生親歷綜合題的組裝過程，會感覺和直接給全題不一樣，不會再有距離感，又品味著環(huán)環(huán)相扣獨特數(shù)學(xué)邏輯魅力.

圖4圖5

教師順勢引入圖形的平移變換，變換引發(fā)的位置改變使圖形活起來，但平移變換的性質(zhì)而產(chǎn)生不變的元素為函數(shù)圖像上點坐標(biāo)的讀取提供了條件，坐標(biāo)的獲得又為平移變換提供相關(guān)數(shù)據(jù)，如平移的距離.這時即可以提出問題如圖6：當(dāng)正方形ABCD向左平移幾個單位點C可落在雙曲線上，或問：正方形ABCD向左平移1個單位，點C可否落在雙曲線上？學(xué)生感覺知識的結(jié)合點的存在，各個知識點間相互制約又相互作用，體會到數(shù)和形的巧妙融合，難點問題的的高度降下來了，解題能力就提高了.如果教師在能夠變式設(shè)計或引導(dǎo)學(xué)生變式：當(dāng)正方形ABCD向下移動剛才的問題該怎樣解決，學(xué)生的識圖能力及類比、轉(zhuǎn)化能力，探究意識又會增強(qiáng).如圖7.

圖6圖7

庖丁說“始臣之解牛之時，所見無非牛者.三年之后，未嘗見全牛也”“彼節(jié)者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣”解題也有此理，解題快者，讀題后可迅速拆分，在接榫處進(jìn)退自如，所以教師選取典型問題進(jìn)行分解組裝，強(qiáng)化認(rèn)知知識結(jié)合點，感受綜合題目形成過程，可使學(xué)生感受知識的契合自然巧妙，所參與的往往都是某一知識塊最基本的知識點.消除畏懼情緒，提高解題速度.

二、整體呈現(xiàn)問題，挖掘接榫點，形成解析策略

就像喜歡拆裝組合玩具一樣，學(xué)生經(jīng)歷了上述過程后會對綜合問題有很大的興趣也會有信心，但是一旦由他們獨立進(jìn)行挑戰(zhàn)完整的問題時，還需積累一系列分析問題的經(jīng)驗.

1.基礎(chǔ)知識的掌握要非常扎實，能夠遷移、變通

相關(guān)概念、定理、公式、基本圖形、常用結(jié)論，基本技巧和方法是形成綜合問題的基石，也是學(xué)生解決問題思路的來源，在教學(xué)過程中各個環(huán)節(jié)有意的滲透，還要通過習(xí)題的設(shè)計使其融會貫通.

例2見角平分線想到角兩邊的垂線段；見角平分線、平行線、等腰三角形其二必知另一；見等腰三角形一條重要線段必聯(lián)想三線合一，見垂直想勾股定理、面積、相似等，并設(shè)計恰當(dāng)?shù)拈军c在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)給出組合圖題進(jìn)行提升訓(xùn)練：如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE=BC，PB與CE交于點H，PG∥AC交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正確的判斷有（）.

A.只有①②B.只有③④

C.只有①③④D.①②③④

圖9圖10

圖11圖12

學(xué)生慢慢的能夠?qū)D形看出“3D”效果，有了層次感，也就有了解題的靈感.

圖13

重要的基本圖形的元素蘊(yùn)含的基本信息不能有效的傳導(dǎo)，也是阻礙學(xué)生找到“榫點”并快速產(chǎn)生思路的原因，學(xué)生認(rèn)知往往停留在表層或所學(xué)部分知識的背景下，換一個情景或換一個設(shè)問就找不到原型，或原型的信息對學(xué)生的刺激不夠強(qiáng)烈.教師在階段性復(fù)習(xí)和終結(jié)性復(fù)習(xí)中將重要的基本圖形放到不同的背景中，刺激學(xué)生產(chǎn)生遷移認(rèn)知的意識和能力，例如圖等邊三角形原型認(rèn)知及輻射圖.同時養(yǎng)成學(xué)生定期反思、梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

對基礎(chǔ)知識的掌握的熟練程度直接影響學(xué)生能否尋找到綜合題的接榫點，從而決定確立解題思路的速度與能力.同時嫻熟的基本計算是保障，學(xué)習(xí)過程中必須明確什么是最基本的，是可生成的，怎樣去聯(lián)想，這也是所有解決綜合題的策略之根.

2.“從已知看可知”，“從要證看需知”等綜合法與分析法來溝通已知條件與結(jié)論

嫻熟的掌握了基礎(chǔ)知識可以由題目的已知條件看到很多結(jié)論，再結(jié)合要得到的結(jié)論尋找需要的條件，在不斷的分析、綜合過程中自然的剖析了問題的結(jié)構(gòu)，綜合題分成若干個基本題，知識點之間結(jié)合處一個個被挖出來，長時間實踐反思，會悟出一套有效地解題策略.

3.數(shù)學(xué)思想是知識點結(jié)合處的潤滑劑，也會是解題的靈魂

轉(zhuǎn)化思想是核心思想，結(jié)論——需求——已知——可知——結(jié)論的任何一個環(huán)節(jié)產(chǎn)生的聯(lián)系都離不開轉(zhuǎn)化思想；方程思想利用量與量間外顯或隱含的等量關(guān)系求取數(shù)據(jù)的重要方法、工具；分類思想探討出現(xiàn)結(jié)論問題的的一切可能性，從而使問題完整；數(shù)形結(jié)合可由抽象的數(shù)據(jù)需要去尋找需要的圖形，由圖形聯(lián)想性質(zhì)，由性質(zhì)聯(lián)想圖形，使問題得以解決等等.當(dāng)所有知識都遺忘時，影響人一生的是解決問題的思想方法.數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟使所學(xué)知識不再是零散的點，而是有序的知識鏈，教學(xué)中不斷地滲透、明確，內(nèi)化為需要，成為解題自然方法.

掌握一臺機(jī)器的構(gòu)造和性能，最好的辦法就是拆了后逐個零件研究，然后再裝配.這是“由整體到部分，由部分到整體”的認(rèn)識事物的規(guī)律.展示分解組裝題目過程可暴露數(shù)學(xué)知識間的接榫處，利于找到解題的切入點；扎實的基礎(chǔ)背景，巧妙的思想方法，科學(xué)的分析策略可以形成獨立分解組合題目的能力，不但可以解決問題，長期積累反思，還可以變式思索甚至自創(chuàng)問題，在問題解決中不但鍛煉了思維，而且能夠更好的感受數(shù)學(xué)的魅力，實現(xiàn)新課程總體目標(biāo)就不是難事，學(xué)生受到良好的數(shù)學(xué)教育也不是空談.

【參考文獻(xiàn)】

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