一道2015年高考填空題的多種解法

劉洪臻

2015年湖南省高考文科數(shù)學(xué)試卷第13題是一道填空題，主要考查直線與圓的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)中，直線與圓的關(guān)系在多個內(nèi)容中有所體現(xiàn)，因此可以有多種解法.題目為13若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2（r>0）相交于A，B兩點，且角AOB=120°，（O為坐標(biāo)原點），則r=.

方法1利用向量作工具的代數(shù)解法.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組3x-4y+5=0，x2+y2=r2，消去其中的變量y，可以得到二元二次方程25x2+30x+25-16r2=0.由韋達定理，可得

x1x2=25-16r225=1-1625r2，x1+x2=-65.

代入直線方程，有

y1y2=400-144r2400=1-925r2，

∵OA·OB=OA·OBcos120°=-12r2OA·OB=x1x2+y1y2=2-r2，

-12r2=2-r2，得r=2.

方法2利用極坐標(biāo)解答ρcosθ=1，A2，3π4，ρ=2cosθ-4sinθ，圓x2+y2=r2（r>0）的極坐標(biāo)為ρ=r，直線3x-4y+5=0的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ-4ρsinθ+5=0.設(shè)圓與直線的交點A（r，θ），Br，θ+2π3（注極坐標(biāo)）.

∵A，B兩點在直線上，

3rcosθ-4rsinθ+5=0，3rcosθ+2π3-4rsinθ+2π3+5=0，（1）

r=-53cosθ-4sinθ=-55sin（A-θ）=1sin（A-θ），

r=-53cosθ+2π3-4sinθ+2π3，（2）

由（1），（2），得

3cosθ-4sinθ=3cosθ+2π3-4sinθ+2π3.

即5sin（a-θ）=5sina-θ-2π3，

A-θ+A-θ-2π3=π，θ=π6+A.

將上式結(jié)論代入（1），得r=1sinπ6=2.

方法3數(shù)形結(jié)合法

圖1

如圖1，依題意得，△AOB為頂角120°的等腰三角形，切頂點（圓心）到直線3x-4y+5=0的距離為12r，532+42=12r，得r=2.

小結(jié)從解法上看來，數(shù)形結(jié)合法最為簡便.但是這種解法綜合了三角函數(shù)與平面幾何的內(nèi)容，對于相關(guān)內(nèi)容的理解與靈活運用要求更高.