新題舊解與舊題新解

何曉靜

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，而解題教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生一題多解，多題一解、培養(yǎng)思維的廣度與深度，本文以兩例新題舊解和舊題新解說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)縱橫交錯(cuò)，相互聯(lián)系，應(yīng)給學(xué)生時(shí)間、空間思考，讓其充分轉(zhuǎn)化、融會(huì)貫通.

【關(guān)鍵詞】新題舊解；舊題新解；轉(zhuǎn)化；聯(lián)系

一、新題舊解

蘇科版九下6.7用相似三角形解決問(wèn)題

如圖1，河對(duì)岸有一燈桿AB，在燈光下，小麗在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DF=3cm，沿BD方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)F處測(cè)得自己的影長(zhǎng)FG=4m.設(shè)小麗的身高為1.6m，求燈桿AB的高度.

圖1

生1：如圖2，連接EC.設(shè)AB=xm.

圖2

易得四邊形ECDF是矩形，則EC=FD=3，EC∥FD.∴△AEC∽△AGF.由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可得x-1.6x=34，解得x=6.4，∴AB=6.4.

點(diǎn)評(píng)這種方法將已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到了一對(duì)相似三角形中，較之書上給出的兩對(duì)三角形相似，更為簡(jiǎn)潔，需要對(duì)三角形相似有很高的敏感度.

生2：可以建立平面直角坐標(biāo)系求.

如圖3，以G為原點(diǎn)，GB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則G（0，0），E（4，1.6），C（7，1.6），F(xiàn)（4，0）.則直線GE的函數(shù)表達(dá)式為y=0.4x，直線FC的表達(dá)式為y=815x-3215.

圖3

由y=0.4x，y=815x-3215，得x=16，y=6.4.

∴A（16，6.4），∴AB=6.4.

點(diǎn)評(píng)代數(shù)問(wèn)題幾何化，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，這也是解決幾何問(wèn)題的巧妙方法.

二、舊題新解

n個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的任何一只球隊(duì)都與其他所有的球隊(duì)各賽一場(chǎng)），總的比賽場(chǎng)數(shù)應(yīng)為多少？

在學(xué)完概率后，學(xué)生想到可以用樹狀圖或表格法來(lái)求總數(shù)，若考慮重復(fù)，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間可以比賽兩次，則可轉(zhuǎn)化為n個(gè)質(zhì)地相同的球不放回地摸出兩個(gè)，求所有等可能結(jié)果數(shù)：

第二次結(jié)果第一次123…n

1（1，2）（1，3）（1，…）（1，n）

2（2，1）（2，3）（2，…）（2，n）

3（3，1）（3，2）（3，…）（3，n）

…（…，1）（…，2）（…，3）（…，n）

n（n，1）（n，2）（n，3）（n，…）

因此所有等可能的結(jié)果數(shù)為n2-n，現(xiàn)單循環(huán)比賽，∴比賽次數(shù)為n2-n2.

點(diǎn)評(píng)：這道題原本是在一元二次方程的章節(jié)中出現(xiàn)的，用的方法有兩種：①若考慮每?jī)申?duì)互相比賽兩次，則每個(gè)隊(duì)需與另（n-1）個(gè)球隊(duì)比賽，共n個(gè)隊(duì)，則共比賽n（n-1），則單循環(huán)共比賽n（n-1）2次.②第1支球隊(duì)需與（n-1）個(gè)球隊(duì)比賽，第2個(gè)球隊(duì)需與（n-2）個(gè)球隊(duì)比賽，……，比賽總數(shù)為（n-1）+（n-2）+…+1=n（n-1）2，該學(xué)生將這道題轉(zhuǎn)化為概率中計(jì)算所有等可能結(jié)果數(shù)的問(wèn)題的，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化了.

三、反思

以上學(xué)生的解法都沒(méi)有局限于當(dāng)課的方法，在思考出常用方法后又與前面所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生了聯(lián)系，用以前學(xué)過(guò)的方法解決新的問(wèn)題，或用新的方法解決舊的問(wèn)題，很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，將知識(shí)進(jìn)行縱橫聯(lián)系，教學(xué)中經(jīng)常給學(xué)生留有思考的空間，經(jīng)常這樣訓(xùn)練，有助于學(xué)生將零散的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化，融會(huì)貫通.

兩道高考與聯(lián)賽試題的同型探源兩道高考與聯(lián)賽試題的同型探源

◎陳文雅（浙江省寧波中學(xué)，浙江寧波315100）

【摘要】高考試題與聯(lián)賽試題作為兩類高水平試題，它們?cè)诿七^(guò)程中會(huì)有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，本文通過(guò)兩道高考與聯(lián)賽試題，來(lái)揭示試題命制過(guò)程中的同源性背景，以期把握試題命制的方向，提高復(fù)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】斜率；相反數(shù)；切線

圓錐曲線中有許多精彩、漂亮的性質(zhì)與結(jié)論，而且在這些性質(zhì)與結(jié)論中經(jīng)常會(huì)遇到一些定點(diǎn)與定值問(wèn)題，縱觀近年高考與競(jìng)賽試題也不乏類似問(wèn)題的考查，本文試圖將兩道高考與競(jìng)賽試題羅列在一起，對(duì)它們的來(lái)龍去脈進(jìn)行本質(zhì)的剖析，以期把握試題的命題方向，提高復(fù)習(xí)效率.

一、試題精彩回放

試題1（2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C過(guò)點(diǎn)A1，32，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）.（1）略；（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

試題2（2011年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）作斜率為13的直線l與橢圓C：x236+y24=1交于A，B兩點(diǎn)，且P32，2在直線l的上方.（1）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

點(diǎn)評(píng)這兩道高考與競(jìng)賽試題考查的是圓錐曲線同一個(gè)內(nèi)容，揭示的是同一個(gè)幾何性質(zhì)，它們一正一反將相同的曲線，相似的結(jié)論，命制在不同試卷上，真可謂“英雄所見(jiàn)略同”.

二、對(duì)試題源的正向剖析

既然兩道試題具有同源性質(zhì)，那么我們就有必要對(duì)試題的來(lái)由進(jìn)行一些背景剖析，研究試題命制的依據(jù)，容易得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值x0b2y0a2.

證明設(shè)A（x0，y0），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則直線AE的方程為：y-y0=k（x-x0），代入橢圓方程得：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，

∴E（a2k2-b2）x0-2a2ky0b2+a2k2，-2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2；設(shè)直線AF的方程為：

y-y0=-k（x-x0），∴F（a2k2-b2）x0+2a2ky0b2+a2k2，2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2.

∴直線EF的斜率kEF=y2-y1x2-x1=b2x0a2y0.

引申1設(shè)A（x0，y0），A′（x0，-y0）（y0≠0）為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上兩定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為橢圓C在點(diǎn)A′（x0，-y0）處切線的斜率.

證明橢圓C：x2a2+y2b2=1在A′（x0，-y0）處的切線方程為：x0xa2-y0yb2=1，

∴在A′（x0，-y0）處的切線斜率k=b2x0a2y0，即k=kEF.

引申2設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為雙曲線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值-b2x0a2y0，且為雙曲線在A′（x0，-y0）處切線的斜率.

引申3設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為雙曲線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值-py0，且為拋物線在A′（x0，-y0）處切線的斜率.

三、對(duì)試題源的逆向探究

試題的根源內(nèi)涵豐富，且它性質(zhì)往往有不同方向的再生能力與發(fā)展空間，我們要把握多角度的探究，作為培養(yǎng)能力與思維的有效載體，提高效率，開(kāi)闊視野.

性質(zhì)設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點(diǎn)，斜率為b2x0a2y0的直線EF交橢圓不同于A的E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線AE，AF的斜率互為相反數(shù).

證明設(shè)A（x0，y0），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），直線EF的方程為：y=b2x0a2y0x+t，代入C：x2a2+y2b2=1得：（b2+b4x20a2y20）x2+2tb2x0y0x+a2t2-a2b2=0，∴直線AE，AF的斜率之和：kAE+kAF=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=（y1-y0）（x2-x0）+（y2-y0）（x1-x0）（x1-x0）（x2-x0），即證：

引申1設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定點(diǎn)，斜率為-b2x0a2y0的直線EF交雙曲線不同于點(diǎn)A的E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線AE，AF的斜率互為相反數(shù).

引申2設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)，斜率為-py0的直線EF交拋物線不同于點(diǎn)A的E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線AE，AF的斜率互為相反數(shù).

四、高考真題鏈接

1.（2004年北京市高考數(shù)學(xué)試題）過(guò)拋物線y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y0>0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為p2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；

（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1+y2y0的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

2.（2005江西省高考數(shù)學(xué)試題）M是拋物線y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，且MA=MB，若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值.

優(yōu)秀試題的“迷人風(fēng)光”應(yīng)體現(xiàn)在對(duì)高層次理性思維的考查上，同時(shí)也蘊(yùn)含了更一般化的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法.本文正是從兩道高考和競(jìng)賽試題出發(fā)，以題中所考查的知識(shí)點(diǎn)為源頭，尋根問(wèn)底，在橫向與縱向的聯(lián)系中尋找“題源”，在題目的拓展中，強(qiáng)化了知識(shí)的應(yīng)用.作為教者，如果能在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中做個(gè)有心人，重視挖掘課本與高考習(xí)題中所蘊(yùn)含的價(jià)值，重視習(xí)題的進(jìn)一步拓展改造，必將使得考生在高考中游刃有余.