二分法悖論的數(shù)學(xué)思考

薛堯

【摘要】二分法悖論是將事物或者形成一分為二，永遠(yuǎn)取中間的一種做法或說法.這種說法從理論上來說是成立的，但是從事情的本身結(jié)果來說又是站不住腳跟的，就是一件事物或者路程，按這種說法永遠(yuǎn)沒有結(jié)果或者終點(diǎn)，但是事實(shí)是相悖的.

【關(guān)鍵詞】二分發(fā)；數(shù)學(xué)；悖論

二分法悖論是古希臘哲學(xué)家芝諾提出的著名悖論，這個悖論說，一個人從A地出發(fā)去往B地，他要先到達(dá)AB的中點(diǎn)，然后到達(dá)剩余路程的中點(diǎn)，接著再到達(dá)剩余路程的中點(diǎn)……依次下去無窮無盡，所以這個人永遠(yuǎn)無法到達(dá)B地.這是一個典型的悖論，在實(shí)際生活中肯定不存在，但是芝諾的推理似乎又是如此的雄辯有力，無任何的理論可駁.那么我們該如何去看待呢？

一、不同的角度呈現(xiàn)不同的真實(shí)

愛因斯坦曾經(jīng)說過，“真理可能不只是一種形態(tài)，不同的角度呈現(xiàn)不同的真實(shí)”，就像在人嘴里十分好吃的水果，在小狗的嘴中可能并非如此.所以角度不同，事物呈現(xiàn)不同的真實(shí)，不應(yīng)該肯定一方完全否定另一方.

數(shù)學(xué)中我們學(xué)過分類討論的思想，這個方法可以解決“這個水果是否好吃”這個問題，同樣，我們也用分類討論思想思考二分法悖論.

二、考察二分法悖論

一個人從A地出發(fā)去往B地，他要先到達(dá)AB的中點(diǎn)，然后到達(dá)剩余路程的中點(diǎn)，接著再到達(dá)剩余路程的中點(diǎn)……，那么這個人是否可以到達(dá)B地？

這里我們默認(rèn)時間是均勻變化的，假設(shè)AB兩地的距離為1.

1.如果這個人是勻速運(yùn)動，且速度為1，那么他從A到B所需要的總時間是12+122+123+...它等于1，所以他可以到達(dá)B地.

2.如果這個人不是勻速的，假設(shè)他從起點(diǎn)到達(dá)第一個中點(diǎn)所需要的時間，等于第一個中點(diǎn)到第二個中點(diǎn)所需要的時間，等于第二個中點(diǎn)到第四個中點(diǎn)等等，依次類推都等于1.我們知道，第n-1個中點(diǎn)到第n個中點(diǎn)的速度為vn=1n，所以當(dāng)n趨于無窮大時，速度為0，則這個人到不了B地.

從以上兩個例子可以看出，二分法悖論也并不是一概的都不能應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，在一定的條件下它是可以應(yīng)用的，只不過它對于條件的要求非常的苛刻.所以說不管是任何事物他都會呈現(xiàn)多面性，在不同的角度用不同的方法去做，那么結(jié)果就有很大的差別性.

三、舉例再分析

通過以上的對比我們可以看出二分法悖論的特殊性，那么為了更清楚這兩個分類方式意義，我們再進(jìn)行一些討論.

1.第一種方式說明有些無窮問題是可以用有限值進(jìn)行度量的.

比如在幾何概型中，雖然基本事件是無限多個，但我們?nèi)钥梢杂脺y度來計(jì)算事件發(fā)生的概率.同樣，點(diǎn)P從數(shù)軸0點(diǎn)移動到3點(diǎn)，雖然經(jīng)過了無數(shù)個實(shí)數(shù)，但點(diǎn)P的運(yùn)動長度仍可以計(jì)算，因?yàn)檫\(yùn)動長度是單位長度的3倍，所以我們稱P的運(yùn)動長度為3.那么也就是說，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡和長度都是一定的，無論你怎么去分，最后的結(jié)果都是一樣的.

結(jié)合這個例子，我們可以說，一個人從A地出發(fā)去往B地，在不減速的情況下，他是可以到達(dá)B地的，這件事情的完成，不論你是如何分步的.

2.第二種方式說明如果我們只考慮如何分步操作，有限事件也可以永遠(yuǎn)完成不了.

在幾何概型中，如果向正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則點(diǎn)落在一條對角線上的概率為0，這里會有人覺得比較奇怪，覺得不是0.這個錯覺出現(xiàn)的主要原因是將數(shù)學(xué)上的抽象推理與生活中的實(shí)際狀況混為一談，數(shù)學(xué)是生產(chǎn)生活的抽象提升，不等同于生產(chǎn)生活的真實(shí)狀況，這種差別有時候不被放大，有時候會被放大，這時常會產(chǎn)生悖論，也就是說我們在現(xiàn)實(shí)生活的操控中，一個物體或者一件事物是允許出現(xiàn)單一性的，就像我剛才舉的例子投點(diǎn)的錯覺，那么在現(xiàn)實(shí)的操作中會不會出現(xiàn)所有的點(diǎn)都落在一條對角線上呢，其實(shí)答案應(yīng)該是肯定的，只不過概率較低罷了，但是通過大家的想象力去想想大家會認(rèn)為這種情況不會出現(xiàn)，所以感覺他的概率為0，所以說這就是產(chǎn)生悖論的根由所在.

例如，在用自然數(shù)計(jì)數(shù)時，數(shù)學(xué)和實(shí)際是完全吻合的，沒有差別.當(dāng)我們計(jì)算長度，面積，體積時，數(shù)學(xué)和實(shí)際常有誤差，不過人們都能接受，不會引起悖論.也就是說，人們所能接受的誤差程度和計(jì)算結(jié)果和事實(shí)之間的誤差能夠得到大家的認(rèn)可，大家不去追究.那么當(dāng)誤差大的時候人們就不能夠接受了，但是計(jì)算的結(jié)果又是正確的，這個時候就會出現(xiàn)悖論.所以二分悖論在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是能夠有所應(yīng)用的.

但是數(shù)學(xué)的發(fā)展已超出人們的想象，在很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，人們的實(shí)際生活體驗(yàn)和數(shù)學(xué)體驗(yàn)混合在一起，出現(xiàn)悖論也是常有的事情了.

四、如何看待悖論

悖論經(jīng)常是在條件不明的情況下出現(xiàn)的，所以如果正確取舍條件，在特定的視角下，所謂的悖論就可以判斷真假了.

另外悖論經(jīng)常是混淆理論和實(shí)際而產(chǎn)生的，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派否認(rèn)無理數(shù)存在，羅素質(zhì)疑集合論基礎(chǔ)，近代人質(zhì)疑微積分基礎(chǔ)都是因此而產(chǎn)生.