波動方程柯西問題的解法研究

付紅斐

【摘要】波動方程柯西問題通常可以用行波法或積分變換法等求解.本文通過一個實(shí)例探討基于行波法、積分變換法和混合積分變換法的多種解法.對于指導(dǎo)《數(shù)學(xué)物理方程》類課程多思維教學(xué)模式、激發(fā)學(xué)生綜合思考問題的能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

【關(guān)鍵詞】波動方程；混合積分變換法；行波法；積分變換法

【中圖分類號】O175.2【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

本項目得到中國石油大學(xué)青年教師教改項目（QN201304）和研究生學(xué)位點(diǎn)建設(shè)項目（XWS13012）的資助.

在科學(xué)與工程技術(shù)的實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到大量的偏微分方程，如描述電磁場中電場和磁場強(qiáng)度的麥克斯韋方程等.有效的求解方法對于研究這類偏微分方程所體現(xiàn)的科學(xué)意義具有重要的理論和實(shí)際作用.在《數(shù)學(xué)物理方程》類課程教學(xué)中，通常我們會介紹四種經(jīng)典的求解方法，即分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數(shù)法等.事實(shí)上，在某些情形下這些方法可加以綜合運(yùn)用.下面以一階波動方程為例加以說明.

例utt=uxx+tsinx（x∈R，t>0），u|t=0=0（x∈R），ut|t=0=sinx（x∈R）.

解法1基爾霍夫公式

u（x，t）=12∫x+tx-tsinξdξ+12∫t0dτ∫x+t-τx-t+ττsinξdξ=tsinx.

解法2傅氏積分變換法

首先，方程及初始條件兩端分別關(guān)于空間變量x取傅氏變換，并注意到

[sinx]=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]，

可得

d2Udt2（ω，t）+ω2U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]t，

U|t=0=0，Ut|t=0=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

接下來，求解上述二階常系數(shù)常微分方程得

U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]ω2·t+ωsinωt-sinωtω.

最后，上式關(guān)于w取傅氏逆變換，由定義及δ函數(shù)性質(zhì)，得u（x，t）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=tsinx.

解法3拉氏積分變換法

首先，方程兩端關(guān)于時間變量t取拉氏變換，并考慮初始條件及[t]=1p2，得

d2Udx2-p2U=-1+1p2sinx.

接下來，由特征方程法求解上述二階常微分方程，得

U（x，p）=C1epx+C2e-px+sinxp2.

注意到弦上各點(diǎn)的位移有界，特別是無窮遠(yuǎn)處.從而必然有C1=C2=0，即U（x，p）=sinxp2.

最后，上式中關(guān)于p取拉氏逆變換，得

u（x，t）=-1sinxp2=tsinx.

解法4混合積分變換法

第一步，首先方程兩端關(guān)于時間變量t取拉氏變換，并考慮初始條件，得

p2U（x，p）-sinx=d2Udx2（x，p）+sinxp2.

其次，上式進(jìn)一步關(guān)于空間變量x取傅氏變換，可得

p2U（ω，p）-iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]=-ω2U（ω，p）+iπp2[δ（w+1）-δ（w-1）].

第二步，整理上式求，得

U（ω，p）=p2+1p2（p2+ω2）·iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

第三步，首先關(guān)于上式中w取傅氏逆變換，由定義及δ函數(shù)性質(zhì)，得

U（x，p）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=sinxp2.

其次，上式進(jìn)一步關(guān)于p取拉氏逆變換，得

u（x，t）=sinx·-11p2=tsinx.

注1混合積分變換法的基本思想是先關(guān)于某一自變量進(jìn)行一次拉氏積分變換，將含兩個變量的偏微分方程轉(zhuǎn)化為含一個參量的常微分方程，然后再關(guān)于另一變量取傅氏積分變換，得到易于求解的含兩個參量的代數(shù)方程，最后再依次取相應(yīng)的逆變換，即可求得原問題的解.

注2上述求解過程給我們展示了如何綜合運(yùn)用多種方法求解定解問題，但讀者不能盲目的任意疊加這些方法.在求解之前，一定要分析清楚所給問題的條件到底適合哪些方法.

【參考文獻(xiàn)】

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