圓錐曲線的切線判別式

陳萬興 張治中

【摘要】在各種版本的教材中，對直線與圓錐曲線一節(jié)中“若Δ=0，則直線與曲線相切”只是理論上的指向，代數(shù)形式的中間成果，不能明顯簡捷地表達相關(guān)要素之間的數(shù)量關(guān)系.給出了具體條件下的切線判別式的數(shù)量形式，簡化了相切中的復(fù)雜的代數(shù)運算.

【關(guān)鍵詞】切線判別式；代數(shù)運算；內(nèi)含

一、從橢圓的弦長的視角中提煉現(xiàn)判別式

（一）設(shè)直線l：y=kx+s.橢圓C：b2x2+a2y2=a2b2交于A（x1，y1），B（x

（二）直線與拋物線相切的判別式

當|AB|→0，拋物線的弦所在的直線就成了切線，在⑶式中，2k2m+p=0直線與拋物線相切.判別式（k存在）把直線與拋物線位置關(guān)系的數(shù)量化.同時，存在兩個交點與相離的量化判別式為：2k2m+p>0直線與拋物線有兩個交點；2k2m+p<0直線與拋物線相離.

例3（選修教材數(shù)學(xué)2—1B版2.5直線與圓錐曲線一節(jié)中的例2）：已知點A（0，2）和拋物線C：y2=6x，求過點A且與拋物線C相切的直線l的方程.

解當kl不存在時，l：x=0；

當kl存在時，y=kx+2=kx--2k，（m=-2k）；p=3

由：2k2m+p=0，3+2k2·-2k=0k=34；l：y=34x+2.

把Δ=0量化p，m，k的三者關(guān)系，省略了中間計算環(huán)節(jié)，解題變得適用、簡單.

四、判別式的多方面的內(nèi)含

（一）可建構(gòu)新的曲線方程對橢圓和雙曲線，直接體現(xiàn)的四個量的平方關(guān)系.在橢圓中，當k，s已知時，a，b滿足在橢圓上；在雙曲線中，當k，s已知時，a，b滿足在在雙曲線上.借圓錐曲線的性質(zhì)，有利于對動態(tài)曲線的研究.對于拋物線的切線判別式2k2m+p=0，m為常數(shù)k，p滿足在拋物線上，k為常數(shù)，m，p滿足在直線上.這對研究圓錐曲線性質(zhì)，辟開了新的向度，對圓錐曲線的性質(zhì)加深了認識.

例4設(shè)l：y=-22x+2與橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相切.

（1）求a的取值范圍.（2）若橢圓的離心率為12，求：a，b.

解（1）y=kx+s（k=-22，s=2）

l∩C：（b2+a2k2）x2+2a2ksx+a2s2-a2b2=0，令Δ=0-s2+b2+a2k2=0

把k=-22，s=2代入得，-4+b2+12a2=0a28+b24=1.

a，b滿足方程x28+y24=1，當y→0時，x28<1.-22

①又a橢圓的軸，0

②a=b時，是直線l與圓C相切，得a的最小臨界值，amin=2.2≤a<22.

（2）e2=1-b2a2a2=2b2，又-4+b2+12a2=0.b=2，a=2.

在多元變在量的條件下，切線判別式，圓錐曲線的性質(zhì)為進一步研究圓錐曲線數(shù)量及位置關(guān)系提供了平臺.

（二）切線判別式可解決一般條件下的問題，對于過平面內(nèi)任意一點，與曲線相切，都可以轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的直線形式中，縮短了結(jié)論與題設(shè)的距離，簡化了大量的運算.

例5（2014廣東理科20題），已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點為P，離心率為53.（1）求橢圓的標準方程.（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解（1）略.（2）當切線與軸平行或垂直時，P（±3，±2）.

設(shè)切線l：y=kx+s（s=y0-kx0）.

l∩C：（b2+a2k2）x2+2a2ksx+a2s2-a2b2=0，令Δ=0-s2+b2+a2k2=0.

s=y0-kx0，a2=9，b2=4代入，關(guān)于k方程：

（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.

又k1·k2=-1=y20-4x20-9x20+y20=13.

又P（±3，±2）∈x20+y20=13.P的方程：x20+y20=13.

把過平面內(nèi)一點的直線，轉(zhuǎn)化y=kx+s形式，使解題自動化化.-s2+b2+a2k2=0，是解題制勝的關(guān)鍵環(huán)節(jié).體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的通性，是駕馭與切線有關(guān)的代數(shù)運算的法寶.

切線判別式，對簡化運算起到的一定的作用，把理論指向構(gòu)筑了現(xiàn)實的技能平臺，有益于提升計算能力.