概述巧定主元在解題中的應(yīng)用的研究

李寧寧

【摘要】多變元問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中思維難度較大，解題過程較繁的一類問題.學(xué)生在解答過程中經(jīng)常陷于盤根錯節(jié)的參數(shù)關(guān)系而無法理清頭緒，這時若能靈巧地確定主元，進(jìn)行有效地轉(zhuǎn)化，化繁為簡，繼而達(dá)到柳暗花明的境界.

【關(guān)鍵詞】多變元；解題；應(yīng)用；主元；研究

研究者對于巧定主元的研究主要是從四個方面展開.第一個方面：確定一個參數(shù)為主元；第二個方面：確定兩個及以上元素（即整體）為主元；第三個方面：大膽增元或減元，為確定主元鋪設(shè)條件；第四個方面：確定非參數(shù)元素為主元.以下首先對這四個方面一一舉例介紹，其次談一下今后在這個領(lǐng)域中的所應(yīng)著重注意的三個方向.

1.確定一個參數(shù)為主元（在確定一個參數(shù)為主元的同時又分為兩個方面）

（1）確定一個參數(shù)為主元在解方程（組）中的應(yīng)用

例1設(shè)K≥9.解方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0.（2006年，上海交通大學(xué)自主招生考試）

分析因?yàn)樵摲匠虨槿畏匠毯茈y因式分解，所以，這條路很難.但變換主元，將x看作參數(shù)，k視為主元，則可看成一個關(guān)于k的二次方程

xk2+（2x2+9）k+（x3+27）=0.

xk2+（2x2+9）k+（x+3）（x2–3x+9）=0.

（xk+x2–3x+9）（k+x+3）=0.

x2+（k-3）x+9=0或k=-x-3.

x=（3-k）±（k-9）（k+3）2（k≥9）或x=k+3.

（2）確定一個參數(shù)為主元在求根（不等式）的取值范圍中的應(yīng)用

例2若不等式2x–1>m（x2-1）對滿足∣m∣≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

分析本題若視x為變量，m為常量，進(jìn)行分類討論，顯然不可取，但若巧變參數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，再用函數(shù)思想，問題也就迎刃而解了.

解析令f（m）=m（x2-1）-（2x-1）.

當(dāng)x≠±1時，它是關(guān)于m的一次函數(shù)，故由∣m∣≤2時，f（m）<0恒成立，等價(jià)于f（-2）<0和f（2）<0，所以解得-1+72

綜上知x的取值范圍是（-1+72，1+32）.

2.確定兩個及以上元素（即整體）為主元

例3（2011年蘇州高三第一學(xué)期期末第13題）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+2a≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范圍.

分析本題中出現(xiàn)三個變量，而且在三角形中，處理方法是把a(bǔ)，b作為主元，通過三角形的三邊關(guān)系消去c.

解因?yàn)閎+2a≤3a，所以2a≤3a-b.

由于a，b，c為三角形的三邊.

則2（a-b）<2c≤3a-b.（1）

2（b-a）<2c≤3a-b.（2）

由（1）（2），得0

對于c+2a≤3b，同理可得ba>34，34

3.大膽增元或減元，為確定主元鋪設(shè)條件

例4設(shè)拋物線：y=-x2+2x與X軸的一個交點(diǎn)為B（不是原點(diǎn)），P，Q為拋物線上兩個不同的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動時，如果使BP⊥PQ，求點(diǎn)Q的存在范圍.

解設(shè)P（a，-a2+2a），Q（b，-b2+2b），其中a≠2，a≠b，又B（2，0），由BP⊥PQ，kBP·kPQ=-1，由此得a2（b-2）a+1=0.

由Δ≥0，得b≤0或b≥4.

故點(diǎn)Q的存在范圍是拋物線y=-x2+2x上x∈（-∞，0）∪[4，+∞）.

4.確實(shí)以非參數(shù)元素為主元

例5（2007年廣東卷）已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解以零點(diǎn)為主元進(jìn)行分類：

Ⅰ.只有一個零點(diǎn)時，分類討論如下：

（1）若a=0，f（x）=2x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上沒有零點(diǎn)，所以a≠0；

（2）a≠0，當(dāng)f（-1）f（1）≤0時，1≤a≤5有零點(diǎn).

Ⅱ.當(dāng)有兩個零點(diǎn)時，a≠0，當(dāng)f（-1）f（1）>0時，進(jìn)行分類討論如下：

（1）當(dāng)f（-1）>0，f（1）>0時，a>5有零點(diǎn)；

（2）當(dāng)f（-1）<0，f（1）<0時，a<1，進(jìn)行分類討論如下：

①當(dāng)0

②當(dāng)a<0時，當(dāng)函數(shù)值最大值大于0，函數(shù)的對稱軸在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，此時a≤-3-72.綜上可得，a的取值范圍是a>1或a≤-3-72.

5.下一步的研究工作

第一，將巧定主元的方法綜合運(yùn)用.雖然巧定主元的方法繁多，但研究者對它們都是單一的研究，并未能將它們很好地融合在一起.

第二，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維.縱然巧定主元的方法眾多，倘若學(xué)生的思維完全跟不上，豈不是白費(fèi)功夫，因此要將學(xué)生的思維與巧定主元的方法有效地結(jié)合在一起.

第三，應(yīng)與一線教師進(jìn)行密切地交流與合作.即使巧定主元的方法較多，但一線教師不能即使或者忽視這種思想，學(xué)生將很難接觸、學(xué)習(xí)并運(yùn)用這種思想.可以推斷出，倘若研究者與一線教師進(jìn)行密切地交流和合作定會極大地促進(jìn)巧定主元思想及方法的發(fā)展.