論高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

穆圳

【摘要】本文首先分析了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，然后通過運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解答幾個(gè)初等數(shù)學(xué)例題，來說明高等數(shù)學(xué)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢(shì).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)

一、引言

初等數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，只有學(xué)習(xí)好了初等數(shù)學(xué)才能夠更好的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，所以高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的發(fā)展與提高.同時(shí)考慮到學(xué)生接觸年齡階段普遍的思維方式以及接受知識(shí)的能力，綜合考慮有必要先進(jìn)行初等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).但是反過來，學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)以后，可以運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)更好地理解和解決初等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí).

二、高等數(shù)學(xué)知識(shí)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

不等式的證明是最常見的一種高等數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，另外概率法、微積分、齊次線性方程組等高等知識(shí)的運(yùn)用同樣使初等數(shù)學(xué)問題明朗化和簡(jiǎn)易化.下面簡(jiǎn)單對(duì)其中的幾種高等知識(shí)運(yùn)用問題進(jìn)行實(shí)際分析.

1極值問題知識(shí)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例1求函數(shù)f（x）=x3-3x+3（x>0）的最小值.

解設(shè)x0=x-m，則f（x）=（x0+m）3-3（x0+m）+3=x0+3mx20+（3m2-3）x0+3-3m+3m2.

令3m2-3=0，則解得同m等于1和-1，因?yàn)閤>0，則f（x）=（x-1）3+3（x-1）2+1=（x-1）2（x+2）+1≥1.

所以，當(dāng)x等于1的時(shí)候，函數(shù)存在極值，即最小值，最小值為1.

從這個(gè)例題中可以看出，運(yùn)用極值進(jìn)行問題解答的關(guān)鍵在于把函數(shù)展開成一個(gè)缺一次項(xiàng)的展開式，在高等數(shù)學(xué)里可直接使用泰勒級(jí)數(shù)，但初等數(shù)學(xué)中就只能采用待定系數(shù)法.高等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義在于若函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在極值，則存在使其一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，因而函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)一定有使一次項(xiàng)系數(shù)為零的點(diǎn)存在.而求導(dǎo)的一個(gè)初等化方法就是可用待定系數(shù)法來達(dá)到這一目的.也就是求得使一次項(xiàng)系數(shù)為零的常數(shù)m.

2利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)證明不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性是一種最常用也是最常見的證明不等式的方法，其有以下幾個(gè)步驟組成：

（1）對(duì)不等式進(jìn)行變形，使不等號(hào)左端或者右端化為f（x）的形式，另外一端等于零（或者等于一個(gè)常數(shù)），一般來說函數(shù)肯定會(huì)有一個(gè)端點(diǎn)值又或者其數(shù)值的正負(fù)已經(jīng)確定；

（2）討論f（x）的單調(diào)性；

（3）根據(jù)f（x）的單調(diào)性以及端點(diǎn)值，就能夠解決不等式的證明問題了.

例2證明當(dāng)0

證明令f（x）=tanxx，x∈0，π4，則其導(dǎo)數(shù)F（x）>0，說明f（x）在0，π4上單調(diào)遞增，并且可導(dǎo)，那么x=π4時(shí)取得最大值，由于x位于分母上不能為零，f（x）那么用無限趨近于零，取得其最小值0.所以當(dāng)0

通過函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行不等式的證明關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)其導(dǎo)數(shù)函數(shù)的符號(hào)，有必要的話可以求更高階導(dǎo)數(shù)，其目的是最終確定所構(gòu)造函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，通過求端點(diǎn)值來證明不等式.

3利用向量問題證明不等式

向量的數(shù)量積存在性質(zhì)：a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|.

例3設(shè)a，b，c，d∈R+，證明（ab+cd）≤（a2+c2）·（b2+d2）.

證明構(gòu)造向量m={a，c}，n={b，d}，那么存在

（ab+cd）2=（m·n）2=|m|2|n|2cos2θ≤|m|2|n|2=（a2+c2）（b2+d2）.

4微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例4證明當(dāng)0

證明設(shè)y=lnx，它在區(qū)間[a，b]滿足拉格朗日中值定理的條件，有l(wèi)nb-lnab-a=1ξ，0

若用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)解題便會(huì)發(fā)現(xiàn)此題幾乎無從下手，將不等號(hào)兩邊相減或相除來證都是比較困難的，因?yàn)橛袀€(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)在，而只要用拉格朗日中值定理，則此題便迎刃而解.

三、結(jié)語

從例題我們可以看出利用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來解答這些問題的話，必然會(huì)繁瑣無比，而我們通過利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)就可以很巧妙地將題解出來，但是這并不意味著可以省略初等教學(xué)過程，而直接進(jìn)行高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)知識(shí)是基礎(chǔ)，只有將基礎(chǔ)打牢了，才能夠更好的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，才能更靈活地運(yùn)用高等知識(shí)進(jìn)行解題.同時(shí)還需要考慮的是學(xué)生不同年齡段的接受知識(shí)能力不同，而進(jìn)行不同程度的教授知識(shí).

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