基于奇異值分解的非帶限信號(hào)采樣算法

許月興

【摘要】 本文借助奇異值分解技術(shù)，研究了對(duì)狄拉克流這類特殊非帶限信號(hào)的采樣與重建算法。先對(duì)信號(hào)的采樣點(diǎn)進(jìn)行離散傅里葉變換，并用生成的系數(shù)形成Hankel矩陣，然后對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，求取狄拉克流的位置信息，再解范德蒙方程組求得狄拉克流的權(quán)信息，重建出原信號(hào)。該算法具有計(jì)算量小、信號(hào)恢復(fù)精確率高和抗噪聲能力強(qiáng)的特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】 奇異值分解 非帶限信號(hào) 狄拉克流 采樣 重建

狄拉克流信號(hào)是數(shù)字通信中經(jīng)常會(huì)用到的一種非帶限信號(hào)[1]，本文以該信號(hào)為例，從空間變換的角度研究了一種基于奇異值分解的非帶限信號(hào)采樣算法，該算法在處理狄拉克流及其相關(guān)的一類非帶限信號(hào)時(shí)是非常有效的，并具有計(jì)算量小、信號(hào)恢復(fù)精確率高和抗噪聲能力強(qiáng)等特點(diǎn)。

一、 奇異值分解

奇異值分解是線性代數(shù)中非常重要的一種矩陣分解。該理論的誕生已經(jīng)有百余年的歷史，隨著信息工程的需求和計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展，它被廣泛地應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)分析、信號(hào)與圖像處理、系統(tǒng)理論和控制等領(lǐng)域中[2]。

二、基于奇異值分解的非帶限信號(hào)采樣算法

下面通過(guò)對(duì)一種非帶限信號(hào)——周期狄拉克流的分析來(lái)推導(dǎo)基于奇異值分解的非帶限信號(hào)采樣算法。

設(shè)x（t）是周期為τ的狄拉克流信號(hào)，其表達(dá)式為：

（1）

式中Ck為狄拉克流的權(quán)值，tk為狄拉克流的位置，則x（t）的傅里葉變換為

=， （2）

式中。

對(duì)該狄拉克流信號(hào)x（t），取作為采樣核，經(jīng)過(guò)采樣核后得到采樣值yn，n=0，1，...，N-1，則采樣值yn是原信號(hào)x（t）的一個(gè)充分的描述。

利用yn重建原信號(hào)x（t）的過(guò)程如下。

（1）通過(guò)yn確定x（t）的傅里葉變換X[m]，|m|≤M；

（3）

式中HB是hB（t）的傅里葉變換。

（2）利用X[m]構(gòu)建Hankel矩陣X，然后對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，求得狄拉克流的K個(gè)位置信息；

利用X[m]構(gòu)建一個(gè)P×Q（P，Q ≥ K）維的Hankel矩陣X，矩陣X的秩為rank（X）=K，因此通過(guò)對(duì)Hankel矩陣X的秩的判別，可以確定出每周期內(nèi)狄拉克流信號(hào)的個(gè)數(shù)K。

根據(jù)奇異值分解的理論，X可以被分解成如下形式

（4）

其中US、SS和VS是矩陣X的K個(gè)最大奇異值分解三對(duì)組陣，它們包含了有用信號(hào)的主要信息；Un、Sn和Vn是矩陣X的小奇異值分解三對(duì)組陣，對(duì)于含有噪聲的信號(hào)，其加性噪聲主要集中在這些小奇異值項(xiàng)上。

假設(shè)φ=diag（Zk）k×k，φh=φH，顯然矩陣US和VS都滿足平移不變空間特性，即

， （5）

其中和分別為矩陣刪掉第一行和最后一行剩余的矩陣，由和（或和）可確定的K個(gè)特征值Zk，從而得到狄拉克流信號(hào)的K個(gè)位置信息。

（3）求取狄拉克流的K個(gè)權(quán)值。

求得后，將其代入（2）式可得一范德蒙方程，解該方程，即可求得狄拉克流信號(hào)的K個(gè)權(quán)值。將和代入（1）式，原狄拉克流信號(hào)x（t）就可以被準(zhǔn)確重建。

三、結(jié)論

本文以周期狄拉克流信號(hào)為例，研究了一種基于奇異值分解的非帶限信號(hào)采樣與重建算法。它突破了Shannon采樣定理中Nyquist率的限制，是傳統(tǒng)采樣定理的一個(gè)非常有益的補(bǔ)充，在寬帶通信領(lǐng)域尤其是超寬帶通信中有著廣闊的應(yīng)用前景。