淺談如何培養(yǎng)尖子生

竇本旺

【摘要】 尖子生，顧名思義，就是成績(jī)拔尖的學(xué)生.平時(shí)學(xué)習(xí)中尖子生的一個(gè)重要體現(xiàn)是在解題能力上，教師在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力？運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想來解決問題是一個(gè)常用的思路，這就要求教師要注意解題教學(xué)的安排，可見教師引領(lǐng)的好壞決定了一名學(xué)生能否成為尖子生的可能性.

【關(guān)鍵詞】 培養(yǎng);尖子生;能力

1. 嚴(yán)格要求，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)

這是成為尖子生的一個(gè)必要條件. 學(xué)生要經(jīng)得起挫折，看到不會(huì)做的試題，要有戰(zhàn)勝它的決心和毅力，百折而不撓，抓已知，審條件，深聯(lián)想，愈挫愈勇， 直至問題的解決.

2. 合理引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)、總結(jié)、反思的能力

這是成為尖子生的基石.新課標(biāo)提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自我反思，自我總結(jié).既要通曉高中數(shù)學(xué)全部教材的知識(shí)內(nèi)容，給予必備的知識(shí)儲(chǔ)備，又要通曉知識(shí)間的橫向聯(lián)系與縱向聯(lián)系，更要在知識(shí)的交匯處發(fā)散自己的思維.如指數(shù)與對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列等的橫向聯(lián)系，平面幾何與立體幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等的縱向聯(lián)系，向量與三角函數(shù)、框圖與數(shù)列等的交匯處的聯(lián)系.教師不僅要會(huì)解題，更要會(huì)改、編一些數(shù)學(xué)試題來增加學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

3. 教師的提問要有藝術(shù)性

這是學(xué)生是否成為尖子生，教師的提問最能體現(xiàn)教師的橋梁和紐帶作用. 下面以2014年宿州市第一次質(zhì)量檢測(cè)的一道學(xué)生解答受阻的試題，來體現(xiàn)教師提問時(shí)，對(duì)學(xué)生的橋梁和紐帶作用.

設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x） + xf′（x） > x2，下面不等式在R上恒成立的是 （ ? ? ?）.

A. f（x） > 0 ? ? ?B. f（x） < 0 ? ? ?C. f（x） > x ? ? ?D. f（x） < x

解答完畢后，培養(yǎng)了學(xué)生的類比與歸納的能力，留給學(xué)生充分的探索欲望，從而圓滿完成本題所要解決的任務(wù)，為尖子生的培養(yǎng)建了一座質(zhì)量上乘的橋梁.

4. 充分利用一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散、等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力

這是成為尖子生的訓(xùn)練場(chǎng).下面以2014年高考新課標(biāo)卷文21為例來給與說明.

（2014年高考新課標(biāo)卷文21）已知函數(shù)f（x） = x3 - 3x2 + ax + 2，曲線y = f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.（1）求a值;（2）證明：當(dāng)k < 1時(shí)，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個(gè)交點(diǎn).

解法一（官方解答）：（1）易求得a = 1.

（2）由（1）知f（x） = x3 - 3x2 + x + 2.

設(shè)g（x） = f（x） - kx + 2，即g（x） = x3 - 3x2 + （1 - k）x + 4.

由題設(shè)知1 - k > 0.

當(dāng)x ≤ 0時(shí)，g′（x） = 3x2 - 6x + 1 - k > 0，g（x）單調(diào)遞增，

又g（-1） = k - 1 < 0，g（0） = 4，

所以g（x） = 0在（-∞，0]有唯一實(shí)根.

當(dāng)x > 0時(shí)，令h（x） = x3 - 3x2 + 4，則g（x） = h（x） + （1 - k）x > h（x），h′（x） = 3x2 - 6x = 3x（x - 2），則h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，所以g（x） > h（x） ≥ h（2） = 0，即g（x）在（0，+∞）上沒有實(shí)根.

綜上g（x）在R上有唯一實(shí)根，所以k < 1時(shí)，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個(gè)交點(diǎn).

這種解法顯然在x > 0構(gòu)造不易想到，能不能讓學(xué)生轉(zhuǎn)化成我們熟悉的分離參數(shù)呢？于是可得解法二和解法三.

解法二（分離參數(shù)）：（1）略.

（2）依據(jù)題意，本題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)k < 1時(shí)，方程x3 - 3x2 ?+ x + 2 = kx - 2只有一個(gè)根.

① x = 0時(shí)等號(hào)不成立;

② x ≠ 0 時(shí)，分離變量得：

k =

令g（x） =

所以g′（x） = .

當(dāng)x < 0時(shí)，g′（x） < 0，所以g（x）在（-∞，0）遞減;

當(dāng)0 < x < 2時(shí)，g′（x） < 0，所以g（x）在（0，2）遞減;

當(dāng)x > 2時(shí)，g′（x） > 0，所以g（x）在（2，+∞）遞增，

則g（x）的大致圖像如上圖，當(dāng)x < 0時(shí)g（x）無最小值，當(dāng)x > 0時(shí)，g（x）min = g（2） = 1，所以kmin = 1.所以k < 1時(shí)，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個(gè)交點(diǎn).

根據(jù)方法二，稍加變形，可得方法三.

解法三（切線法）：依據(jù)方法二，本題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)k < 1時(shí)，方程x3 - 3x2 + x + 4 = kx只有一個(gè)根.

令y1 = kx，y2 = x3 - 3x2 + x + 4，如圖，設(shè)曲線y2過（x0，y0）的切線為y1 = kx，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得

3x02 - 6x0 + 1 = kkx0 = x03 - 3x02 + x0 + 4

得2x03 - 3x02 - 4 = 0，

所以x0 = 2，y0 = 2，

從而得k = 1.

所以k < 1時(shí)，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個(gè)交點(diǎn).

讓學(xué)生仔細(xì)觀察方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2，易知直線y = kx - 2恒過（0，-2），從而根據(jù)方法三可得解法四.

解法四（切線法）：因?yàn)楸绢}可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)k < 1時(shí)，方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2只有一個(gè)根.

令f（x） = x3 - 3x2 + x + 2，

由直線y = kx - 2恒過（0，-2），

過點(diǎn)（0，-2）可求得f（x） = x3 - 3x2 + x + 2圖像上的切線的斜率為1，如圖，數(shù)形結(jié)合，當(dāng)k < 1時(shí)，y = f（x）與y = kx - 2只有一個(gè)交點(diǎn).

著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師周沛耕曾說過：“學(xué)數(shù)學(xué)有兩個(gè)層次：聽懂別人的話只是第一個(gè)層次，而悟出，才是第二個(gè)層次.”教師在教學(xué)中，首先要勤于鉆研業(yè)務(wù)，熟悉知識(shí)內(nèi)在的脈絡(luò)和聯(lián)系，對(duì)問題和教學(xué)要有一個(gè)宏觀的把握.培養(yǎng)尖子生是一個(gè)循序漸進(jìn)的優(yōu)化過程，不能一蹴而就，課堂中的解題教學(xué)對(duì)尖子生的培養(yǎng)只是其中一個(gè)方面，重要的是讓學(xué)生慢慢體會(huì)到解題的三個(gè)層次：“想轉(zhuǎn)化”“能轉(zhuǎn)化”“轉(zhuǎn)化對(duì)”.哪怕碰到再難的試題，我們的學(xué)生也會(huì)知難而進(jìn)，分析探索.