“表面涂色的正方體”數(shù)學(xué)內(nèi)涵探討

金震宇

一、前 ? ?言

“表面涂色的正方體”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中受廣泛關(guān)注的內(nèi)容. 有些版本教材在小學(xué)三年級(jí)就涉及該內(nèi)容，也有到初中一年級(jí)才出現(xiàn).

我國小學(xué)版數(shù)學(xué)雜志已有較多文章或教案討論該課題，這些都是老師們辛勤工作的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，十分可貴. 我是小學(xué)六年級(jí)學(xué)生，本學(xué)期蘇教版采用了“表面涂色的正方體”內(nèi)容，該內(nèi)容對我很有吸引力，它使我加深了立體空間概念，啟發(fā)我從空間圖形中去尋找規(guī)律，并且嘗試用數(shù)學(xué)思維尋求規(guī)律，這是從實(shí)際上升到理論，從個(gè)別提高到一般的極好教學(xué)典范章節(jié).

“表面涂色的正方體”又好像一個(gè)“數(shù)學(xué)魔方”， 使我從中得到樂趣和啟發(fā)，我們能在玩轉(zhuǎn)這個(gè)“數(shù)學(xué)魔方”中，深入探討其內(nèi)涵，會(huì)在游戲中增長知識(shí)和創(chuàng)新能力，以及理論聯(lián)系實(shí)際的能力.

二、從實(shí)際空間圖形中去尋找數(shù)學(xué)表示

教材中要求我們要回答下列幾個(gè)問題：把一個(gè)表面涂色的大正方體，將其2份、3份、4份、5份……n份切開，分別能切成多少個(gè)同樣大小的正方體？其中3面涂色、2面涂色、1面涂色、無色各有多少個(gè)？它們分別處在大的正方體的什么位置？小正方體個(gè)數(shù)隨n的變化數(shù)學(xué)表示是什么？

首先讓我們從大的正方體每條棱平均分成2份、3份、4份尋找規(guī)律，請參見圖1.

圖1 ? 大的正方體每條棱平均分成2份、3份、4份涂色，小正方體分布，其中紅色為3面涂色小正方體，黃色為2面涂色小正方體，藍(lán)色為1面涂色小正方體，無色處于大的正方體剝除所有被涂色的小正方體外表層中間.

大正方體中切成小正方體的總個(gè)數(shù)，以及3面涂色、2面涂色、1面涂色、無色小正方體的總個(gè)數(shù)如表1所示，其位置已在圖1標(biāo)出.

表1所有數(shù)值和表示是怎樣求得的呢？我是這樣分析的：

1. 求大正方體中切成小正方體的總個(gè)數(shù)，只要把小正方體視為度量單位，就類似求正方體體積一樣，求得n3.

2. 3面涂色切成小正方體的總個(gè)數(shù)無論是大的正方體每條棱平均分成2 ?份、3份、4份，…，n份，它們只出現(xiàn)在大正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處，所以與大的正方體每條棱平均分分法無關(guān)，都為8個(gè). 在圖1中它們都以紅色涂面表示.

3. 求2面涂色切成小正方體的總個(gè)數(shù)略麻煩些，它們從大正方體每條棱平均分成3份，及以上才出現(xiàn)，而且它們都出現(xiàn)于大正方體的中間層，本文圖2中表示大的正方體每條棱平均分成3份，在其上、下、左、右面切出的中間層展示圖，該截面清晰顯示有4個(gè)2面涂色切成小正方體它們分別位于截層的4角上. 用同樣分析方法，我們還可以在大的正方體每條棱平均分成3份的前、后、左、右橫切截面各自找到4個(gè)2面涂色切成的小正方體，以及大的正方體每條棱平均分成3份的前、后、上、下豎切截面各自找到4個(gè)2面涂色切成的小正方體. 所以大的正方體每條棱平均分成3份的大的正方體共有4 × 3 = 12（個(gè)）2面涂色切成小正方體.

若大正方體每條棱平均分成4份，從圖1可見，僅是又增加了圖2中三個(gè)中間層，即又增加了12個(gè)，即12 × 2 = 24（個(gè)）.

容易推論，若大正方體每條棱平均分成n份，2面涂色小正方體的總個(gè)數(shù)可寫為：12（n - 2）的一次方關(guān)系，括號(hào)中減2是來源于2面涂色小正方體層數(shù)總比每條棱平均份數(shù)少2.

4. 求1面涂色切成小正方體的總個(gè)數(shù)很簡單，從圖1可見（藍(lán)色小方塊），它們都位于大正方體6個(gè)面的中間，大的正方體每條棱平均分成3份時(shí)，每個(gè)面僅1個(gè)1面涂色切成小正方體，故總數(shù)為6個(gè).

但是大的正方體每條棱平均分成4份時(shí)，因?yàn)樾≌襟w一邊份數(shù)比每條棱平均分成4份數(shù)少2個(gè)，所以一個(gè)面小正方體的個(gè)數(shù)為（4 - 2）2 = 4個(gè)，是2次方增加. 大正方體因?yàn)橛?個(gè)面，所以大的正方體每條棱平均分成4份小正方體的總個(gè)數(shù)為：6（4 - 2）2 個(gè).

容易推論，若大正方體每條棱平均分成n份，1面涂色小正方體的總個(gè)數(shù)可寫為：6（n - 2）2的2次方關(guān)系.

5. 無色小正方體全部位于大正方體中心部，如移走大正方體最外層所有涂色小正方體，無色小正方體總數(shù)形成正方體出現(xiàn). 大的正方體每條棱平均分成3份時(shí)，與上文討論一樣原因，無色小正方體僅（3 - 2 =） 1個(gè)，如大的正方體每條棱平均分成4份時(shí)，無色小正方體增為（4 - 2）3 = 8（個(gè)）. 大的正方體每條棱平均分成5份時(shí)，無色小正方體增為（5 - 2）3 = 27（個(gè)）. 它們和體積增加類似，是3次方增加.

容易推論：若大正方體每條棱平均分成n份，無色小正方體的總個(gè)數(shù)可寫為： （n - 2）3的3次方關(guān)系.

三、玩轉(zhuǎn)這個(gè)“數(shù)學(xué)魔方”，深入探討其內(nèi)涵

1. 我發(fā)現(xiàn)在大正方體表面拿走一塊小正方體，因小正方體所處環(huán)境不同，引起大正方體表面積總面積逐級(jí)以2個(gè)小正方面面積減少規(guī)律：

拿走一塊一面涂色小正方體，大正方體表面積增加4個(gè)小正方面面積;

拿走一塊兩面涂色小正方體，大正方體表面積增加2個(gè)小正方面面積;

拿走一塊三面涂色小正方體，大正方體表面積不變;

拿走一塊暴露出四面小正方體，大正方體表面積減少2個(gè)小正方面面積;

拿走一塊暴露出五面小正方體，大正方體表面積減少4個(gè)小正方面面積;

拿走一塊暴露出六面小正方體，大正方體表面積減少6個(gè)小正方面面積。

總之如上隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級(jí)以2個(gè)小正方面面積減少的規(guī)律相應(yīng)逐減.

其對應(yīng)關(guān)系：

拿走一塊小正方體 ?1面 ?2面 ?3面 ?4面 ?5面 ?6面

增加小正方面面積 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4個(gè) ?2個(gè) ?0個(gè)

減少小正方面面積 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2個(gè) ?4個(gè) ?6個(gè)

該規(guī)律不限于表面涂色的正方體，對于討論整齊堆積若干小長方體或正方體形成的總表面積都適用.

如上規(guī)律有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，可指導(dǎo)人們怎樣堆積或取走有污染的小正方體.

2. 如圖3，長方體涂色切成小正方體有何變化規(guī)律？留給讀者思考.

3. 小學(xué)低年級(jí)同學(xué)想一想下面幾個(gè)問題：

（1）如上文所述，隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級(jí)以2個(gè)小正方面面積減少的規(guī)律相應(yīng)逐減，用正、負(fù)數(shù)表示這種逐步變化.

（2）n ≥ 3的“數(shù)學(xué)魔方”一個(gè)面有幾個(gè)對稱軸？

（3）n ≥ 3的“數(shù)學(xué)魔方” 1面涂色切成小正方體的總個(gè)數(shù)占涂色小正方體的總個(gè)數(shù)6n2的幾分之幾？

（4）產(chǎn)生隨小正方體暴露面增加，它拿走后大正方體表面積總面積逐級(jí)以2個(gè)小正方面面積減少的規(guī)律相應(yīng)逐減的幾何原因是什么？

4. 初一同學(xué)能以更高數(shù)學(xué)方法表述該“數(shù)學(xué)魔方”，很值得期待.

5. 高一老大哥玩轉(zhuǎn)這個(gè)“數(shù)學(xué)魔方”有用武之地嗎？應(yīng)該有！

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱耀峰.“表面涂色的正方體”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考.教育研究與評論：小學(xué)教育教學(xué)，2014（6）：62-63.

[2]數(shù)學(xué).六年級(jí)上冊.江蘇教育出版社，2014（6）：26-27.