基于B—S模型的上證50ETF期權(quán)定價研究

董安琪 陳元

摘要：ETF（交易型的開放式指數(shù)基金），可以在交易所內(nèi)上市進行交易并且基金的份額是可變的，在開放式的基金中是一種極其特殊的基金。ETF的優(yōu)點是它結(jié)合了倆大類基金——封閉式和開放式的運作特點：第一、交易成本低；第二、當天可以套利；第三、具有高透明性。本文以上證50ETF為研究的對象，通過對模型中的參數(shù)進行分析來分析期權(quán)的基本信息。以Excel、MATLAB為工具，利用歷史波動率來估計標的資產(chǎn)收益率的波動率，代入B-S模型中對期權(quán)進行定價計算，并將計算出的結(jié)果與期權(quán)的市場價格進行對比，分析定價誤差（真實市場價格與B-S模型價格差）產(chǎn)生的可能原因。

關(guān)鍵詞：上證50ETF；B-S模型；期權(quán)定價

一、引言

在1970年至1980年，期權(quán)在美國率先出現(xiàn)。期權(quán)是在未來的一定時期內(nèi)可以進行買賣的權(quán)利。它是由期貨延伸而發(fā)展出來的具有衍生性質(zhì)的金融工具，是金融領(lǐng)域的創(chuàng)新型工具，因期權(quán)的有效防范風險和投機性而迅速席卷市場，引領(lǐng)金融領(lǐng)域新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。期權(quán)在其本質(zhì)上是可以對權(quán)利進行定價的工具。根據(jù)期權(quán)所賦予的買者的權(quán)利，可以將期權(quán)區(qū)分為看漲期權(quán)和看空期權(quán)——看漲期權(quán)所賦予的是購買標的資產(chǎn)的權(quán)利的，相對而言看跌期權(quán)所賦予的是賣出的權(quán)利。在1973年，首個期權(quán)的定價模型建立，它將證券的組合通過建立一個期權(quán)與其標的資產(chǎn)的組合來進行對沖，并且在均衡時，滿足無風險的利率，從這點看來它與無套利的定價思想是一致的。從B-S模型的推導(dǎo)中，我們可以得出期權(quán)的定價的本質(zhì)實際上就是無套利的定價。由此得知，在滿足無套利時，證券的組合是可以復(fù)制期權(quán)的。因為中國經(jīng)濟的迅猛發(fā)展和資本市場的快速增長，指數(shù)化的投資具有突出的優(yōu)勢——低成本和低風險。而上證50ETF，目前在中國的市場中最具代表的標的指數(shù)之一，是中國境內(nèi)的第一只ETF的跟蹤標的。本文以上證50ETF為例，通過B-S模型，對50ETF的定價進行了研究。

二、模型的建立

模型以無套利為基礎(chǔ)，在推導(dǎo)的過程中使用了偏微分方程。B-S式中最關(guān)鍵的有五個變量：標的資產(chǎn)價格S、執(zhí)行價格X、T時刻到期的無風險利率r、現(xiàn)在時刻t和 波動率σ。

運用B-S模型有七個假設(shè)前提：

①證券價格遵循幾何布朗運動

②允許賣空標的證券

③沒有交易費用和稅收，所有的證券都是完全可分的

④在衍生證券的有效期內(nèi)，標的證券沒有現(xiàn)金的收益支付

⑤不存在無風險套利機會

⑥證券的交易是連續(xù)的，價格的變動也是連續(xù)的

⑦在衍生證券的有效期中，無風險利率是常數(shù)

設(shè)S遵循了幾何維納過程，則：dS=μSdt+σSdz（1-1）

在較短的時間間隔△t中，△S為：△S=μS△t+σS△z（1-2）

設(shè)變量f是與S有關(guān)的看漲期權(quán)或者其他衍生產(chǎn)品的價格。變量f必須是S和t的函數(shù)。得到：

三、數(shù)據(jù)處理及實證研究

1.期權(quán)的基本信息（看漲）當期price=31480，距到期日為8天。

行權(quán)價到期日2.752015-6-24（8天）

2.22015-6-24（8天）2.82015-6-24（8天）

2.252015-6-24（8天）2.852015-6-24（8天）

2.32015-6-24（8天）2.92015-6-24（8天）

2.352015-6-24（8天）2.952015-6-24（8天）

2.42015-6-24（8天）32015-6-24（8天）

2.452015-6-24（8天）3.12015-6-24（8天）

2.52015-6-24（8天）3.22015-6-24（8天）

2.552015-6-24（8天）3.32015-6-24（8天）

2.62015-6-24（8天）3.42015-6-24（8天）

2.652015-6-24（8天）3.52015-6-24（8天）

2.72015-6-24（8天）3.62015-6-24（8天）

Shibor 期限Shibor 利率

隔夜期限3.52800

1周期限4.63900

2周期限5.57900

1個月期限5.58800

3個月期限5.13510

6個月期限4.74420

9個月期限4.62000

1年期限4.73040

利用歷史波動率的方法來估計標的資產(chǎn)的收益率的波動率，波動率部分數(shù)據(jù)如下，數(shù)據(jù)來源于wind資訊。

日期開盤價（元）2015-05-283.285

2015-05-153.0732015-05-293.081

2015-05-182.982015-06-013.066

2015-05-192.9462015-06-023.194

2015-05-203.0842015-06-033.205

2015-05-213.0892015-06-043.191

2015-05-223.1392015-06-053.34

2015-05-253.2372015-06-083.28

2015-05-263.3282015-06-093.459

2015-05-273.3342015-06-103.316

由價格數(shù)據(jù)取比值的對數(shù)得到收益率序列，再根據(jù)收益率序列利用excel中STDEV函數(shù)得到波動率，為0.019386009。

2.B-S模型計算期權(quán)理論價格

blsprice函數(shù)：[Call，Put] = blsprice（Price，Strike，Rate，Time，Volatility）

輸入數(shù)據(jù)，得到下表：

行權(quán)價到期日callput2752015-6-24（8天）066390

222015-6-24（8天）116070282015-6-24（8天）061870

2252015-6-24（8天）1115502852015-6-24（8天）057350

232015-6-24（8天）107040292015-6-24（8天）052840

2352015-6-24（8天）1025202952015-6-24（8天）048320

242015-6-24（8天）098032015-6-24（8天）04380

2452015-6-24（8天）093490312015-6-24（8天）034770

252015-6-24（8天）088970322015-6-24（8天）02574643E-198

2552015-6-24（8天）084450332015-6-24（8天）0167417E-84

262015-6-24（8天）079940342015-6-24（8天）00767420E-21

2652015-6-24（8天）075420352015-6-24（8天）262E-0400139

272015-6-24（8天）07090362015-6-24（8天）416E-330104

分析定價誤差（真實市場價格與B-S模型價格差）及產(chǎn)生的可能原因。從財經(jīng)類的網(wǎng)站中找出上述期權(quán)的真實價格，并作與用B-S模型求出的價格的差。結(jié)果如下：

真實的市場價格B-S模型的價格差值真實市場的價格B-S模型的價格差值

094881160702119034710618702716

09125111550203031320573502603

08654107040205026020528402682

083811025201871020760483202756

076470980215301657043802723

06992093490235701050347702427

064460889702451006210257401953

05992084450245300356016701314

054890799402505002130076700554

0495407542025880013262E-04-001274

044630709026270009416E-33-0009

039910663902648

由表格中的數(shù)據(jù)可以看出通過B-S模型對到期日較為接近的期權(quán)估價存在比較大的誤差，下面對此進行具體分析。應(yīng)用B-S模型來定價有七個假設(shè)，而在這七個假設(shè)中，有些假設(shè)在真實的市場中是無法實現(xiàn)的，它過于苛刻，因而影響了B-S模型計算得到價格的可靠程度，具體的原因分為以下幾個方面：

1）對股價分布的假設(shè)。對于該模型來說，最為核心的假設(shè)是：股票的價格的波動必須滿足布朗運動，由布朗運動可知分布是滿足對數(shù)正態(tài)的，并且也是一個連續(xù)性的隨機過程。而實際中股票的價格的變動卻不僅僅包括對數(shù)正態(tài)分布，也包括其他分布。

2）關(guān)于連續(xù)交易的假設(shè)。根據(jù)模型定價的假設(shè)條件可知：投資者是可以通過調(diào)整期權(quán)和股票之間的頭寸來得到具有無風險資產(chǎn)的組合的，但是這在實際中卻受到了多種條件的限制，如下：

①無法以相同的無風險的利率借入或者貸出資金

②股票的可分性會受到具體的情況的制約，并不是完全可分的

③調(diào)整將會增加交易的成本

因而在實際中，投資者的風險偏好必定會影響到期權(quán)的價格。

3）股票的價格離散度不變的假設(shè)。在實際中，如果股票的價格的上升，通常來說會導(dǎo)致股票價格的方差下降，并不能保證其離散度的不變。

4）不考慮交易費用和稅收的假設(shè)。在實際的交易中，一定是存在交易費用的，并且股息的派發(fā)的時間的不同和其數(shù)額的不同均會對期權(quán)的價格產(chǎn)生實質(zhì)上的影響。我們應(yīng)將這些因素加以考察，對模型進行適度的調(diào)整，使股息對期權(quán)價格的影響得以反映出來。具體來說：

若是歐洲買方期權(quán)，調(diào)整方法為：用股票的價格減去股息d得到的值來代替原先的股價，代入模型中，求出期權(quán)價格。

若是美國買方期權(quán)：

1.將股票價格減去d的替代原先的股價，代入B-S模型中，得到的是不提前執(zhí)行情況下的價格。

2.除息日前執(zhí)行。用調(diào)整后的股價代替實際的股價，距離除息日的時間代替有效的期限？股息經(jīng)調(diào)整后的執(zhí)行價格x-d來代替實際的執(zhí)行價格，同時將無風險的利率和股價的離散度等代入模型中。

3.取在上述兩種情況下的較大值作為期權(quán)的均衡價格，但是在支付股息的情況較為繁復(fù)時，調(diào)整的難度很大，不在本文的討論范圍內(nèi)。（作者單位：安徽財經(jīng)大學(xué)金融工程系）

參考文獻：

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[3]丁忠明，黃華繼.《證券投資學(xué)》第二版.高等教育出版社.2013