基于最小二乘法的曲線擬合

權(quán)開波　賈寧　杜培壽

摘要：本文介紹曲線擬合法的基本原理，利用用最小二乘法分別確定線性曲線、多項式、指數(shù)曲線的函數(shù)模型，并對模型的各個參數(shù)進行求解。并用Matlab編制程序，對樣本數(shù)據(jù)進行指數(shù)擬合與仿真。

關(guān)鍵詞：曲線擬合；最小二乘法；matlab；仿真

根據(jù)有限的離散測量點進行曲線擬合是工程實踐中經(jīng)常遇到的問題。曲線擬合是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。傳統(tǒng)的曲線擬合方法是用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)。目前，常用的曲線擬合方法有最小二乘法、遺傳算法、契比雪夫法及插值法等，這使傳統(tǒng)的方法得到了發(fā)展和改進：文獻(xiàn)[1]對多周期正弦曲線擬合以及正弦曲線的外推存在的問題進行了探討，指出正弦曲線的最小二乘多項式擬合方法的局限性，提出了一種基于傅利葉變換的頻率已知正弦曲線擬合方法。文獻(xiàn)[2]根據(jù)最小二乘原理，將樣條小波函數(shù)應(yīng)用于曲線擬合中，提出了一種新型的信號處理方法—樣條小波最小二乘法（SWLS）；文獻(xiàn)[3]在利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行曲線擬合時，提出了一種新的快速構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方法，同時針對在曲線擬合過程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些問題提出了解決方案。

本文介紹曲線擬合法的基本原理，針對樣本點的各種分布情況，采用最小二乘法的方法，選取不同的函數(shù)曲線進行擬合。

1.曲線擬合的最小二乘法

曲線擬合問題是指：通過觀察和測量得到一組離散數(shù)據(jù)序列（xi，yi），i=1，2，3···m，當(dāng)所得到數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確時，那么，構(gòu)造擬合函數(shù)ψ（x）逼近客觀存在的函數(shù)y，使得ψ（x）和y的誤差或距離最小。

常用曲線擬合標(biāo)準(zhǔn)有以下三種：

①各點誤差絕對值（1范數(shù)）的和最小，即：

R1=min∑mi=1ψ（xi）-yi

②各點誤差模的最大值（∞范數(shù)）最小，即：

R∞=min（max1≤i≤mψ（xi）-yi）

③各點誤差的平方和最小，即：

R=min∑mi=1[ψ（xi）-yi]2

數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法問題是：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)組（xi，yi），i=1，2，3···m，選取近似函數(shù)形式，即給定函數(shù)類H，求函數(shù)ψ（x）∈H，使得

∑ni=1[ψ（xi）-yi]2=minφ∈H∑mi=1[φ（xi）-yi]2

這種求近似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法，函數(shù)ψ（x）稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘函數(shù)[4]。

2.曲線擬合

2.1線性擬合

對給定的數(shù)據(jù)組（xi，yi），i=1，2，3···m，求一條直線：p（x）=a+bx，按最小二乘法的求作方法，擬合直線與定標(biāo)曲線相應(yīng)點輸出量偏差的平方和為最小。有多元函數(shù)的極值原理，minQ（a，b）的極小值要滿足：

Q（a，b）a=2∑mi=1（a+bxi-yi）·1=0Q（a，b）b=2∑mi=1（a+bxi-yi）·xi=0

整理得到滿足最小均方差的正則方程，用消元法或者克萊姆方法解出方程，得方程（1）：

a=1D（∑mi=1yi∑mi=1x2i-∑mi=1xi∑mi=1xiyi）b=1D（m∑mi=1xiyi-∑mi=1xi∑mi=1yi）

其中，D=m∑mi=1x2i-（∑mi=1xi）2。

2.2多項式擬合[4]

對給定的數(shù)據(jù)組（xi，yi），i=1，2，3···m，求一個n的多項式（n

ma0 + a1 ∑mi = 1xi + ··· + an ∑mi = 1xni = ∑mi = 1yi a0 ∑mi = 1xi + a1 ∑mi = 1x2i ··· + an ∑mi = 1xn + 1i = ∑mi = 1yi xi ···a0 ∑mi = 1xni + a1 ∑mi = 1xn + 1i ··· + an ∑mi = 1x2ni = ∑mi = 1yi xni

由函數(shù)組1，x，x2，···xm的線性無關(guān)性可證明，方程組存在唯一的解，且解所對應(yīng)的多項式必定是已給數(shù)據(jù)組的最小二乘法n次擬合多項式。

2.3指數(shù)擬合

如果數(shù)據(jù)組（xi，yi），i=1，2，3···m的分布近似指數(shù)曲線，則擬合時可用指數(shù)函數(shù)y=a·ebx。先將曲線方程線性化，兩邊取對數(shù)得：lny=lnb+ax（1），分別命Y=lny，A=lnb，則方程（1）可寫成Y=A+ax，再用最小二乘法按直線擬合的原理求出A，進而b=eA可求。

3.matlab仿真

采用Basic，C等編程語言來實現(xiàn)曲線擬合，需要編寫非常復(fù)雜的算法程序，而Matlab 語言是集數(shù)值計算、符號運算和圖形處理等強大功能于一體的科學(xué)計算語言，適用于工程應(yīng)用各領(lǐng)域的分析、設(shè)計和復(fù)雜計算。在此方面，Mat lab 具有一般高級語言無法比擬的優(yōu)勢。

在經(jīng)濟統(tǒng)計中的某商品銷售量預(yù)測或者人口統(tǒng)計中的短期人口測算等等，都可以用指數(shù)函數(shù)來擬合，如表1為某疾病發(fā)病率與年齡段的關(guān)系。

表1某疾病發(fā)病率與年齡段的關(guān)系

x12345678y0.8982.383.071.842.021.942.222.77x9101112131415y4.024.675.466.5310.916.522.5

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，建立以x為橫坐標(biāo)， y為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系，用Matlab軟件把各x、y的值作為坐標(biāo)點，畫出這些點。在根據(jù)指數(shù)曲線擬合原理，可以求出A=-0.0910，a=0.1824，則作出函數(shù)圖象如圖1所示。

圖1指數(shù)擬合仿真結(jié)果圖

4.結(jié)束語

在通常的數(shù)據(jù)處理中，不論是線性擬合，還是多項式擬合，至相當(dāng)一部分經(jīng)變換可轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性擬合的非線性擬合，都可采用最小二乘法的原理來進行曲線擬合，并且基于最小二乘曲線擬合及Matlab實現(xiàn)方法簡明、適用，可應(yīng)用于類似的測量數(shù)據(jù)處理和實驗研究。（作者單位：中國農(nóng)業(yè)銀行青海分行西寧支行）

參考文獻(xiàn)：

[1]齊國清，呂健.正弦曲線擬合若干問題探討[J].計算機工程與設(shè)計，2008，29（14）：3677-3680.

[2]鄭小萍，莫金垣，謝天堯.一種新型的曲線擬合技術(shù)在分析信號處理中的應(yīng)用[J].計算機與應(yīng)用化學(xué)，1999，16（5）：371-372.

[3]包健，趙建勇，周華英. 基于BP網(wǎng)絡(luò)曲線擬合方法的研究[J].計算機工程與設(shè)計，2005，26（7）：1840-1848.