對(duì)高等數(shù)學(xué)建模最優(yōu)化理論的探究

董晴

摘 要：數(shù)學(xué)建模就是要對(duì)一個(gè)實(shí)際存在的問題做出必要的簡(jiǎn)化與假設(shè)，將其轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并且利用各種數(shù)學(xué)方法及公式精確的或近似的解決該問題，并且達(dá)到利用數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)該實(shí)際的問題進(jìn)行解釋和回答，以及接受客觀實(shí)際的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著無(wú)與倫比的重要作用，并且在廣度和深度上還可以滲透到了新的領(lǐng)域中，如，軍事、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、生物、環(huán)境、人口、金融等等。因此，在現(xiàn)代高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)中，數(shù)學(xué)優(yōu)化建模的問題已經(jīng)成為了重要組成部分。在此，對(duì)最優(yōu)化的理論在求解數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用做了實(shí)際的探討。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)化理論 數(shù)學(xué) 建模 探究

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）09（a）-0236-02

1 建模與最優(yōu)化

1.1 建模的含義與意義

數(shù)學(xué)中所說的建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的表達(dá)方式將客觀存在的問題描述出來的整個(gè)過程。在這個(gè)描述的過程中，最重要的就是“建”，應(yīng)該讓學(xué)生的創(chuàng)造性思維在這一過程中被激發(fā)出來。建模不僅僅只是停留在數(shù)學(xué)知識(shí)上，而且它還在現(xiàn)實(shí)世界上更具有重要意義。

從傳統(tǒng)來看在普通的工程技術(shù)方面，數(shù)學(xué)建模已然擁著有很重要的地位。但是，隨著社會(huì)科技的發(fā)展，一些新技術(shù)的出現(xiàn)，例如：軍事、醫(yī)院、經(jīng)濟(jì)、生物等，這些新技術(shù)的出現(xiàn)往往伴隨著新的問題產(chǎn)生。普通的數(shù)學(xué)模型顯然已經(jīng)不能解決這些新出現(xiàn)的新問題，如果能夠?qū)?shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬相結(jié)合產(chǎn)生的CAD技術(shù)廣泛應(yīng)用起來便可以輕松的解開這些問題。由于其速度快、方便、實(shí)用等特點(diǎn)已經(jīng)廣泛的替代了傳統(tǒng)手段。在高新技術(shù)方面，數(shù)學(xué)建模是不能被其他方式方法所替代的。

1.2 建模的基本方法

在數(shù)學(xué)建模的過程中可以運(yùn)用的方式很多，如，類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數(shù)學(xué)規(guī)劃、機(jī)理分析、排隊(duì)方法、對(duì)策方法等等，在這里只簡(jiǎn)單介紹三種常見方法。

（1）機(jī)理分析法：從認(rèn)識(shí)每件事物本質(zhì)的不同開始，找到能夠反應(yīng)事物內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律。值得注意的一點(diǎn)是，機(jī)理分析并沒有固定的模式的，是需要結(jié)合實(shí)際案例來進(jìn)行科學(xué)的研究。

（2）測(cè)試分析法：經(jīng)過多次反復(fù)的試驗(yàn)和分析，從中找到與提供的數(shù)據(jù)最為符合的模型。

（3）二者結(jié)合：選擇機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，選擇測(cè)試分析找到模型參數(shù)。

1.3 數(shù)學(xué)建模的步驟

確定一個(gè)數(shù)學(xué)模型的辦法不只一個(gè)，根據(jù)問題的不同，就要學(xué)會(huì)選擇建模的方式。即便是相同的問題也要從多個(gè)角度考慮，能夠建立出多個(gè)不相同的數(shù)學(xué)模型，具體建模的方法和步驟如下。

第一，模型準(zhǔn)備。如果要對(duì)一個(gè)問題建立數(shù)學(xué)模型，必須要提前了解該次建模所要達(dá)到的目的，然后要盡可能多的收集與之相關(guān)的問題進(jìn)行分析，深入細(xì)致的調(diào)查與研究，盡量避免可能會(huì)發(fā)生的錯(cuò)誤。

第二，模型假設(shè)。一般情況下一個(gè)實(shí)際問題會(huì)涉及到很多因素，但是要想轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際數(shù)學(xué)問題，不需要各個(gè)方面都考慮到，只需要抓住其中的主要因素，對(duì)其進(jìn)行與實(shí)際想吻合的假設(shè)即可。

第三，模型建立。要以實(shí)際問題的特征為依據(jù)，用數(shù)學(xué)工具根據(jù)已有的知識(shí)和搜集的信息進(jìn)行建立正確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，要明確決定使用的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)工具的類型。只要能夠達(dá)到最終所要的目的，選擇的數(shù)學(xué)方法越簡(jiǎn)單越有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

第四，模型求解根據(jù)前幾步所得到的資料，可以利用各種數(shù)學(xué)上的方式方法進(jìn)行求解。在這個(gè)過程中，可以充分使用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)等輔助工具。

第五，模型分析、檢驗(yàn)。在得出結(jié)論后，要將結(jié)論與事實(shí)進(jìn)行比對(duì)，避免造成過大誤差，以確保模型的合理性、準(zhǔn)確性以及適用性。如果與事實(shí)一樣，就可以進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用。反之，則修改，重新建模。

事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中的問題是復(fù)雜多樣的，甚者有時(shí)千差萬(wàn)別，有時(shí)必然事件和偶然事件會(huì)共同存在其中。在探索某件事情的過程中，因?yàn)槠洳粩嗟刈兓?，所以一般不能輕易的求得變量之間存在的關(guān)系，建立方程。所以，在錯(cuò)綜復(fù)雜的變量中，一定要要能夠從這些變量中選擇主因，確定變量，找出其中真正存在的隱含聯(lián)系。

1.4 最優(yōu)化的含義

最優(yōu)化技術(shù)是近期發(fā)展的一個(gè)重要學(xué)科分支，它可以用在多種不同的領(lǐng)域，例如：經(jīng)濟(jì)管理、運(yùn)輸、機(jī)械設(shè)計(jì)等等。最優(yōu)化的目標(biāo)是要從這些多種辦法中選出最簡(jiǎn)便的辦法，將這個(gè)可以最簡(jiǎn)便達(dá)到目標(biāo)的辦法就叫做最優(yōu)方案，尋找的這個(gè)最佳方法叫做最優(yōu)化方法，關(guān)于這個(gè)方法的數(shù)學(xué)理論就叫做最優(yōu)化論。在這個(gè)過程中必須要有兩個(gè)方面：第一，是可行的方法；第二，是所要達(dá)到的目標(biāo)。第二點(diǎn)是第一點(diǎn)的函數(shù)，如果可行的方法不存在時(shí)間問題，就叫做靜態(tài)最優(yōu)化問題，如果與時(shí)間相關(guān)，稱之為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題。

在日常生活和學(xué)習(xí)中，能用到最優(yōu)化的有兩個(gè)方面：一是在實(shí)際生活中所遇到的生產(chǎn)和科技問題，需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。二是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所遇到的數(shù)學(xué)問題。如果我們單純要解決第二類問題的話，資料已經(jīng)足夠的完善了。但是生活中多數(shù)屬于第一類問題，是沒有資料能夠依靠的。而能夠找到最優(yōu)化解是實(shí)際問題中最重要的一步，否則技術(shù)的發(fā)展將十分困難。

2 建模最優(yōu)化的應(yīng)用

想要在實(shí)際中應(yīng)用最優(yōu)化方法，總共有兩個(gè)基本步驟：第一，要把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)模型建立出來，也就是用數(shù)學(xué)建模的方法建立解決問題的優(yōu)化模型。第二，優(yōu)化模型建設(shè)之后，要利用數(shù)學(xué)方法和工具解開模型。優(yōu)化建模方法與一般數(shù)學(xué)建模有一定的相同之處，但是優(yōu)化模型更有其特殊之處，所以，優(yōu)化建模必須要將其特殊性和專業(yè)性相結(jié)合。同時(shí)，在解釋問題的過程中也一定要注意將客觀實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來。

同一個(gè)問題要通過不同的數(shù)學(xué)建模進(jìn)行解決，得到更多的“最優(yōu)解”，從而從其中挑選出最大價(jià)值的答案。所以說，只有建立獨(dú)特的模型才能得到最大的創(chuàng)新價(jià)值。

典型的最優(yōu)化模型可以描述成如下形式：

Min{f（X）|X∈D}

其中，X=（x1，x2，…xn）T為一組決策變量，xi（i=1，…，n）通常在實(shí)數(shù)域R內(nèi)取值，稱決策變量的函數(shù)f（X）為該最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)；為n維歐式空間Rn的某個(gè)子集，通常由一組關(guān)于決策變量的等式或不等式描述，比如：

Minf（X）

s.t.Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）

Ci（X）=0（I=m1+1，…m）

這時(shí)，稱模型中關(guān)于決策變量的等式或不等式Ci（X）≥0（i=1，2，…m1）、Ci（X）=0（I=m1+1，…m）為約束條件，而稱滿足全部約束條件的空間Rn中的點(diǎn)X為該？

模型的可行解，稱

即由所有可行解構(gòu)成的集合為該模型的可行域。

稱X∈D為最優(yōu)化模型Min{f（X）|X∈D}的（全局）最優(yōu)解，若滿足：對(duì)X∈D。

均有f（X*）≤f（X），這時(shí)稱X*∈D處的目標(biāo)函數(shù)值f（X*）為最優(yōu)化模型。

Min{f（X）|X∈D}的（全局）最優(yōu)值；稱X*∈D為最優(yōu)化模型Min{f（X）|X∈D}的局部最優(yōu)解，若存在δ>0，對(duì)X∈D∩{X∈Rn| }。

均有f（X*）≤f（X）。（全局）最優(yōu)解一定是局部最優(yōu)解，但反之不然。

數(shù)學(xué)建模以“建”字為中心，最重要的一點(diǎn)還在于如何將建立起來的數(shù)學(xué)模型利用數(shù)學(xué)工具求解，現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型往往涉及的無(wú)非是一個(gè)最優(yōu)化問題，在原有現(xiàn)實(shí)給予的條件中，怎樣得到最優(yōu)解實(shí)際中最優(yōu)化問題表現(xiàn)形式如下。

minf（X）

s. t.AX≥b.

以目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)存在的特征，這些問題可以分成各種類型，例如：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等。但是，不管問題怎樣變化，除去簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論解決辦法和微分方程理論的話，最終只能選擇最優(yōu)化理論方式來解決這個(gè)問題。

在平時(shí)的生活中，最優(yōu)化理論通常只會(huì)出現(xiàn)在管理科學(xué)和生活實(shí)踐中的應(yīng)用，而線性規(guī)劃問題是因?yàn)楦鱾€(gè)方面都已經(jīng)成熟，所以被人們廣泛接受。因此，目前對(duì)非線性規(guī)劃理論和其它優(yōu)化問題探索較多。還記得高中的時(shí)候解決非線性的函數(shù)都是通過局部線性化來使問題簡(jiǎn)單化，現(xiàn)在解決非線性規(guī)劃問題也是一樣的，盡量將非線性規(guī)劃問題局部線性化來解決。

下面求解指派問題最優(yōu)化的例子。

例：分別讓小紅、小蘭、小新、小剛4人完成A、B、C、D4項(xiàng)工作，各自完成各項(xiàng)工作所需要的時(shí)間如表1所示，現(xiàn)在應(yīng)該如何安排他們4人完成各項(xiàng)工作，使得消耗的時(shí)間最短？

這類問題顯而易見的就是指派問題 ，而經(jīng)過建立模型后我們也會(huì)很清楚的意識(shí)到匈牙利算法是解決指派問題最簡(jiǎn)單的算法。如果用一般的方法求解，在這個(gè)過程中很可能遇到求解整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法或是求解0-1規(guī)劃的隱枚舉法，這個(gè)求解方式將會(huì)非常復(fù)雜。所以，可見所建立的數(shù)學(xué)模型非常關(guān)鍵。

下面采用匈牙利方式求解。

如此得到的最優(yōu)指派方式是：小紅→D、小蘭→B、小新→A、小剛→C。

通過求解上面這個(gè)最優(yōu)指派問題，讓我們了解了運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單方式。模型求解成為數(shù)學(xué)建模之后最重要的一步，并且也是到了考驗(yàn)是否能對(duì)最優(yōu)化理論知識(shí)完整求解的時(shí)候。同時(shí)，也通過上面的例子，解釋了數(shù)學(xué)建模在解決最優(yōu)化的實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用。該文所分析的例子只是數(shù)學(xué)建模中的一個(gè)代表性的應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模與平時(shí)生活所遇到的一些事物之間的聯(lián)系是息息相關(guān)的，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，相信數(shù)學(xué)建模思想越來越得到廣泛的應(yīng)用。

綜上所述，在數(shù)學(xué)建模和最優(yōu)化理論之間，二者是相輔相成、密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)建模的過程不能離開最優(yōu)化理論，最優(yōu)化理論也需要建模的支持。數(shù)學(xué)模型在產(chǎn)生于生活和實(shí)踐中，模型也會(huì)隨著事物的改變而越來越復(fù)雜。因此，最優(yōu)化理論也會(huì)根據(jù)模型建立的不斷發(fā)展越來越完善。從另一方面看，最優(yōu)化理論的不斷完善也會(huì)影響著數(shù)學(xué)模型不斷地提高與優(yōu)化，為解決客觀問題提供最為重要的一步。但是，距離目標(biāo)還是有一定的距離，同時(shí)也顯現(xiàn)出了這其中所包含的一些問題，比如說數(shù)學(xué)建模被其他專業(yè)接受的力度不夠，受益面小等。要想解決這些問題，就必須對(duì)優(yōu)化建模進(jìn)行深一步的改革與探索。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 王慧群.淺談數(shù)學(xué)建模及其特點(diǎn)[J].晉東南師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001（3）：29-30.

[3] 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.