例談構(gòu)造輔助函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

摘 要：函數(shù)思想是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題方式的最有機(jī)組成部分，構(gòu)造函數(shù)的方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，使用構(gòu)造函數(shù)的方法，構(gòu)思巧妙，方法簡(jiǎn)便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果，從問(wèn)題的本身的特點(diǎn)出發(fā)，創(chuàng)造性的構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、可導(dǎo)性以及函數(shù)圖像的特征來(lái)解決問(wèn)題。該文從構(gòu)造的視角出發(fā)，就構(gòu)造輔助函數(shù)這一思想在不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、方程根的存在性等方面的具體應(yīng)用中去觀察、分析、解決問(wèn)題中探討，通過(guò)典型例題的解決，以求給人一些啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法 輔助函數(shù) 特征函數(shù) 方程根的存在性

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）09（c）-0134-02

構(gòu)造法是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用通常方法按照定向思維難以解決問(wèn)題時(shí)，再根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，利用新的觀點(diǎn)去觀察、分析、理解條件，把握反映問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用問(wèn)題的數(shù)據(jù)、外形、坐標(biāo)等特征，運(yùn)用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而，使原問(wèn)題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清晰地展現(xiàn)出來(lái)，并借助數(shù)學(xué)工具方便快速的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。

1 構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性

有些不等式的證明和比較大小等問(wèn)題，如果能根據(jù)其問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)性或者最值入手，再去分析、推理，判斷，證明過(guò)程可能就會(huì)變得既簡(jiǎn)單又明了。

例1 ：若要證明下面數(shù)學(xué)中常用的兩個(gè)常用的重要極限公式

（1）；（2）（變形）

只需要證明一下兩個(gè)不等式，當(dāng)時(shí)，

（1）；（2）（當(dāng)時(shí)，

）。

以下是用通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法給出上面兩個(gè)不等式的證明。

（1）構(gòu)造輔助函數(shù)，則≥0，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即。

（2）構(gòu)造輔助函數(shù)，則

。所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即，要證不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證事實(shí)上：可設(shè)則因此得不等式，可構(gòu)造輔助函數(shù)下面證明需要函數(shù)在上恒大于0。因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)遞增，從而使得即所以因此證畢。

說(shuō)明：有些不等式的證明，如果采用常規(guī)方法，往往不容易下手或者比較冗繁，但是若從函數(shù)思想的角度去考慮，按照函數(shù)的某些性質(zhì)適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)模型，從而就能使問(wèn)題就可能變得容易解決。

2 構(gòu)造特征函數(shù)，巧妙證明不等式

不等式的證明是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，除了教材上常見(jiàn)的比較法、分析法、綜合法、反證法外，若能根據(jù)試題形式結(jié)構(gòu)的特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)、對(duì)稱性、可導(dǎo)性等等方面入手分析，就有可能進(jìn)行快速準(zhǔn)確的證明，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力又解決了不等式的證明問(wèn)題。

例2：已知為正實(shí)數(shù)，證明：≥

證明：可設(shè)，即可構(gòu)造特征函數(shù)，由于為正實(shí)數(shù)，可得≥，由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，不等式證畢。

說(shuō)明：利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，解題的關(guān)鍵在于能夠敏銳的觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想并構(gòu)造合適的函數(shù)，由于不等式和函數(shù)之間并沒(méi)有直接的相關(guān)關(guān)系，因此，究竟應(yīng)該如何尋找解題的突破口，如何構(gòu)造合理可行的函數(shù)，也就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，該例題為證明不等式，在這里借助構(gòu)造特征函數(shù)的方法進(jìn)行處理，首先巧妙構(gòu)造特征函數(shù)，再利用其單調(diào)性進(jìn)行問(wèn)題的證明，實(shí)際效果絕佳，思路既清晰又簡(jiǎn)潔[1]。

3 構(gòu)造類型特征函數(shù)，巧解三角函數(shù)不等式

在不等式的證明中三角函數(shù)不等式也是常見(jiàn)的類型，抓住三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性這些特殊性質(zhì)。在解題過(guò)程中只要充分利用三角函數(shù)的這些特殊性質(zhì)就可以既輕松又快速的解決問(wèn)題。

例3：設(shè)，試證

≥0。

解析：可將原式等價(jià)轉(zhuǎn)化為

≤

即證不等式：≥，從而可由構(gòu)造特征函數(shù)，因此只需通過(guò)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，從而可證明函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，即：可完成上式的證明。

說(shuō)明：在日常的教學(xué)活動(dòng)中，要注意積累素材，一定要熟悉典型的函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生的“類型題”的意識(shí)，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考的習(xí)慣，這樣才能在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，才能做到游刃有余，構(gòu)造最合適的函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題[2]。

4 方程根的存在性的證明

例4：證明方程：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的實(shí)根。

解析：由題意可構(gòu)造函數(shù)，判斷該函數(shù)在題目要求的區(qū)間內(nèi)滿足根的存在性定理，那么就能說(shuō)明在此區(qū)間內(nèi)至少存在有根，若再能證明在該范圍內(nèi)此函數(shù)是單調(diào)的，即可說(shuō)明根的唯一性。

證明：令函數(shù)

因?yàn)?，，所以，由根的存在性定理可知：至少存在一點(diǎn)，滿足又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。故在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即，此方程存在有唯一的根的證，證畢。

說(shuō)明：零點(diǎn)定理是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，使用此定理，能快速準(zhǔn)確的解決很多復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此要重視培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣利用定理、性質(zhì)等數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題[3]。

總之，函數(shù)思想是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)做工具去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。一個(gè)人僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，他在解決問(wèn)題時(shí)往往是被動(dòng)的，而建立了函數(shù)思想，才能主動(dòng)的去思考一些問(wèn)題。因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)是基本的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造的對(duì)象和類型可以是多樣的，由于構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，對(duì)個(gè)人的能力要求特別高并且構(gòu)造思路又因不同的題型而不同，所以要求我們從問(wèn)題的實(shí)際出發(fā)，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，打破思維常規(guī)創(chuàng)造性利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決新的問(wèn)題[4]。

參考文獻(xiàn)

[1] 祁祺.巧借構(gòu)造函數(shù)破解高中數(shù)學(xué)難題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）：92-93.

[2] 毛巨根.證明不等式的一種巧妙方法[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（9）：21-25.

[3] 王琪.構(gòu)造函數(shù)，探索解題新路[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2005（2）：26-27.

[4] 周學(xué)良.新課標(biāo)下中職數(shù)學(xué)教師的角色轉(zhuǎn)變[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（19）：51.