角接觸球軸承的罰函數(shù)粒子群算法優(yōu)化設(shè)計(jì)

胡啟國，杜春超，吳明欽，楊學(xué)蛟，曹歷杰

(1. 重慶交通大學(xué)，機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074； 2. 川慶鉆探工程公司 安全環(huán)保質(zhì)量監(jiān)督檢測研究院， 四川 廣漢 618300)

0 引 言

雙列角接觸球軸承被廣泛運(yùn)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，高效、安全運(yùn)行能直接保障系統(tǒng)的正常運(yùn)行，因此開展雙列角接觸球軸承優(yōu)化研究具有一定的意義。

目前，很多學(xué)者對軸承進(jìn)行了研究，分別從軸承的結(jié)構(gòu)、失效機(jī)理和可靠性[1]等方面出發(fā)，考慮不同因素對軸承性能的影響。軸承結(jié)構(gòu)復(fù)雜，優(yōu)化參數(shù)能使軸承具有更好的性能。黃鵬等[2]以單位承載能力下總功率損失最小作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對磨床砂輪主軸靜壓軸承進(jìn)行優(yōu)化，明顯改善了軸承的綜合性能；馮吉路等[3]提出以軸承最小生熱率為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用Kriging算法和粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)相結(jié)合的混合算法對軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，取得了較好的設(shè)計(jì)結(jié)果，提高了設(shè)計(jì)效率；考慮粒子群算法在目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜時，其容易陷入局部最優(yōu)解，尤其是當(dāng)目標(biāo)函數(shù)存在多峰極值時，更易陷入局部最優(yōu)的情況，徐向陽等[4]提出了一種改進(jìn)自適應(yīng)權(quán)重PSO算法，并利用懲罰函數(shù)處理約束問題，對行星齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后具有更高的傳動效率；李奇等[5]提出多目標(biāo)優(yōu)化方法，采用改進(jìn)粒子群算法對混合動力系統(tǒng)重量和體積的多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)匹配計(jì)算，得到了最優(yōu)解；羅天宇等[6]推導(dǎo)了角接觸球軸承的軸向剛度計(jì)算公式，并以軸承剛度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明，在滿足壽命的前提下，適當(dāng)增加滾珠直徑減少滾珠數(shù)量；程超等[7]建立了雙列角接觸球軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，采用免疫算法對其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過遺傳算法對比分析，其優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于遺傳算法。利用傳統(tǒng)粒子群算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，粒子向個體最優(yōu)位置、全局最優(yōu)位置移動的速度較緩慢，影響尋優(yōu)效率，且當(dāng)存在多目標(biāo)優(yōu)化問題時，傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)解等問題。

因此，筆者采用罰函數(shù)改進(jìn)粒子群算法，以軸承額定動載荷和額定靜載荷多目標(biāo)函數(shù)，對雙列角接觸球軸承結(jié)構(gòu)主要參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。首先，建立軸承多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用線性加權(quán)和法，解決粒子群算法在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題上的缺陷；其次，在PSO中引入粒子隨機(jī)衰減因子，加快收斂速度，提高算法的全局搜索能力。最后，引入罰函數(shù)來處理約束問題，較好地實(shí)現(xiàn)了軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)，使額定動載荷和額定靜載荷得到了較大提高。

1 軸承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

在滾動軸承服役過程中，高額定靜載荷能改善軸承的承載能力和運(yùn)行平穩(wěn)性，能有利于延長軸承的疲勞壽命。因此，尋求軸承最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)過程中，不僅要考慮軸承的動載荷疲勞失效，還需要考慮靜載荷不足引起的塑形變形失效，提高軸承承載能力和抗沖擊載荷的能力。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)是在不改變軸承裝配尺寸下，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，通過求解目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)的軸承參數(shù)組合。筆者以基本額定動載荷和基本額定靜載荷為軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。

軸承的額定動載荷公式[8]如式(1)：

(1)

式中：bmov為動載系數(shù)；軸承列數(shù)l=2；接觸角α=30°；Z為單列滾珠數(shù)；dg為滾珠直徑；fc為其它相關(guān)系數(shù)(軸承類型、幾何參數(shù)等)，其一般表達(dá)式[9]為：

(2)

式中：γ為幾何參數(shù)，γ=dgcosα/Dgp；Dgp為滾珠的節(jié)圓直徑；fi、fe分別為內(nèi)、外滾道溝曲率半徑系數(shù)。

當(dāng)軸承滾珠直徑大于25.4 mm時，式(1)不再適用于計(jì)算軸承的額定動載荷。根據(jù)美國國家標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(ANSI)的推薦，球徑dg的冪指數(shù)由1.8改為1.4。而本研究中的球徑均未超過25.4 mm，根據(jù)式(1)計(jì)算是合理的。

由軸承設(shè)計(jì)理論和相關(guān)經(jīng)驗(yàn)可知，軸承內(nèi)滾道和滾珠的接觸應(yīng)力通常大于軸承外滾道和滾珠的接觸應(yīng)力。因而以內(nèi)圈和滾動體的接觸應(yīng)力來確定球軸承額定靜載荷，軸承的基本額定靜載荷計(jì)算公式[9]如式(3)：

(3)

軸承在使用時對軸承的額定動載荷和額定靜載荷均有要求，只是在具體實(shí)際問題中所占的權(quán)重各不一樣。因此以C1為優(yōu)化對象，其表示額定動、靜載荷的加權(quán)和，表達(dá)式為：

C1=β1C+β2Co

(4)

式中：β1、β2分別為C和Co的加權(quán)系數(shù)，滿足β1+β2=1。

滾動體和內(nèi)圈的曲率差[9]計(jì)算如式(5)：

(5)

式中：ρⅠ1表示滾動體表面接觸點(diǎn)的第Ⅰ主曲面曲率；ρⅠ2表示內(nèi)圈滾道表面接觸點(diǎn)的第Ⅰ主曲面曲率；ρⅡ1表示滾動體表面接觸點(diǎn)的第Ⅱ主曲面曲率；ρⅡ2表示內(nèi)圈滾道表面接觸點(diǎn)的第Ⅱ主曲面曲率；∑ρ表示曲率和。曲率和∑ρ計(jì)算公式如式(6)：

(6)

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各優(yōu)化目標(biāo)之間往往會相互矛盾。由式(1)～(3)可以看出，滾珠直徑和個數(shù)對軸承的額定動載荷和額定靜載荷影響各不相同，滾珠直徑對于軸承的額定動載荷影響較大，而滾珠個數(shù)對于軸承的額定靜載荷影響較明顯。因此，為了同時提高軸承的額定動載荷和額定靜載荷，必須要在滾珠的大小和個數(shù)之間作出折中。

1.2 設(shè)計(jì)變量

軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)主要包括fi、fe、Z、dg和Dgp，將上述參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，如式(7)：

X=[x1,x2,x3,x4,x5]=[fi,fe, Z,dg,Dgp]

(7)

1.3 約束條件

軸承的主要參數(shù)優(yōu)化變量應(yīng)該滿足如下條件：

1)滾道溝曲率半徑約束

滾道溝曲率半徑系數(shù)與軸承軸徑向剛度、游隙、接觸角、摩擦力矩和保持架滑動率等密切相關(guān)，是影響軸承動態(tài)性能的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。文獻(xiàn)[10]指出，曲率半徑取值應(yīng)滿足小于0.535dg的條件。所以，約束條件如式(8)：

(8)

對于溝曲率半徑小于0.515dg的軸承設(shè)計(jì)，通常只要對其它4個結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)即可。

2)滾珠直徑約束

Kg,min(D-d)/2≤dg≤Kg,max(D-d)/2

(9)

式中：Kg,min為直徑約束最小值；Kg,max為直徑約束最大值；D為外徑；d為內(nèi)徑。滾珠直徑約束條件為：

(10)

3)保持架力學(xué)性能約束

為了使軸承具有較好的力學(xué)性能，應(yīng)保證軸承內(nèi)部滾珠數(shù)量，但保持?jǐn)?shù)量充足的同時會造成保持架過梁寬度之間的矛盾。因此，對保持架進(jìn)行約束條件如式(11)[10]：

u5(X)=πDgp-1.05dgZ-Zbmin≥0

(11)

4)滾珠組節(jié)圓直徑約束

為了保證軸承運(yùn)行過程的旋轉(zhuǎn)靈活度，滾珠組節(jié)圓直徑與軸承平均直徑的差值不宜過大。因此，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時，節(jié)圓直徑應(yīng)大于軸承平均直徑，約束條件為：

(12)

5)外圈壁厚約束

參考軸承設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，軸承外圈溝底壁厚度應(yīng)大于ξdg，其中，ξ為常數(shù)。約束條件如式(13)：

u8(X)=(D-Dgp-dg)/2-ξdg≥0

(13)

綜合以上分析及約束，可以得出角接觸球軸承主要參數(shù)設(shè)計(jì)多目標(biāo)優(yōu)化模型：

(14)

式中：f1(X)、f2(X)為第一、第二優(yōu)化目標(biāo)。

2 計(jì)算方法和程序

2.1 粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在每次迭代過程中，粒子個體和群體之間的位置和速度按照式(15)進(jìn)行更新：

(15)

在PSO中，慣性權(quán)重ω為關(guān)鍵參數(shù)，較大的ω全局搜索能力增強(qiáng)，局部搜索能力降低，反之亦然，通過控制ω可以調(diào)整全局和局部搜索能力。在自適應(yīng)粒子群算法中，ω為變量，是進(jìn)化代數(shù)的減函數(shù)，ω隨著進(jìn)化代數(shù)的增加而線性遞減，即：

(16)

式中：Tmax為最大迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

通過對PSO算法進(jìn)行改進(jìn)，增加隨迭代次數(shù)改變的粒子隨機(jī)衰減因子α、表示收斂速度快慢的參數(shù)β和表達(dá)更新常數(shù)μ，同時賦予其初始狀態(tài)參數(shù)值[5]，其中α可以表示為：

αk+1=αk·μ,α∈[0,1]

(17)

即每次迭代過程的α值滿足μ倍等比關(guān)系。

改進(jìn)粒子位置的更新過程為：

(18)

式中：r為隨機(jī)數(shù)；S為取值區(qū)間大小。

2.2 懲罰函數(shù)

懲罰函數(shù)作為目前主要的約束優(yōu)化處理方法之一，其核心思想是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題來求解，對不符合約束條件和試圖穿越約束邊界的非可行點(diǎn)予以懲罰，使其往可行域靠近。其構(gòu)造思想是在原目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰項(xiàng)，從而得到一個增廣目標(biāo)函數(shù)，由此將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。

對于優(yōu)化問題〈A，f〉中，A為約束條件的可行解，f:A→Rn為目標(biāo)優(yōu)化對象，所以得出目標(biāo)對象minf(x)求解表達(dá)式：

(19)

式中：Gj(x)≥0(j=1,2,…,m)為約束條件，其中，約束Gj(x)≥0與min[0,Gj(x)]=0等價。所以，可進(jìn)行約束問題的等價替換，得出：

minf(x),x∈Rn

(20)

s.t. min[0,gj(x)]=0,j=1,2,…,m

(21)

(22)

式中：F(x,M)為懲罰函數(shù)；M為懲罰因子，是非負(fù)常數(shù)；Mp(x)為懲罰項(xiàng)；p(x)為懲罰函數(shù)。只要M值較大，則F(x,M)的最優(yōu)解與約束問題的最優(yōu)解相近。因此，將求解約束極值的問題轉(zhuǎn)化為求解無約束極值問題。

2.3 罰函數(shù)粒子群算法基本步驟

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法原理，采用懲罰函數(shù)處理角接觸球軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件，確保其目標(biāo)函數(shù)的解在合理區(qū)間內(nèi)，提高求解精度，罰函數(shù)粒子群算法的優(yōu)化流程如圖1。

圖1 PSO算法求解流程Fig. 1 PSO algorithm solution flow chart

具體步驟如下：

Step 1粒子群初始化：粒子數(shù)N，學(xué)習(xí)因子c1和c2，最大權(quán)重ωmax，最小權(quán)重ωmin，最大迭代次數(shù)Tmax，罰因子M等，隨機(jī)生成粒子種群。

Step 2根據(jù)懲罰函數(shù)懲罰，用隨機(jī)性衰減因子α增加粒子在邊界區(qū)間的隨機(jī)性。

Step 4根據(jù)式(16)更新慣性權(quán)重ω，采用新的慣性權(quán)重ω得到當(dāng)前粒子位置和速度。

Step 5判斷更新后粒子的位置是否滿足約束條件，若不滿足要求則返回Step 2，反之則以更新后的位置作為全局最優(yōu)。

Step 6運(yùn)行至設(shè)定的最大循環(huán)次數(shù)Tmax，得到全局最優(yōu)結(jié)果。

3 算例分析

3.1 罰函數(shù)粒子群算法求解

為了驗(yàn)證筆者提出的罰函數(shù)改進(jìn)粒子群算法的可行性，選取型號為3210的角接觸球軸承，開展以額定動、靜載荷為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化分析。軸承內(nèi)、外徑分別為50、90 mm。約束條件相關(guān)系數(shù)為bmin=0.1dg,Kg,min=0.45，Kg,max=0.6，ε=0.55，ξ=0.3。

罰函數(shù)粒子群算法的控制參數(shù)有粒子群大小N=20，學(xué)習(xí)因子采用標(biāo)準(zhǔn)值c1=c2=2，最大權(quán)重ωmax=0.9，最小權(quán)重ωmin=0.4，且最大迭代次數(shù)Tmax=150，α=0.2，β=0.2，μ=0.95，懲罰因子M=1015。圖2 為3210軸承基于罰函數(shù)粒子群優(yōu)化算法的適應(yīng)值優(yōu)化曲線。

圖2 3210軸承適應(yīng)度優(yōu)化結(jié)果Fig. 2 3210 bearing fitness optimization results

筆者采用迭代次數(shù)為程序終止條件。由圖2可知，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到50次時，優(yōu)化結(jié)果曲線開始收斂并逐漸趨于穩(wěn)定，算法程序還未迭代到給定的迭代次數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果曲線就已經(jīng)收斂。由圖2還可以看出，其收斂速度快且穩(wěn)定，體現(xiàn)了該算法的優(yōu)越性。優(yōu)化后的軸承設(shè)計(jì)變量參數(shù)如表2。

表2 罰函數(shù)粒子群算法優(yōu)化后設(shè)計(jì)變量值Table 2 Design variable values after penalized function particle swarmoptimization algorithm

從表2可以看出，經(jīng)PSO優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)滿足軸承設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，軸承內(nèi)、外徑均滿足標(biāo)準(zhǔn)化系列推薦值，同時也滿足約束條件，符合軸承設(shè)計(jì)要求。

將優(yōu)化后所得的結(jié)構(gòu)參數(shù)帶入式(2)，得到：

將結(jié)構(gòu)參數(shù)帶入式(5)，得到：

通過查閱滾動軸承設(shè)計(jì)手冊，3210軸承的額定動載荷為46 kN，額定靜載荷為46.8 kN。顯然，經(jīng)過改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化后的軸承的額定動載荷和額定靜載荷顯著提高，額定動載荷提高了66.46%，額定靜載荷提高了70.60%。

3.2 遺傳算法和免疫算法求解

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的罰函數(shù)粒子群算法的優(yōu)化效果，分別采用遺傳算法[14]和免疫算法[7]對3210角接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化驗(yàn)證，最終得出優(yōu)化結(jié)果如表3。

表3 遺傳算法和免疫算法優(yōu)化后設(shè)計(jì)變量值Table 3 Design variable values after genetic algorithm and immunealgorithm optimization

將這兩種算法所得的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)代入式(1)和式(3)，經(jīng)計(jì)算可到得到軸承的額定動載荷和額定靜載荷，表4列出了3種算法的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。

由表4可知，經(jīng)過罰函數(shù)粒子群算法優(yōu)化后的結(jié)果顯著提高，其中相較于遺傳算法，分別提高了2.081、0.17 kN；相較于免疫算法，額定靜載荷提高了3.14 kN。經(jīng)過優(yōu)化對比，結(jié)果表明，罰函數(shù)粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化效果優(yōu)于兩種算法。

表4 各優(yōu)化算法目標(biāo)函數(shù)值結(jié)果對比Table 4 Comparison of objective function values ofvarious optimization algorithms kN

4 結(jié) 論

1)綜合考慮影響軸承性能的多種因素，以軸承幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，綜合考慮設(shè)計(jì)變量約束條件，建立了軸承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

2)提出了一種用于提高角接觸球軸承性能的罰函數(shù)粒子群算法，針對傳統(tǒng)粒子群算法易于陷入局部最優(yōu)解和無法處理帶復(fù)雜約束條件的缺點(diǎn)，以3210角接觸球軸承為例，以其額定動載荷和額定靜載荷為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，優(yōu)化后的的額定動、靜載荷分別提高了66.46%和70.60%。

3)采用遺傳算法和免疫算法對3210角接觸球軸承進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了所提出的罰函數(shù)粒子群算法的優(yōu)化效果。結(jié)果表明，采用罰函數(shù)粒子群算法能較好地提高角接觸球軸承的性能。