例談中學(xué)數(shù)學(xué)中的最值問題

蘇金陽

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，常遇到有關(guān)求最值的問題，在大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為幾種常見求最值的方法----映射與反演、幾何性質(zhì)、函數(shù)、均值不等式。由于這類問題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解題方法靈活，因而對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有極為重要的作用，現(xiàn)舉例說明最值問題的常見類型及常用解法共同探討。

【關(guān)鍵詞】求最值 數(shù)學(xué)能力 常用方法 映射與反演 幾何性質(zhì) 函數(shù) 均值不等式

引言：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，最值問題一直以來都是一個(gè)比較重要的問題。不僅涉及到一些著名的數(shù)學(xué)問題，還廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中。因此處理好最值問題對(duì)于研究其它問題有很大的幫助。那么怎樣來處理最值問題呢？

徐治利先生曾說過：“如果誰能對(duì)于一些重要的關(guān)系結(jié)構(gòu)巧妙地引進(jìn)非常游泳且具有可行性反演 的可定映射 ，就能作出比較重要的貢獻(xiàn)?！?/p>

在此主要談?wù)勅绾卫谩坝成浞囱荨钡姆椒▉硖幚碇袑W(xué)數(shù)學(xué)中一些常見的最值問題。所謂的“映射”作為廣義講，就是指實(shí)現(xiàn)化難為易的某種對(duì)應(yīng)方法或變換手段；而“反演”就是把變換后求得的解答再轉(zhuǎn)換為原來問題要求的解答。

中學(xué)數(shù)學(xué)中的最值問題一般常見的可分為三類：

（一）與函數(shù)直接相關(guān)的。常見的有二次函數(shù)、三角函數(shù)求最值的問題。對(duì)于一些比較常見的一般來說都可以用下列方法解決：利用函數(shù)單調(diào)性、判別式法、換元法及導(dǎo)數(shù)極值的應(yīng)用。

例1：求 在R上的最值。

法一：利用函數(shù)單調(diào)性，易知函數(shù)在 為增函數(shù)，在 為減函數(shù)，所以函數(shù)只有最大值既 時(shí) ；

法二：利用判別式法，把y看成常數(shù)既方程 在R上有解即 ；

法三：利用導(dǎo)數(shù)求極值，易知函數(shù)在R上是連續(xù)的。即極值點(diǎn)為 為極值點(diǎn)，又 則 在 取得最大值。

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的最值問題，以上的方法一般來說都可以解決，而且做法也比較簡(jiǎn)單。但對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題就比較困難，這時(shí)候如果采取“映射反演”的方法把這些問題轉(zhuǎn)化為上述比較簡(jiǎn)單的問題或一些比較簡(jiǎn)單的做法，做起來會(huì)事半功倍的。

例2：

以上的問題對(duì)于這一類型最值問題主要的方法在于尋求一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后把相應(yīng)的最值問題進(jìn)行變形，變形為簡(jiǎn)單常見的求函數(shù)最值情形。

（二）均值不等式的應(yīng)用。對(duì)于均值不等式類型的最值問題一般來說主要把對(duì)應(yīng)的最值問題轉(zhuǎn)化為均值不等式的模型。

對(duì)于例5來說直接做比較困難，對(duì)于 三項(xiàng)之和雖然為定值但是等號(hào)取不到也就是說按照這種構(gòu)造行不通。對(duì)于這個(gè)問題如果把這個(gè)式子兩邊同時(shí)平方，這時(shí)候 三項(xiàng)之和為定值，且等號(hào)能取到。由此對(duì)于一般的均值不等式的如果能夠轉(zhuǎn)化為上述模型解決起來會(huì)事半功倍。

（三）一些重要的幾何性質(zhì)的應(yīng)用：利用映射與反演把一些比較復(fù)雜的有關(guān)幾何的最值問題轉(zhuǎn)化為一些比較簡(jiǎn)單的幾何問題。如：三點(diǎn)共線、兩點(diǎn)間線段最短、對(duì)成問題等等。

例4：立體幾何問題 平面幾何問題

（1） （2）

圖1-1

從圖1-1可以看出圓臺(tái)側(cè)面與扇環(huán) 的點(diǎn)與點(diǎn)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。圓臺(tái)側(cè)面上最短的細(xì)繩即為扇環(huán)內(nèi) 的長度。因此對(duì)于立體幾何的問題如果能轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，此時(shí)對(duì)應(yīng)的問

題會(huì)更簡(jiǎn)單更易于入手。除了立體幾何與平面幾何的轉(zhuǎn)換外，又如：

兩線段的和最小的問題 點(diǎn)與點(diǎn)的共線與對(duì)稱問題

例5：

由此可見對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中的最值問題，如果能利用映射與反演的方法來做，往往都會(huì)使問題簡(jiǎn)單化、明了化，更易于入手。但并不是所有的最值問題都可以按照這種方法來做。要應(yīng)用映射與反演原則來解題一般要考慮以下幾點(diǎn)：

1、能否在同一關(guān)系結(jié)構(gòu)中構(gòu)造出該問題的模型；

2、能否用另一知識(shí)、知識(shí)系統(tǒng)中的語言來改述與解決這個(gè)問題；

3、能否用特殊的技巧將題設(shè)或結(jié)論變形，從而找到某種對(duì)應(yīng)手段，把問題映射到其他領(lǐng)域中去解決，然后再反演回原來的系統(tǒng)得出結(jié)果。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]《身邊的數(shù)學(xué)》梁智勇 黃孟宜 潘欣等《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2000.7

[3]《數(shù)學(xué)步步高同步學(xué)案》王朝銀2010.5