天體運(yùn)動易錯(cuò)點(diǎn)分析

王穎

[ 公式不清]

例1 假如一做圓周運(yùn)動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做圓周運(yùn)動，則（ ）

A. 根據(jù)公式[v=ωr]，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度增大到原來的2倍

B. 根據(jù)公式[F=mv2r]，可知衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的[12]

C. 根據(jù)公式[F=GMmr2]，可知地球提供的向心力將減小到原來的[14]

D. 根據(jù)選項(xiàng)B和C給出的公式，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將減小到原來的[22]

錯(cuò)析 將[2r]代入公式，有[v=2v，F(xiàn)=12F]，[F=14F]，選擇A，B，C項(xiàng).

A，B，C項(xiàng)中的三個(gè)公式是正確的，但使用過程中A，B項(xiàng)的公式用錯(cuò)了. A項(xiàng)中的[v=ωr]是在[ω]一定時(shí)[ω∝r]，B項(xiàng)中的[F=mv2r]是在[v]一定時(shí)[F∝1r]，而[r]的變化將引起[ω]，[v]的變化. 因此就不存豐[3v∝r]和[F∝1r]的結(jié)論. A，B項(xiàng)錯(cuò)誤.

解析 A選項(xiàng)中線速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下. 而[r]變化時(shí)，角速度也變化. 所以A選項(xiàng)錯(cuò). 同理對B選項(xiàng)，[F∝1r2]是在[v]一定時(shí)，但此時(shí)[v]變化，故B選項(xiàng)錯(cuò). 而C選項(xiàng)中[G]、[M、m]都是恒量，所以[F∝1r2]，即[r=2r]時(shí)，[F=14F]，C項(xiàng)正確. 結(jié)合B，C項(xiàng)和[mv2r=GMmr2]，可以得出[v2=GMr]，[v∝1r]，故[v=22r]，D項(xiàng)正確.

答案 CD

小結(jié) 物理公式反映物理規(guī)律，我們同學(xué)往往不加理解而死記硬背. 其實(shí)在使用中應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，不僅要知道使用條件，還要知道來龍去脈.

例2 從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星[A]和[B]，繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑之比為[RA∶RB]=4∶1，求它們的線速度之比和運(yùn)動周期之比.

錯(cuò)析 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力

[F向=mg=mv2R]

設(shè)[A，B]兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為[mA，mB]，有

[mAg=mAv2ARA] ①

[mBg=mBv2BRB] ②

由式①②得[vA2vB2=RARB]

因[vAvB=RARB=41=2]

又因[T=2πRv]

故[TATB=RARB×vBvA=4×12=2]

這里錯(cuò)在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān).

解析 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有

對[A]：[FA向=GM地mARA2=mAvA2RA] ③

對[B]：[FB向=GM地mBRB2=mBvB2RB] ④

③÷④得[vA2vB2=RBRA]

故[vAvB=RBRA=12]

根據(jù)[TA=2πRAvA]， [TB=2πRBvB]

可知[TATB=vBvA×RARB=21×41=8]

小結(jié) 在研究地球上的物體的運(yùn)動時(shí)，地面附近物體的重力加速度近似看作恒量. 但研究天體運(yùn)動時(shí)，應(yīng)注意不能將其認(rèn)為是常量，隨高度變化，[g]值是改變的.

[ 情景不明]

例3 如圖所示，同步衛(wèi)星離地心距離為[r]，運(yùn)行速率為[v1]，加速度為[a1]；地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為[a2]，第一宇宙速度為[v2]，地球半徑為[R]，則下列比值正確的是（ ） [ 同步衛(wèi)星]

A. [a1a2]=[rR] B. [a1a2]=[（Rr）2]

C. [v1v2]=[rR] D. [v1v2]=[Rr]

錯(cuò)析 解本題容易犯的錯(cuò)誤是思維定勢，對三物體均由公式[GMmr2=ma=mv2r]分析得出結(jié)論. 對衛(wèi)星，是萬有引力提供向心力，而赤道上的物體除受萬有引力外，還受到地面對它的支持力，即引力和支持力的合力提供物體做圓周運(yùn)動的向心力，所以公式[GMmr2=ma]對赤道上的物體不適用.

解析 對于衛(wèi)星，共同特點(diǎn)是萬有引力提供向心力，有[GMmr2=mv2r]，故[v1v2]=[Rr]，D項(xiàng)正確.

對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，共同特點(diǎn)是角速度相等，有[a=ω2r]，故[a1a2]=[rR]，A項(xiàng)正確.

答案 AD

例4 理論證明，取離星球中心無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零勢能點(diǎn)時(shí)，物體在距離星中心為[r]處的引力勢能可表示為：[Ep=-GMmr]，式中G為萬有引力常數(shù)，M、m表示星與物體的質(zhì)量，而萬有引力做的正功等于引力勢能的減少. 已知月球月球質(zhì)量為M，半徑為R，探月飛船的總質(zhì)量為m，月球表面的重力加速度為g.設(shè)飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量至少為W，求此能量W. （不計(jì)飛船質(zhì)量的變化及其他天體的引力）

錯(cuò)析 根據(jù)[W=12mv2+mgH]，將求得的繞月速度[v]代入即可. 此種算法不正確，其一該解法將月球表面的重力加速度當(dāng)作不變，其實(shí)只在很靠近月球表面時(shí)可以作此處理，如果高度變化大，引力有很大的變化；其二飛船從月球表面發(fā)送到環(huán)月軌道的能量應(yīng)是在兩處能量的差值，在月球赤道上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向射出時(shí)做功最少，做功值為兩處機(jī)械能值之差

[W=12mv2+（-GMmR+H）-12mv20+（-GMmR）]

[W=12mv2-GMmR+H-12mv20+GMmR]

解析 由飛船繞月球運(yùn)動的萬有引力提供向心力，有飛船在距月球表面[H（H>R3）]高的環(huán)月軌道運(yùn)行時(shí)的速度[v]，由[GMm（R+H）2=mv2（R+H）]，有[v=GMR+H]

可知[Ek=12mv2=GMm2（R+H）]，又[Ek0=12mv20]趨近于0

則[W=GMm2（R+H）-GMmR+H+GMmR=GMm（R+2H）2R（R+H）]