高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)寫作”的研究

周昌建

[摘要]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中引入“數(shù)學(xué)寫作”的形式，不但可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，幫助學(xué)生在作業(yè)中建立起情感、態(tài)度與知識之間的聯(lián)系.同時，這樣的書面表達(dá)更好地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力，推動學(xué)生對學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重新建構(gòu)，形成立體認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)寫作 理解 能力

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2015）080021

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中引入“數(shù)學(xué)寫作”的形式，通過引導(dǎo)學(xué)生圍繞著數(shù)學(xué)知識展開進(jìn)行簡單的書面表達(dá)，作為課堂學(xué)習(xí)和課余練習(xí)的有效補(bǔ)充，能夠積極地推動學(xué)生展開反思活動，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行充分的梳理，使得學(xué)生的思維進(jìn)一步明晰，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的再認(rèn)識.在教學(xué)實踐中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的點滴匯聚于筆下，讓他們的思維和感悟在紙與筆之間流淌.因為這種行為需要學(xué)生能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有一個整體性的回顧，更需要他們創(chuàng)造性地將思維過程記錄下來.本文結(jié)合筆者的點滴嘗試，談?wù)勗谶M(jìn)行“數(shù)學(xué)寫作”方面的一些思考和體會.

一、舉一個例子

數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)謹(jǐn)著稱的學(xué)科.特別是高中數(shù)學(xué)，相較于小學(xué)及初中數(shù)學(xué)而言，對于邏輯的嚴(yán)密性有著更高的要求.然而，這種學(xué)科的特性與教學(xué)過程中注重抽象與直觀相結(jié)合并不沖突，對于那些抽象性較高、內(nèi)涵更復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容來說，舉出一兩個妥帖的例子，可以起到以點帶面的良好效果.學(xué)生在進(jìn)行“數(shù)學(xué)寫作”時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合典型性較強(qiáng)的例題，對某一個知識點進(jìn)行多角度的思考，從而使得原本晦澀的知識點在具體應(yīng)用中變得生動鮮活起來.在進(jìn)行舉例形式的“數(shù)學(xué)寫作”時，教師要指導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注的重點聚焦在知識點上，幫助學(xué)生從具體的例子中溯源而上，達(dá)到加深理解、舉一反三的積極效果.

例如，在進(jìn)行關(guān)于“不等式”的練習(xí)時，教師為學(xué)生精心準(zhǔn)備了這樣一道例題：

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（0）為9.當(dāng)x∈R時，則有f（x+4）≥f（x）+4以及f（x+1）≤f（x）+1.如果g（x）=2[f（x）-x]，那么g（2014）= .

本題乍一看屬于抽象函數(shù)的應(yīng)用范疇，其中含有兩個不等式的關(guān)系.因此學(xué)生最熟悉、最常用的賦值法在這里很難找到運用的切入點.要想破開沉沉迷霧，就要從題中的兩道不等式入手.將本題作為一個典型例子納入“數(shù)學(xué)寫作”中，因為解答此題時會應(yīng)用到一些特殊的解題技巧.學(xué)生在記錄思維經(jīng)歷的過程中更能獲得“靈光一現(xiàn)”的觸動.如有的學(xué)生采用“特殊化”的方法，將題中的兩個不等式均取等，即f（x+1）=f（x）+1.于是后繼的思考過程則如順?biāo)浦郏傻玫讲孪雈（x）=x+9，從而得到最終結(jié)果.采用這種方法的學(xué)生在他們的本子上寫道：我干脆就將題中的兩個不等式都取等而且認(rèn)定它們同時成立，于是根據(jù)f（0）=9就可以得到f（1）=10、f（2）=11……很容易就能發(fā)現(xiàn)f（x）=x+9（x∈N）.這樣一來，就繞過了確定g（x）這個非常艱難的過程，只考慮問題中最為特殊的一種情況，我覺得這其實就是賦值法的另類運用.同樣建立在“猜想”的基礎(chǔ)上，我大膽認(rèn)定將題中兩個不等式連在一起能夠達(dá)到相等的狀態(tài)，連續(xù)使用后可以得到f（x）+4≤f（x+4）≤f（x+3）+1……得出f（x+1）=f（x）+1，即f（2014）=f（0）+2014.學(xué)生在“數(shù)學(xué)寫作”中能扣住一個經(jīng)典的實例展開充分的思考，展現(xiàn)了他們在解題過程中的數(shù)學(xué)思想，折射出智慧的光芒.

二、提一個建議

將建議納入“數(shù)學(xué)寫作”的范疇，推動學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程進(jìn)行評價，對師生活動的方式、方法審視性地提出自己的建議.鼓勵學(xué)生就教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式以及課外作業(yè)、階段測試等多個環(huán)節(jié)發(fā)表自己的意見.這種寫作形式受到學(xué)生的廣泛好評，能夠充分激發(fā)學(xué)生自由表達(dá)的熱情.在這種建議書式的“數(shù)學(xué)寫作”中，教師可以及時得到學(xué)生中肯的、真實的心聲，并依據(jù)這些反饋改進(jìn)自己的教學(xué)，使之更加貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，發(fā)揮課堂教學(xué)事半功倍的理想效果.在具體操作中，教師還要注重正面引導(dǎo)，使得學(xué)生的合理化建議得到充分表達(dá).同時，啟發(fā)學(xué)生在建議中要緊密結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)揮該類型“數(shù)學(xué)寫作”的積極作用，避免淪為學(xué)生無謂的牢騷和抱怨陣地.

例如，在進(jìn)行“直線與平面垂直”定義的教學(xué)時，教師通常都是借助于課件的演示，為學(xué)生提供大量的現(xiàn)實素材，即利用現(xiàn)實生活中存在的直線與平面呈現(xiàn)“垂直”關(guān)系的特殊情形，從而幫助學(xué)生建立這種立體關(guān)系.這種感性的素材積累可以激發(fā)學(xué)生已有的“垂直”經(jīng)驗，從平面內(nèi)兩條直線之間的關(guān)系推廣到立體空間中來，確認(rèn)這種特殊的“垂直”關(guān)系.然而有的教師則嘗試著讓學(xué)生自己去給出定義，但學(xué)生們并不認(rèn)同.比如有的學(xué)生在他們的“數(shù)學(xué)寫作”中這樣寫道：“直線與平面垂直的定義是由前人研究得來的.老師要求我們給出定義是不太合適的，我們可以認(rèn)為當(dāng)這條直線與該平面上的所有直線都垂直時，稱為這條直線與該平面垂直；也可以認(rèn)為如果一條直線與一個平面上的兩條呈相交關(guān)系的直線垂直時，就可以認(rèn)為這條直線垂直于該平面了.兩種定義都是正確的！但是以前的數(shù)學(xué)家們用的是第二種方法作為定義，所以我覺得老師干脆直接告訴我們就好了，不需要花費那么多精力讓我們?nèi)ヌ骄慷x的根源！”學(xué)生提出的建議給執(zhí)教者很大的啟發(fā)，即在有關(guān)定義的教學(xué)中，作為前人既定的一種規(guī)定，讓學(xué)生去猜測前人是怎樣給出定義的顯然是一種戴著腳鏈跳舞的行為，特別是對于多種選擇下?lián)褚欢ǖ母拍罡侨绱耍處煈?yīng)當(dāng)將教學(xué)的重點落實在對于概念定義的判定和引申上，能“告訴”學(xué)生的就簡單明了地“告訴”即可，以為后繼的教學(xué)騰出足夠的時間與空間出來.

三、寫一封信箋

信箋的形式其根底是轉(zhuǎn)換學(xué)生的角色，將學(xué)生從一個單一的接受者變?yōu)橐粋€傳授者.在教學(xué)一些易錯點、難以迅速理解的難點或者具有不同爭議的知識點時，教師可以組織學(xué)生根據(jù)這些內(nèi)容撰寫一些評論或心得，冠之以信箋的形式，讓學(xué)生給自己的學(xué)弟或者學(xué)妹寫一封信，提醒他們在經(jīng)歷到這段學(xué)習(xí)歷程時需要注意些什么，傳遞給他們一些點撥和指引，解釋其中一些難以理解和靈活運用的概念.這種形式下的“數(shù)學(xué)寫作”角度比較新穎，角色的變換讓學(xué)生覺得興趣盎然，在具體實踐中學(xué)生能創(chuàng)造性地發(fā)揮自己的智慧，充分展現(xiàn)自己的獨到見解和新鮮觀點.

例如，在進(jìn)行“孫子定理”的教學(xué)中，教師用“被除數(shù)=除數(shù)×不定商+余數(shù)”概括了定理的內(nèi)涵.學(xué)生的思維相當(dāng)活躍，在小組討論和集體交流中，他們從不同的角度對該定理給出了精妙的證明過程.于是，教師組織學(xué)生以信箋的形式運用“數(shù)學(xué)寫作”將他們的思維成果記錄下來，得到了學(xué)生的熱烈響應(yīng).有學(xué)生首先將“孫子定理”進(jìn)行了準(zhǔn)確的描述：“親愛的學(xué)弟學(xué)妹們，‘孫子定理又稱‘中國剩余定理，如果用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言來說明的話，可以得到如下的方程組：

四、發(fā)一番感慨

記錄學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的心路歷程也是“數(shù)學(xué)寫作”的一個重要側(cè)面.通過書面表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中諸如興奮、憤懣、疑惑、失落以及得意等情緒宣泄出來，將情感與學(xué)習(xí)交融在一起，富有情感體驗的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必然會給學(xué)生留下深刻的烙印.通過這種帶有情感味道的表達(dá)形式，教師不但可以了解到學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的得與失、喜與悲，更重要的是教師可以根據(jù)這種反饋改進(jìn)自己的教學(xué)，調(diào)整教學(xué)中的節(jié)奏和步伐，避免學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中消極情緒的產(chǎn)生，采用更多樣的教學(xué)策略激活學(xué)生的積極情感.同時，這種書面上的情感交流，也有助于協(xié)調(diào)師生之間的對立情緒，拉近師生間的心理距離，使得課堂教學(xué)更加融洽、和諧.

例如，在證明“三棱錐的體積等于其底面積與高之積的三分之一”時，學(xué)生對于證明過程中“補(bǔ)錐成柱”和“割柱成錐”兩個環(huán)節(jié)感到難以理解，特別是為什么割柱所成三錐體積正好相等且所要求的就是其中之一呢？他們在本子上寫下自己的探究經(jīng)歷時寫道：“先觀察原三棱柱的一個側(cè)面在被割成的兩個三角形后，兩個三角形面積之間有什么關(guān)系？以這兩個三角形為底的兩個錐的高之間又有什么關(guān)系？這是證明前的熱身.在這個基礎(chǔ)上，得出‘三棱柱割成的三個三棱錐的體積相等，最終證明結(jié)果.從觀察、思考和發(fā)現(xiàn)開始，從一個定理出發(fā)得到另一個定理，就像一個三級跳的階梯一樣.如果在遇到難以證明的難題時，首先要沉著冷靜地觀察，找到圖形之間的聯(lián)系，思考已有的相關(guān)系的定理，這時候再難的題目也會被我們打開一扇門的縫隙，成功的光亮就已經(jīng)透現(xiàn)在我們的眼前了！這種百折不撓終獲成功的喜悅讓人心里有‘我真厲害！的自豪！”

作為一種別致的反饋渠道，“數(shù)學(xué)寫作”不但促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，在這種非正式的書面作業(yè)中建立起情感、態(tài)度與知識之間的聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)變得鮮活靈動起來；而且，這樣的書面表達(dá)對學(xué)生的反思能力提出了更高、更全面的要求，推動學(xué)生對已有的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行重新組織和梳理，有助于學(xué)生對之前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷形成一個整體性的立體認(rèn)知，形成批判性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度.就教師的角度而言，“數(shù)學(xué)寫作”使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程具有較強(qiáng)的可見性，幫助教師及時把握學(xué)生學(xué)習(xí)的脈搏，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情調(diào)整、變換教學(xué)方式方法，盡量消弭學(xué)生之間的思維差異，達(dá)到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平整體發(fā)展的目的.以上種種，使得我們在“數(shù)學(xué)寫作”這一蹊徑上奮力探索，執(zhí)著前行！

（責(zé)任編輯 黃桂堅）