“等比數(shù)列前n項和”教學(xué)設(shè)計與思考

張月紅

[摘要]如何根據(jù)新課標(biāo)要求進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，是每個教師課前思考的問題.以“等比數(shù)列前n項和”為一課例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計與思考.

[關(guān)鍵詞]等比數(shù)列 前n項和 教學(xué)

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2015）080012

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（五）》（人教A版）第二章第五節(jié)第一課“2.5.1等比數(shù)列前n項和”（P55-58）.本節(jié)內(nèi)容是由一個故事啟發(fā)得出一般求等比數(shù)列前n項和的思路，它是基于等比數(shù)列的“等比”特性的一種特殊求和方法.在教學(xué)中，應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，使學(xué)生善于“發(fā)現(xiàn)規(guī)律——歸納規(guī)律——應(yīng)用規(guī)律”.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.基礎(chǔ)知識目標(biāo)：理解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題.

2.能力訓(xùn)練目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的化歸思想以及對式子變形的各種手段方法的應(yīng)用能力，滲透方程思想、分類討論思想，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)；（2）通過探究與活動，讓學(xué)生明白考慮問題要細(xì)致，說理要明確.

3.創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：發(fā)揮學(xué)生主體作用，讓學(xué)生在探究活動中學(xué)會思考，自覺地把所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題.

三、教學(xué)重難點

重點：等比數(shù)列前n項和公式以及對公式的理解與運用.

難點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題——激發(fā)求知欲

創(chuàng)設(shè)問題情境：有一窮人向富翁借錢，借錢方案如下：從第一天起借出1萬，第二天借出2萬，第三天借出3萬……以此類推，每一天借的錢數(shù)都比前一天多一萬，直到第30天，富人總共向窮人借出多少錢？窮人還錢方案如下：從借錢的第一天開始，窮人就開始向富翁還錢，第一天還1分，第二天還2分，第三天還4分，第四天還8分……以此類推，每一天還的錢數(shù)都是前一天的兩倍，直到第30天.試問同學(xué)們，假設(shè)你依據(jù)這個方案向富翁借這筆錢，你們愿意嗎？

學(xué)情預(yù)設(shè)：大多數(shù)學(xué)生可能算不出具體數(shù)目，只是憑直觀判斷表示“愿意”.

教師引導(dǎo)：愿不愿意借這筆錢，關(guān)鍵是看借錢和還錢的總和各是多少.

師生共同用計算器計算這個數(shù)，大家會發(fā)現(xiàn)這個數(shù)大得驚人，大于1073萬元，窮人是無法滿足富翁的要求的.

師：如果你們不假思索地答應(yīng)，將會導(dǎo)致一個很不幸的后果發(fā)生，這都是不具備基本的數(shù)學(xué)知識所造成的.而避免這個不幸的后果發(fā)生的知識，正是我們這節(jié)課所要探究的知識.

此時學(xué)生躍躍欲試，紛紛想求出這個數(shù)列的前30項和，但因知識受限，無法一次求出，課題的引入水到渠成.

[設(shè)計意圖]用一個看似簡單的生活實例，不僅復(fù)習(xí)了等差數(shù)列的求和，而且為引出等比數(shù)列前n項和作準(zhǔn)備；同時通過與等差數(shù)列的對比讓學(xué)生感受等比數(shù)列的爆炸增長，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣和欲望.

（二）師生互動，探究新知——等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)

一般的，設(shè)等比數(shù)列{an}，公比為q，則它的前n項和是Sn=a1+a2+a3+…+an.

等比數(shù)列前n項和公式是求等比數(shù)列的前n項和的一個化簡式，它的推導(dǎo)有很多方法，我們先研究教科書所采用的方法.

推導(dǎo)方法一：錯位相減法

1.由問題情境中S30=1+2+22+23+…+229的求解我們很自然地由特殊到一般，可以先讓學(xué)生思考一個特殊的簡單情形，即

Sn=1+q+q2+q3+…+qn-1.①

教師引導(dǎo)：首先復(fù)習(xí)推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式，形式上采用倒序相加法，本質(zhì)上是根據(jù)等差數(shù)列的定義an+1-an=d，從“公差為d”這一特性出發(fā)，抓住倒序后兩式中上下對應(yīng)項的和均為“a1+an”這個特點，構(gòu)造相同項，進(jìn)而化繁為簡，推得公式.

師：請同學(xué)們注意觀察、聯(lián)想，等比數(shù)列是不是也可以用倒序相加法求和？

（學(xué)生進(jìn)行嘗試，發(fā)現(xiàn)行不通）

在此情境下，教師引領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，類比等差數(shù)列前n項和公式求法.在等比數(shù)列前n項和中構(gòu)造相同項，從而化繁為簡是解決問題的關(guān)鍵.

師：等差數(shù)列求和是根據(jù)定義，由公差d切入.自然，等比數(shù)列求和同學(xué)們也應(yīng)抓住定義，由公比q來探究.關(guān)注等比數(shù)列定義和①式，你們能發(fā)現(xiàn)什么？

（四）課堂小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1.等比數(shù)列前n項和公式及其推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了“錯位相減法”，這一方法是解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具，要引起高度重視.

2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.因為公式涉及等比數(shù)列的基本量中的4個量，一般需要知道其中的3個，才能求出另外一個量.另外應(yīng)該注意的是，由于公式有兩個形式，在應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件，選擇適當(dāng)?shù)墓?

3.在使用等比數(shù)列求和公式時，注意q的取值是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，需要放在第一位來思考，必要時要分類討論.

4.體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有：類比思想、分類討論思想和方程思想.

（五）課后作業(yè)

基礎(chǔ)題：課本P61習(xí)題2.5（A組）第1、2、3題.

提高題：求和（1+a）+（2+a2）+…+（2n-1+an）.

探究與發(fā)現(xiàn)：查閱網(wǎng)絡(luò)，思考等比數(shù)列前n項和公式還有無其他推導(dǎo)方法？

五、教學(xué)反思

“結(jié)果因過程而精彩，現(xiàn)象因方法而生動.”無論是情境創(chuàng)設(shè)，還是探究設(shè)計，都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線，設(shè)法從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系，挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想，建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識體系，教學(xué)生學(xué)會思考，讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動.因此，本課在公式的推導(dǎo)中舍得花大量時間，便是為了讓學(xué)生學(xué)會探究與創(chuàng)新.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）