撥開云霧見晴天

孟祥國

【摘要】二次根式歷來是教學(xué)中的一個難點，新修訂的初中《代數(shù)》第三冊，雖然降低了教學(xué)要求，但是對于初二學(xué)生來說要比較好地理解和掌握仍有一定的困難在等著，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)存在很多問題.如：對概念理解不夠深透、特點不明確、忽視了限制條件、化簡思路不開闊不靈活、解題思路不清晰、循規(guī)蹈矩、墨守成規(guī)、缺乏綜合分析問題和探究問題的能力等等.由于以上問題的存在，導(dǎo)致了學(xué)生在學(xué)習(xí)二次根式這部分內(nèi)容時，簡單直接的內(nèi)容基本能夠處理，對難度稍大一點、靈活性較強的題目就顯得束手無策了.針對這些問題，筆者就在教學(xué)中存在的幾個誤區(qū)進行了剖析，旨在拋磚引玉.

【關(guān)鍵詞】二次根式；代數(shù)；誤區(qū)

誤區(qū)一 對二次根式定義理解不夠深透，或忽視了其特點而造成的誤區(qū)

例1 判斷a+b是不是二次根式.

本題同學(xué)們的答案通常有兩個：一、是， 二、不是.

其實這兩個答案都是不正確的.正確的答案應(yīng)該是：當a+b≥0時，a+b是二次根式；當a+b<0時，a+b不是二次根式.

錯誤原因：對定義的理解不夠深透.其實以上兩種答案都沒有緊扣定義，只不過是胡蒙而已，對于 a型的二次根式同學(xué)們還是能夠處理得了的，當遇到a+b型的二次根式，就感到束手無策了.

反思：此題對培養(yǎng)同學(xué)們的整體意識與提高綜合分析問題的能力極有益處.

例2 若x3= -xx成立，試確定x的取值范圍.

大部分同學(xué)的答案是：x<0.

答案顯然不對，由二次根式的特點可知：-x≥0，由定義知：x≥0，兩個不等式的公共解集應(yīng)是： x=0，因此x的取值是：x=0.

此題同學(xué)們?nèi)绻屑毞治鲆幌陆Y(jié)果的話，錯因就會自然地浮出水面，不至于因為結(jié)果中出現(xiàn)了“-”號，就草率地作出了結(jié)論，而忽視了x必須有意義，顧此失彼.

反思：注重培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力是何等的重要.

例3 將二次根式-（a-1）11-a 中根號外的因式移到根號里面去并進行化簡.

多數(shù)學(xué)生的答案是：-（a-1）11-a=- （a-1）1-a2=-（1-a）21-a=-1-a.

當老師問及同學(xué)們此題的答案是否正確時，則同學(xué)們異口同聲地回答：正確.于是老師與同學(xué)們一起對此題進行了剖析：由二次根式11-a有意義可知：1-a>0，即-（a-1>0），也就是說原

二次根式應(yīng)該是正值，而這些同學(xué)作出的結(jié)果則是負值，因此答案錯誤.正確答案應(yīng)是：

解 -（a-1）11-a=（1-a）11-a=（1-a）21-a=1-a.

反思：此題是典型的對概念理解不透徹，忽視了其特點從而在解題過程中導(dǎo)致的錯誤，并且是共性的錯誤，應(yīng)引起高度重視.

誤區(qū)二 隱含條件沒有得到充分挖掘而出現(xiàn)的錯誤

例1 化簡x-yx+y .

有兩名同學(xué)的答案如下：

當老師問及這兩名同學(xué)的答案是否正確時，同學(xué)們則異口同聲地回答：都正確.老師補問了一句都正確嗎？這時有一部分同學(xué)開始懷疑這里面肯定有問題，于是就試圖找出問題來，但是最終未果.最后在老師的提示引導(dǎo)下才發(fā)現(xiàn)生二的答案錯了，錯因也明確了，生二的錯誤原因是：

由原式可知：x與y中至少有一個大于零，但不說明x不能等于y，當x=y時，生二在化簡時分子、分母所乘的代數(shù)式 x-y顯然是零，故生二的化簡錯誤.

例2 把（a-b）-1a-b中根號前的因式移入根號內(nèi).

有幾名同學(xué)展示的答案是：（a-b）-1a-b=-（a-b）2a-b=-（a-b）=b-a.

此題的做法明顯暴露的一個問題是：對隱含條件挖掘不透而導(dǎo)致的錯誤.由-1a-b有意義可知： a-b<0，因此原代數(shù)式的結(jié)果應(yīng)該為負，正確答案應(yīng)是：

解 （a-b）-1a-b=--（a-b）2a-b=--（a-b）=-b-a.

反思：以上兩題問題就出于對隱含條件挖掘不透徹，此類題目為二次根式的化簡敲響了警鐘.

誤區(qū)三 由解題習(xí)慣、思維定式造成的誤區(qū)

例1 化簡： 2-323-32 .

同學(xué)們在化簡此題時使用的方法全部是常規(guī)方法，將分子、分母同乘以23+32，雖然這種化簡方法不是知識性錯誤，也能達到化簡目的，但是不夠簡捷.若同學(xué)們改變一下思路將23+32整理成6（2-3）然后再進行化簡的話，將會起到事半功倍的效果.解答如下：

解 2-323-32=2-36（2-3）=16=66.

反思：此題的化簡方法，為化簡此類二次根式開辟了新的思路.

例2 化簡：3-5.

同學(xué)們一看到題目覺得非常簡單， 于是就著手化簡起來，有的同學(xué)將被開方數(shù)乘以5，有的同學(xué)乘以3+5，但是發(fā)現(xiàn)都不奏效，沒有一名同學(xué)完成化簡任務(wù)，甚至大家都認為此題根本無法化簡，此時老師借機提示了一句：同學(xué)們，在不改變代數(shù)式的值的情況下，將5的系數(shù)變?yōu)?試試看，老師一席話，猶如撥開云霧見晴天，同學(xué)們的情緒一下就高漲了起來，紛紛按照這個思路動手做了起來，順利完成了化簡任務(wù).復(fù)合二次根式的化簡訣竅也掌握了，同時也體驗到了發(fā)現(xiàn)的快樂，同學(xué)們的答案是：

解 3-5=6-252=（5）2-25+122=（5-1）22=5-12=10-22.

反思：此題雖然簡單，卻為化簡復(fù)合二次根式起到了以點帶面的作用.

例3 化簡15+3+2 .

同學(xué)們接到題目后，未加思索就用常規(guī)方法開始化簡起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)常規(guī)方法根本達不到化簡目的，這時才想到，必須另辟蹊徑，教師借機稍一點撥： 若將分母中的任意兩個根式看作一個整體試試看，于是同學(xué)們的思維活躍起來，紛紛動起筆來， 于是順利得到解答.下面是解答之一.

解 15+3+2= 1（5+3）+2=5+3-2（5+3+2）（5+3-2）=5+3-2（5+3）2-（2）2

=5+3-22（15+3）=（5+3-2）（15-3）2（15+3）（15-3）=23-30+3212.

反思：此題為化簡多根號二次根式指明了明確的方向.

通過以上三例的研究發(fā)現(xiàn)，適時培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力和探索精神是何等重要，不但能打破同學(xué)們的思維定式，避免經(jīng)驗主義，開辟新的解題思路，而且能大大提高同學(xué)們解決問題的能力，達到舉一反三、觸類旁通之效果.

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們在解決以上二次根式問題的過程中，能夠更加深入地理解二次根式的概念和特點，以便在今后的學(xué)習(xí)過程中盡量避免一些錯誤或不足，其他就是開闊了學(xué)生的視野，讓同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了一些新的解題思想和解題思路，從而激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增強了趣味性，從而使學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)，更加努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也能讓同學(xué)們充分認識到數(shù)學(xué)不但不是枯燥乏味的，而是趣味無窮的學(xué)科，是一門充滿探究性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性的學(xué)科.通過對上面問題的研究既培養(yǎng)了同學(xué)們的探究精神和成就感，也讓同學(xué)們體會到了發(fā)現(xiàn)的快樂，優(yōu)化了自己的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展了思維能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識，真正讓數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生放飛潛能的天空，師生的共同樂園.